Механика горных пород при разработке месторождений углеводородного с.-1

Выражение (2.6.6) интегрируется численно. При численном интегрировании некоторой функции g по поверхности шара с единичным радиусом суммируются значения функции для ряда выбранных точек, умноженные на весовые коэффициенты w,

П1=1

где xi} yu Zi - координаты i-й точки интегрирования в декартовой системе с началом в центре шара.

В соответствии с этим выражение (2.6.6) преобразуется в

По предложению Панде и Шарма [26] используется 13 точек интегрирования, координаты и весовые коэффициенты которых приведены в табл. 2.6.1. Там же указаны угловые параметры а и Р ориентирования соответствующих плоскостей относительно глобальной системы координат.

Таблица 2.6.1

Координаты и весовые коэффициенты точек интегрирования

Если рассматривается напряженное состояние в условиях плоской деформации, то достаточно первых девяти точек интег­ рирования (см. табл. 2.6.1). При этом весовые коэффициенты 1-, 2-, 4- и 5-й точек следует удвоить.

При реализации многослойной модели для каждого элемента организуется цикл по точкам интегрирования. Для каждой точки интегрирования определяются нормальные и касательные на­ пряжения Gni и соответствующие положению вектора нор­ мали к площадке, а также проводятся все необходимые вычисле­ ния для расчета текущего положения линейной и эллиптической частей поверхности течения. Расчет критерия разрушения и ча­ стных производных пластического потенциала проводится в за­ висимости от расположения точки с координатами ст„(|, отно­ сительно поверхности течения. Если критерий разрушения F > О,

то рассчитываются вязкопластические деформации

Общий прирост вязкопластических деформаций в элементе определяется как

{Aevpe} = {Aevpe} + {Де*р}47И0„

где wi - весовой коэффициент точки интегрирования. Расширение линейной и эллиптической частей поверхности

течения определяется накопленным уровнем вязкопластических деформаций, поэтому для использования законов упрочнения (2.5.13) и (2.5.21) проводится преобразование вектора деформа­

ций {Де^} = |Дб^|4да;, в систему координат, связанную с нор­

малью к площадке, по формуле (2.1.6) и выполняется суммиро­ вание Для накопления нормальных и сдвиговых деформаций

В остальном итерационный цикл соответствует общему алго­ ритму «начальных деформаций».

Исследования физИко-механических свойств коллекторов по­ казывает, что их упругие свойства зависят от эффективного дав­ ления. Разработка нефтяных и газовых месторождений в режиме упругой энергии характеризуется падением пластового давления в коллекторе и соответствующим ростом напряжений в матрице коллектора за счет горного давления, т.е. ростом эффективных напряжений. Этот процесс носит постепенный характер и поэто­ му должен моделироваться ступенчатым (пошаговым) нагруже-

Падение пластового давления, МПа

Рис. 2.6.4. Зависимость смещений точки над центром коллектора от падения пластового давления при различных значениях параметра упрочнения %:

1 - 1000; 2 - 1500; 3 - 2000; 4 - 2500

довало ожидать, величины оседаний напрямую зависят от порис­ тости коллектора. При этом наблюдается затухающий процесс, т.е при падении пластового давления постепенно наступает ста­ билизация оседаний. В рассмотренном примере оседания стаби­ лизируются при 30-40 мм.

2.7. МОДЕЛЬ ФИЛЬТРАЦИОННОЙ КОНСОЛИДАЦИИ ПОРИСТЫХ СРЕД

Деформирование пористых насыщенных пород представля­ ет собой довольно сложный процесс, в ходе которого одновре­ менно происходят деформирование минерального скелета породы под влиянием меняющихся эффективных напряжений и градиен­ тов пластового давления, а также фильтрация жидкости в порах под влиянием градиентов пластового давления и объемных деформаций скелета. В механике грунтов эти процессы рассмат­ риваются в модели фильтрационной консолидации (см. главу 3 [44, 45]).

В данной модели напряженно-деформированное состояние пористой насыщенной породы определяется совместным решени­ ем систем дифференциальных уравнений, описывающих дефор­ мирование скелета породы и фильтрацию флюида.

Первая группа уравнений представляет собой известные урав­ нения равновесия твердого тела и с учетом принципа Терцаги для эффективных напряжений.

Вторая группа уравнений определяет ламинарное течение жидкости в пористой среде и на основании закона фильтрации Дарси.

Третья группа уравнений представляет собой закон сохране­ ния массы вещества.

Совместное решение данных дифференциальных уравнений определяет напряженно-деформированное состояние упругой пористой среды при ламинарном течении пластовой жидкости. Точное аналитическое решение задач фильтрационной консоли­ дации имеется для весьма ограниченного круга задач, поэтому разработаны численные алгоритмы, основанные на методе конеч­ ных элементов.

В конечно-элементной постановке решение систем дифферен­ циальных уравнений сводится к решению системы линейных уравнений следующего вида:

[*]{£/}+[С] {/>} = {F}\

где {U} ~ вектор узловых перемещений; {F] - вектор узловых сил; {Р} - вектор пластовых давлений.

В первом уравнении системы (2.7.1) вектор узловых сил за счет деформаций скелета породы и вектор узловых сил за счет градиента пластового давления в сумме равны вектору заданных нагрузок. Во втором уравнении объемная деформация скелета породы, приток флюида за счет градиента пластового давления и изменение объема сжимаемого пластового флюида в сумме рав­ ны нулю, что отражает закон сохранения массы вещества.

Матрицы [К], [#ф] и [Е] представляют собой матрицу жестко­ сти скелета породы, матрицу фильтрационных свойств и матрицу сжимаемости флюида. Матрица [С] определяется из выражения

формы).

Приток флюида AV® за счет градиента пластового давления за определенный интервал времени At от момента времени t„_t до момента t„ может быть найден в виде следующего интеграла:

В свою очередь интеграл от пластового давления выражается через граничные значения давления в начале и конце интервала времени по формуле

(2.7.4)

где рп.ь рп - пластовое давление в начале и конце интервала, а - коэффициент, зависящий от вида функции p(t).

Если считать, что пластовое давление в течение интервала времени At остается постоянным, то а = 0. В этом случае реше­ ние упрощается, но для достижения необходимой точности тре­ буются очень мелкие интервалы времени. Если же принять, что в течение интервала времени At пластовое давление изменяется по линейному закону, то а = 0,5. В этом случае исходная система линейных уравнений (2.7.1) записывается следующим образом:

[К){ип}+ [С){Р„} - {F}-,

= [С]т{[/„_,} + Аг / 2[*ф]{Р„_,} - [£] {Р._,},

где {[/„_i}, {f/n}, {Pn-i}, {Рп} - вектор узловых перемещений и пла­ стовых давлений на моменты времени tn.\ и tn.

Как правило, задачи фильтрационной консолидации решаются на основании именно системы уравнений (2.7.8), поскольку из­ вестно (см. главу 3 [10]), что при а > 0,5 итерационный процесс всегда является сходящимся, а величина интервала времени At влияет только на точность решения. Более детальное описание алгоритма численного расчета задач фильтрационной консолида­ ции можно найти в источниках [10, 39].

С помощью данной модели в программном комплексе GEO­ TECH был выполнен расчет оседаний земной поверхности при отработке нефтяного месторождения. Рассматривался круговой коллектор радиусом R = 3000 м и глубиной 1500 м, т.е. R/H = 2. Мощность коллектора 50 м, коллектор и окружающие породы считались линейно-упругими с характеристиками Е = 5000 МПа, v = 0,25. Коэффициент сжимаемости пластового флюида 1Ю '3 МПа"1, вязкость 510"3 Па с, коэффициент пористости пла­ ста 0,2, проницаемость 0,1 Д, начальное пластовое давление

Расстояние от центра, мм

Рис. 2.7.1. Сравнение упругой модели и модели фильтрационной консолидации: / - модель консолидации; II - упругая модель; 1 - кровля коллектора; 2 - почва коллектора; 3 - поверхность

15 МПа. Оседания земной поверхности определялись при паде­ нии пластового давления на 5 МПа. Первоначально расчеты вы­ полнялись в комплексе GEOTECH по модели фильтрационной консолидации, а затем - в программном комплексе ANSYS по упругой модели. При этом падение давления 5 МПа задавалось в виде распределенной нагрузки по контуру коллектора.

Сравнение двух вариантов показано на рис. 2.7.1. Как видно, оба расчета весьма близко соответствуют друг другу, за исключе­ нием локальных особенностей на границе коллектор-неколлектор. Расчеты в ANSYS показывают оседания на 1,5 мм больше, чем в GEOTECH, т.е. на 4 %, а уплотнение коллектора в центре модели отличается на 2 мм, т.е. на 6 %. Однако этот эффект можно свя­ зать с тем, что в GEOTECH применяются треугольные симплексэлементы, которые имеют более высокую жесткость на изгиб.

Таким образом, при равномерном падении давления в коллек­ торе простого строения прогноз оседаний земной поверхности можно рассматривать как задачу теории упругости, используя в качестве исходных данных величину падения пластового давле­ ния. Более подробно об особенностях деформирования пористых насыщенных сред говорится в главе 6.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы К ГЛАВЕ 2

1.Баклашов И.В. Деформирование и разрушение породных масси­ вов. - М * Недра, 1988. - 271 с.