Математическое моделирование в естественных науках.-1

где ε1пр – предельная главная деформация, зависящая от коэффициента жесткости напряженного состояния, температуры, скорости деформирования и влажности W; ε1 – накопленная

главная деформация.

Непосредственное использование критерия (3) в практических расчетах предполагает его значительное упрощение:

– не будем учитывать в данной работе зависимость предельной главной деформации ε1пр от температуры, скорости де-

формирования и влажности в силу практического отсутствия исходных данных;

– от интеграла (3) перейдем к конечной зависимости. Таким образом, предлагается использовать упрощенный

вариант критерия (3) в виде

По аналогии с классическими критериями разрушения можно ввести коэффициент запаса прочности по деформационному критерию:

численного моделирования экспериментов на сжатие, и коэффициенты критерия разрушения (4) выражаются как

ε1 ≥ ε1пр ( p / σu ) = kМ (0,012k2 + 0,136k + 0,50) при k < 0,

61

ε1 ≥ ε1пр ( p / σu ) = kМ (9,13k3 −1,63k2 + 1,77k + 0,50) при k > 0, (6)

где kМ = 2,1 (для сильвинита);

ε1 ≥ ε1пр ( p / σu ) = kМ (0, 238k2 + 0,41) при k < 0,

(7)

ε1 ≥ ε1пр ( p / σu ) = kМ (−3,92k4 + 11,98k3 + 3,72k2 − 0,84k + 0,41)

при k > 0,

где kМ = 0,35 (для карналлита).

Численное моделирование процесса сжатия образцов соляных пород было проведено в двумерной осесимметричной постановке в пакете Ansys. В расчетной схеме рассматривалась половина образца: левая вертикальная граница – ось симметрии, правая – свободная граница. На нижней грани реализовалось отсутствие перемещений (неподвижная траверса

ссильным трением). На верхней грани отсутствовало радиальное перемещение и задавалось вертикальное перемещение

сшагом εу = −0,1% (подвижная траверса испытательной ма-

шины с сильным трением).

Исходные параметры расчета: модуль Юнга 8500 МПа, коэффициент Пуассона 0,35, масштабный коэффициент kM = 2,1, диаметр образца d = 4 см.

Впластической области принята модель кинематического деформационного упрочнения, использующая экспериментальные кривые нагружения.

Вобласти (элементах сетки) образца, где в ходе нагружения срабатывал критерий разрушения (n<1), свойства трещиноватого материала понижались с коэффициентом уменьшения свойств материала less = 0,5.

62

ЧИСЛЕННОЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЧИСТОГО ИЗГИБА В ПОСТАНОВКЕ ДИЛАТАЦИОННОЙ И ГРАДИЕНТНОЙ ТЕОРИИ ПОРИСТЫХ СРЕД

А.В. Волков, Ю.О. Соляев, С.А. Лурье

Институт прикладной механики Российской академии наук,

Москва, Россия, volkov.9291@mail.ru

Рассмотрены численные и аналитические решения задач чистого изгиба балки в двух различных неклассических моделях пористых сред. В первом случае рассматривается среда с микроструктурой, которая является частным случаем теории Миндлина, в предположении, что в среде присутствуют только свободные деформации изменения объема. Во втором случае рассматривается градиентный вариант теории пористых сред, который получен на основе вариационной формулировки теории сред с микроструктурой с использованием гипотезы Аэро–Кувшинского о пропорциональности свободных и стесненных деформаций изменения объема. Проводится сравнение аналитических решений, построенных полуборатным методом, и численных решений, построенных методом конечных элементов.

Ключевые слова: пористые среды, микродилатация, задача чистого изгиба балки, модели обобщенных континуумов.

Классическая формулировка теории упругости пористых сред (дилатационной теории упругости) предполагает введение параметра изменения объемного содержания материала φ в каче-

стве дополнительной кинематической переменной модели [1]. С точки зрения модели Миндлина в такой среде допускается присутствие только свободных деформаций изменения объема (свободной дилатации). Таким образом, в модели имеются следующие кинематические соотношения:

PR – исходное объемное содержание пор, P – текущее объемное содержание пор.

64

Определяющиесоотношениямоделидляизотропнойсреды:

σij = λθ+ 2μεij + βφδij , hi = αφ,i , g = −ξφ− βεkk .

Здесь σij – тензор напряжений, θ = εkk δij – дилатация, λ, μ – параметры Ламе, hi , g – неклассические самоуравновешенные напряжения, β, ξ, α– дополнительные материальные константы

теории пористых сред.

Уравнения равновесия в модели в предположении отсутствия объемной нагрузки:

σij , j = 0 , hi , i + g = 0.

Граничные условия:

σij nj = pi0 , ui = ui0 , hi ni = αφ,i ni = 0.

Градиентный вариант модели сред со свободной дилатацией был предложен в работе [2] путем введения гипотезы Аэро – Кувшинского о пропорциональности свободных и стесненных деформаций изменения объема. В этом случае из кинематических переменных модели исключается перепенная изменения объемного содержания φ, так как она считается линейно-

пропорциональной дилатации среды. Вместо трех материальных констант β, ξ, α в модели возникает единственный масштабный

параметр . Определяющие соотношения модели формулируются для классического тензора напряжений и неклассического вектора напряжений mi (аналог моментных напряжений в градиентной теории упругости):

Уравненияравновесиятеорииимеют повышенныйпорядок:

σij, j − mi, jj = 0.

65

Естественные граничные условия следуют из вариационной постановки:

В докладе рассматривается решение задачи о чистом изгибе балки. Приближенное аналитическое решение в дилатационной теории упругости впервые было построено в работе [1]. Вдокладе представлено аналогичное аналитическое решения, построенное врамках градиентной теории упругости пористых сред. Представлено сравнение численных и аналитическых решений в дилатационнойтеорииупругости ивградиентнойтеорииупругости.

Список литературы

1.Stephen C. Cowin, Jace W. Nunziato Linear elastic materials with voids // Journal of Elasticity. – 1983. – 13.

2.Белов П.А., Лурье С.А., Континуальная модель микроге-

терогенных сред // ПММ. – 2009. – Т. 73, № 5. – С. 833–848.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ МЕТОДОМ РЕШЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ БОЛЬЦМАНА

И.В. Володин1, А.А. Алабужев2

1Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, ivanwolodin@gmail.com

2Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, alabuzhev@mail.ru

Численно моделируются плоскопараллельные течения методом решёточных уравнений Больцмана (Lattice Boltzman Method, LBM) сиспользованием аппроксимации Батнагара–Гросса–Крука. Рассматриваются двумерные течения Куэтта и Пуазейля, а также течение в прямоугольной полости с подвижной стенкой.

Ключевые слова: метод решеточных уравнений Больцмана, LBE, LBM, изотермическая жидкость, однофазная жидкость, вязкая жидкость.

66

Ввиду того, что течение жидкости описывается сложными дифференциальными уравнениями, которые не имеют общего решения в аналитическом виде, широкое распространение получили различные вычислительные методы. Подход, предложенный в данной статье, базируется на кинетическом уравнении Больцмана. Дискретизация этого уравнения и его дальнейшее программирование стали возможными благодаря аппроксиматическому решению Батнагара–Гросса–Крука [1].

Метод решеточных уравнений Больцмана удобен своей концептуальной и вычислительной простотой, кроме того, он легко распараллеливается.

Уравнение Больцмана имеет вид:

где v – скорость жидкости; f – одночастичная функция Больцма-

на; F – сила, действующая на жидкость; Г(+) − Г(–) – оператор столкновения.

Для численного моделирования нам необходимо:

♦Ввести равномерную сетку пространственных координат, при этом поведение жидкости будем определять именно

вэтих узлах сетки.

♦Дискретизировать время – будем определять состояние жидкости в равноотстоящие моменты времени.

♦Позволить частицам иметь только определенные значения скорости, так, чтобы за шаг по времени они успевали перейти в соседний узел.

Рассматриваются частицы одинаковой единичной массы, следовательно, устанавливается простая связь с макроскопическими параметрами жидкости [2].

Связь с макроскопической скоростью:

u = 1ρ n fa .

a=1

67

Связь с макроскопической плотностью:

n

ρ = fa ,

a=1

где n – количество разрешенных скоростей. Дискритизированное уравнение Больцмана имеет вид:

где τ – время релаксации, время перехода системы из текущего состояния fi в состояние, соответствующее наименьшей энер-

гии, fieq – равновесная функция распределения (в данной работе

используется функция распределения Максвелла [2]).

Для описания движения частицы используется двумерная девятискоростная модель D2Q9 [1, 2].

Вычислительнаяпрограмма состоит изнесколькихмодулей:

1)Задание макроскопических параметров жидкости, таких как плотность, скорость и время релаксации системы.

2)Распространение введенных значений на каждый узел.

3)Задание граничных условий.

4)Вычисление скорости в каждом узле.

5)Задание оператора столкновения и вычисление функции Больцмана на всей решетке.

6)Задание градиента внешней силы.

7)Циклическое повторение пунктов 3–6 до тех пор, пока система находится в неравновесном состоянии.

Рассматриваются двумерные течения Куэтта и Пуазейля,

атакже течение в прямоугольной полости с подвижной стенкой. Для иллюстрации работы метода приведем результаты моделирования задачи течения вязкой жидкости в прямоугольной полости с твердыми стенками, верхняя стенка которой движется с заданной постоянной скоростью: проекция компоненты скоро-

68

сти на ось Ox – Vx = 0,2, на ось Oy – Vy = 0. Данная задача не имеет точного аналитического решения. Численное решение было получено, например, в работе [3].

Графики решения данной задачи методом LBM (Lattice Boltzman Method) при входных параметрах единичной плотности и единичного времени релаксации приведены ниже. Они соответствуют установившемуся стационарному течению в момент времени t = 10 000. Все физические параметры обезразмерены в единицах вязкости.

Нами была использована решетка Nx × Ny=100 × 50.

Из приведенных графиков (рис. 1, 2) видим, что решение,

полученное с помощью LBM (Lattice Boltzman Method), на ша-

ге по времени, который соответствует установившемуся течению, сошлось к правильному результату (например, в сравне-

нии с [3]).

Рис. 1. Течение в прямоугольной полости. Зависимость Vx от Ny

69