Математическое моделирование в естественных науках.-1

Максимальные напряжения (рис. 3) возникают в окрестности полюсов включений на расстоянии ≤ 2 нм от поверхности и на два порядка выше напряжений в ненаполненном связующем (для задачи со слоями). В работе [2] предложен критерий для оценки возникновения разрушения (кавитации) связующего между двумя частицами с учетом поверхностного натяжения полимера на границе с жестким включением:

где A = 9K (1+ν) / (1–ν) / (4G+3K); K – объемный модуль; γ – по-

верхностное натяжение полимера; Gc – удельная энергия разрушения полимера; ν – коэффициент Пуассона полимера; G – модуль сдвига.

Рис. 3. Максимальные растягивающие напряжения в окрестности полюсов включений для случаев без слоев (а), с максимальным модулем слоя 10 МПа (б) и 100 МПа (в)

Графики σcrit (δ0) показаны на рис. 4, сравнение этих результатов с рис. 3 дает оценку началу разрушения.

Для задачи с модулем слоя 100 МПа разрушение возможно только в зазорах > 40 нм; в остальных случаях в зазорах > 60 нм. Это указывает на то, что близкие включения в резине при растяжении материала должны двигаться группами, а раз-

231

АНАЛИЗ ЧИСЛЕННОГО И ПРИБЛИЖЕННОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЙ ТЕОРИИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ

ДЛЯ ТРУБЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ КОНТУРОМ

А.Д. Москалик

Самарский государственный технический университет,

Самара, Россия, annmoskalik1@gmail.com

Проведено сравнение приближенного аналитического решения задачи об установившейся ползучести толстостенной трубы с эллиптически возмущенным внешним контуром, находящейся под внутренним давлением, полученное с помощью метода малого параметра с учетом приближения до второго включительно, с численным решением этой же задачи на основе метода конечных элементов. Показана степень соответствия численного и приближенного аналитического решений.

Ключевые слова: толстостенная труба, эллиптический внешний контур, метод малого параметра, конечно-элементная модель, погрешность приближенного аналитического решения.

Рассматривается толстостенная труба под действием внутреннего давления q с внутренним контуром в виде окружности

радиусом r = h , внешним эллиптическим контуром с большой полуосью r = a и малой полуосью r = b (рис. 1) в условиях установившейся ползучести. В качестве малого параметра δпринимается величина сжатия эллипса: δ = (a − b) / a . Аналогичная за-

дача для несоосной трубы решена методом малого параметра в работах [1, 2]. Для упругопластических тел данный метод решения детально изложен в монографии [3].

Задача решается в условиях плоского деформированного состояния в предположении степенного закона ползучести и несжимаемости материала для скоростей деформаций ползучести.

Используется разложение тензора напряжений σij , тензора скоростей деформаций ползучести εij , вектора скоростей перемещений ui и уравнения внешнего контура по малому параметру δ до членов второго порядка включительно. Для определения

233

последующих (после нулевого) приближений используются линеаризованные определяющие соотношения и линеаризованные граничные условия на внешнем контуре трубы при r = a . Методика построения приближенного аналитического решения до второго приближения включительно приведена в [4].

Сравнительный анализ приближенного и численного решений выполнен на модельном примере трубы из сплава ЭИ698 при следующих параметрах: h =115 мм; a = 150 мм; величина δ изменялась от 0 до 0,06 с шагом 0,02. Численный расчет осуществлялся в программном комплексе ANSYS. На рис. 2 представлен график тангенциальных напряжений при θ = π / 2, δ = 0,04 , где

верхний индекс означает количество приближений, используемых для расчета напряжений, ( σANS ) – напряжения, полученные в результате численного решения.

Оценка погрешности приближенного аналитического решения до второго приближения включительно и численного проведена на основе значений радиальных σrr и тангенциальных σθθ

234

приближенного аналитического и численного решений соответственно.

В таблице через дробную черту приведены оценки погрешности между приближенным аналитическим и конечно-элемен- тным расчетами для трубы по двум нормам (1) в процентах.

Величина сжатия δ = 6 % для рассмотренной в качестве

модели трубы в абсолютных величинах составляет 9 мм, что при толщине данной трубы 35 мм составляет 26 % толщины. Тем не менее при δ = 6 % погрешность аналитического решения от чис-

ленного не превышает 10 %.

Погрешность приближенного аналитического решения от численного для трубы с эллиптическим внешним контуром для сплава ЭИ698 при θ = π / 2

Таким образом, можно утверждать, что приближенное аналитическое решение применимо в прикладных задачах при величине сжатия эллиптического внешнего контура до δ = 6 % .

Результаты выполненной работы, а также исследований [1, 2, 4]

235

позволяют сделать вывод о хорошей согласованности численного и аналитического решений с учетом двух приближений.

Список литературы

1.Москалик А.Д. Применение метода возмущений к задаче о несоосной трубе в условиях установившейся ползучести // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2013. –

№4 (33). – С. 76–85.

2.Радченко В.П., Москалик А.Д., Адеянов И.Е. Сравнительный анализ приближенного аналитического и конечно-элемен- тного решений для несоосной трубы // Вестник Самар. гос. техн.

ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2014. – № 3 (36). – С. 39–49.

3.Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. – М.: Наука, 1978. – 208 с.

4.Радченко В.П., Москалик А.Д. Приближенное аналитическое решение задачи для трубы с эллиптическим внешним контуром в условиях установившейся ползучести // Вестник Самар. гос.

техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2014. – № 4 (37). – С. 65–84.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИАГРАММ СОСТОЯНИЯ ЭВТЕКТИЧЕСКИХ СИСТЕМ СПЛАВОВ

Е.Ю. Мощенская1, Б.И. Кашкаров2

1Самарский государственный технический университет,

Самара, Россия, lmos@rambler.ru,

2Экспертно-исследовательское отделение № 1 (ЭКС региональный филиал ЦЭКТУ г. Нижний Новгород), Самара, Россия, boris.kashkarov@gmail.com

Представленаматематическаямодельфазовойдиаграммы«состав– температура» на примере гетерогенных сплавов Cd-Bi. Предложены уравнения для описания кривых ликвидуса двойных эвтектических систем, которые могут быть представлены как зависимость температуры ликвидуса от состава, а также для нахождения состава и температуры эвтектики. Разработаны алгоритмы для нахождения параметров уравнений,

236

описывающих ликвидус бинарной системы. Качество предложенной моделиоценивалосьспомощьюсреднейошибкиаппроксимации.

Ключевые слова: алгоритмы, двухкомпонентные эвтектические системы, кривые ликвидуса, математическое моделирование, фазовые диаграммы «состав–температура».

Предложена новая математическая модель фазовой диаграммы «состав–температура», позволяющая существенно сократить эксперимент и повысить надежность полученных результатов.

Предположив, что температура ликвидуса определяется составом сплава, данная зависимость может быть представлена следующим уравнением:

где Tl – температура ликвидуса, Ti – температура плавления чистого компонента, Сi, Cj – содержание компонентов в сплаве, мол. %, a и b – эмпирические постоянные, связанные между собой через поправочный коэффициент Кi, который зависит от содержания i-го компонента:

Фазовая диаграмма «состав–температура» двухкомпонентного гетерогенного сплава может быть представлена как зависимость температуры ликвидуса от состава сплава, соответственно для каждой ветви ликвидуса:

– для сплавов Cd-Bi, для Cd:

237

– для Bi:

где Tl – температура ликвидуса, ºC; CCd , CBi – содержание компонентов в сплаве (мол. %); Ti – температура плавления i-го ком-

стоянные для двухкомпонентных сплавов Mei − Mej .

Пересечение этих линий соответствует температуре и составу эвтектики. Решая систему двух уравнений (3)–(4), наложив дополнительное условие, что сумма концентраций в сплаве

всегда равна 100 %: CМеi + CМеj = 100,i ≠ j;i, j = 1,2 , определяют

состав и температуру эвтектики.

Параметры распределения a и b найдены методом математического моделирования, разработан соответствующий алгоритм их определения [1].

Следует отметить, что уравнение (1) предполагает изменение концентрации i-го компонента в пределах от 0 до 100 мол. %. В действительности кривая ликвидуса расположена в более узком интервале содержаний от Сe до 100 мол. %, где Ce – состав эвтектики. Поэтому фазовое поле, лежащее между линией ликвидуса и солидуса, необходимо принять за 100 %. Тогда выражение (1) после достаточно простых преобразований имеет вид:

Данное уравнение использовано для построения кривой ликвидуса:

238

– для сплавов Cd-Bi, для Cd:

Ce – состав эвтектики, вычисленный по уравнениям (3)–(4), мол. %;

постоянные для двухкомпонентных сплавов Mei − Mej , найденные

сучетомпересчетаконцентраций.

Фазовая диаграмма «состав–температура» для сплавов Cd–Bi, соответствующая модели, представлена на рисунке, расчеты – в таблице.

Рис. Ликвидус двухкомпонентной системы Cd–Bi;

(–) – экспериментальные данные [3]; (●) – расчет по уравнениям (6)–(7)

239

Расчет точек кривой ликвидуса двухкомпонентных металлических систем сплавов Cd–Bi

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части государственного задания ФГБОУ ВО «СамГТУ» («Исследование физико-химических свойств поверхности и наносистем») и Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-38-00816 мол_а)

240