Математическое моделирование в естественных науках.-1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ИНИЦИАЦИИ ТРАНСКРИПЦИИ МОЛЕКУЛЫ ДНК

А.Э. Ковыляева1, А.С. Никитюк2, О.Б. Наймарк2

1Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, annakovilyaeva@gmail.com,

2Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук, Пермь, Россия, naimark@icmm.ru, nas@icmm.ru

В данной работе разработана математическая модель процесса инициации транскрипции молекулы ДНК. Подтверждено с помощью численного решения уравнений движения с простыми начальными условиями, что реализованная модель является адекватной и пригодна для исследования актуальных научных вопросов в рамках тематики работы.

Ключевые слова: геликоидальная модель молекулы ДНК, транскрипция молекулы ДНК.

Молекула ДНК выполняет функцию хранения наследственных признаков (генетической информации) на протяжении ряда поколений. Для того чтобы хранящаяся в ДНК информация могла быть воспроизведена, ее необходимо считать. Процесс, при котором происходит перенос генетической информации с ДНК на РНК, называется транскрипцией [3]. Спиралевидный вид ДНК оказывает существенное влияние на процесс транскрипции. Известно, что локальное открытие двух нитей, образующих двойную спираль, невозможно без локального раскручивание самой спирали.

Наиболее сложной и жестко регулируемой стадией транскрипции является стадия инициации. Инициация транскрипции происходит в специфических участках ДНК и сама состоит из нескольких стадий. Детальный молекулярный механизм инициации транскрипции и механизмы структурных превращений РНК-полимеразы, происходящих на разных стадиях инициации, во многом остаются неизвестными, поэтому актуальным является построение математической модели инициации транскрипции молекулы ДНК.

141

Для изучения инициации молекулы ДНК выбрана геликоидальная модель молекулы ДНК [1], основой которой является модель Пьерара–Бишопа [2]. Цель работы – исследовать влияние локального изменения спирализации молекулы ДНК на процесс инициации транскрипции с помощью модели Пьерара–Бишопа, учитывающей геликоидальную форму молекулы ДНК.

В работе произведен обзор научной литературы по следующим темам: структура, функции, динамика и модели ДНК. Выполнены содержательная, концептуальная, математическая постановки поставленной задачи. С помощью численного метода Гира 5-го порядка были получены зависимости радиуса и угла поворота для каждой пары оснований в конечный момент времени. В первом случае начальное состояние задавалось смещением одной из пар оснований, во втором случаем – скрученность молекулы ДНК не соответствовала равновесному положению. Полученные результаты соответствуют экспериментальным данным.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 16-41- 590235).

Список литературы

1.Barbi M. Localized solutions in a model of DNA helicoidal structure // PhD Thesis. – Universita degli studi di Firenze. – 1998.

2.Peyrard M. Nonliniar dynamics and statistical physics of DNA // Nonlinearity. – 2004. – No. 17.

3.Альбертс Б. Молекулярная биология клетки / под ред. Г.П. Георгиев, Ю.С. Ченцов. – М.: Мир, 1994. – Т. 3. – 504 с.

142

МОДЕЛЬ ФРАГМЕНТАЦИИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ В МЕТАЛЛАХ

Н.С. Кондратьев

Научно-исследовательский институт механики Национального исследовательского Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, Россия, kondratevns@gmail.com

Предложено математическое описание процесса динамической рекристаллизации, возврата, упрочнения на основе существующих физических механизмов в рамках двухуровневой модели неупругого деформирования. В отличие от большинства существующих статистических моделей развиваемая модель позволяет учитывать эволюцию не только дефектной, но и зеренной структуры.

Ключевые слова: физические теории пластичности, дисклинации, фрагментация, динамическая рекристаллизация, динамический возврат.

В настоящее время существует огромная потребность в создании функциональных материалов и сплавов с априори предписанными характеристиками и свойствами. Решение такой задачи невозможно без привлечения методов математического моделирования. Вследствие этого перспективным представляется физический подход к описанию неупругого деформирования, который основан на явном рассмотрении механизмов эволюционирующей дефектной и зеренной структуры [1, 2]. Свойства материалов определяются как их компонентным составом, так и – в значительной степени – технологией обработки. При решении технологических задач эффективным представляется статистический многоуровневый подход к построению модели материала, которая встраивается в конечно-элементный код. В настоящей работе рассматривается «расширенная» статистическая многоуровневая модель материала, позволяющая учитывать взаимодействие зерен с их соседями, которое зависит от взаимоориентации решеток кристаллитов и ориентации границ.

В поликристаллических материалах динамическая рекристаллизация, как правило, бывает двух типов– прерывистая и не-

143

прерывная. Прерывистый механизм заключается в зарождении новых зерен в областях существенных искажений решеток (границы фаз, зерен, двойников, полосы сдвига) и их последующем росте диффузионным путем. Такой процесс имеет место в материалах с низкой и средней энергией дефекта упаковки, когда процесс динамического возврата существенно затруднен. Движущей силой появления нового кристаллита и его дальнейшего роста является разность запасаемой энергии в соседних зернах, которая предполагается пропорциональной плотности дислокаций [3]. При росте новых зерен с пониженной плотностью дислокаций падает градиент плотности дислокаций, что и может привести к остановке процесса рекристаллизации. Другим фактором, замедляющим процесс роста, является столкновение растущих зерен при миграции границы. Непрерывная рекристаллизация проходит в поликристаллах свысокой энергией дефекта упаковки, достаточной для реализации динамического возврата. Указанная рекристаллизация может осуществляться многими способами [3]. Геометрическая динамическая рекристаллизация осуществляется при высокотемпературной пластической деформации в материалах, где происходит динамический возврат, в результате чего в зернах появляются субзерна, аграница зерен становится «зубчатой» и «волнистой», увеличивая разориентацию между зернами. Дальнейшие интенсивные пластические деформации постепенно «вытягивают» зерна с высокоугловыми границами, содержащие фрагменты малоугловых границ, до тех пор, пока их толщина не становится сопоставимой с фрагментами. В дальнейшем происходит взаимопроникновение зерен, которое видоизменяет высокоугловые границы. В результате образуются небольшие равноосные зерна, сравнимые по размерам с фрагментами, но с высокоугловыми границами. Другим способом, реализующим непрерывнуюрекристаллизацию, являетсяактивный разворот субзерен, для появления которого требуется динамический возврат [3] – ротационная динамическая рекристаллизация. При этом происходит последовательные развороты субзерен, начиная от границ зерен, т.е. субзерна, находящиеся в центре зерна, могут не изменить ориентацию, а у границ иметь высокоугловую

144

разориентацию. Вышеупомянутые механизмы могут реализовываться параллельно и в экспериментальных исследованиях их сложно разделить. Другой механизм непрерывной рекристаллизации заключается в том, что при невысоких интенсивностях деформаций (примерно 5–10 %) формируется ячеистая структура при самоорганизации решеточных дислокаций [4]. Образуются размытые «толстые» границы ячеек, внутри которых плотность дислокаций невелика. В результате дальнейшей деформации изначально «толстые» границы становятся более узкими. Плотность дислокаций в ячейках уменьшается, а в границах увеличивается. Малоугловые границы ячеек переходят в высокоугловые, и их скорость миграции резко возрастает. Предполагается, что зародышами центров рекристаллизации являются наиболее разориентированные, совершенные, крупные ячейки, которые растут за счет окружающихсубзерен.

Целью данной работы является построение физической модели непрерывной динамической рекристаллизации в рамках многоуровневого подхода описания неупругого деформирования [1]. Для этого анализируются реальные физические механизмы указанного типа рекристаллизации, выделяются их общее черты и предлагается математическое описание. Из приведенного выше описания механизмов рекристаллизации видно, что непрерывная рекристаллизация заключается в специфичном механизме формирования зародышей рекристаллизованных зерен [3] при активном участии высокотемпературного процесса динамического возврата. Анализ физических причин прерывистой рекристаллизации, реализующейся по механизмам ротационной, геометрической или ячеистой рекристаллизации, указывает на то, что для дальнейшего роста рекристаллизованных зерен должны выделиться небольшие по объему разориентированные области с высокоугловыми границами. В дальнейшем под действием приложенных напряжений и температурных воздействий указанные области могут начать расти диффузионным путем.

Первым этапом в решении данной проблемы является построение физически обоснованной модели фрагментации, кото-

145

рая будет включена в двухуровневую статистическую модель [1, 2], учитывающую структуру зерен и их взаимодействие. При этом предполагается, что на морфологических особенностях границ – тройных стыках и изломах – образуются дефекты дисклинационного типа [5]. Основным механизмом пластического деформирования полагается движение краевых дислокаций, естественным препятствием при движении последних являются границы исходных зерен. Мощные локальные напряжения от дисклинационных дефектов приводят к тому, что в изначально однородных областях возникают разориентированные подобласти, разделенные «внутренними границами». Причиной такого процесса является несовместность пластической деформации на границах, обусловленная различной ориентацией примыкающих к ним зерен. В процессе пластической деформации мощность дисклинаций увеличивается, увеличивая разориентацию подобластей вплоть до появления высокоугловых границ. Параллельно проходящие процессы динамического возврата приводят к формированию малодефектных зерен. В результате этого за счет разности плотности дефектов соседних зерен создаются благоприятные условия для роста рекристаллизованных бездефектных зерен за счет самодиффузии. Предлагаемый подход позволяет рассмотреть эволюцию не только дефектной, но и зеренной структуры, которая, как известно, существенным образом влияет на отклик поликристаллического материала.

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте механики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского за счет гранта Российского научного фонда

(проект № 15-19-10039).

Список литературы

1. Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. поли-

техн. ун-та, 2013. – 244 с.

146

2.Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, № 4. – С. 17–28.

3.Recrystallization and related annealing phenomena / A. Rollett, F.J. Humphreys, G.S. Rohrer, M. Hatherly. – Oxford: Elsevier, 2004. – 574 p.

4.Aust K.T., Rutter J.W. Grain boundary migration in highpurity lead and dilute lead-T in alloys // Trans. AIME. – 1959. – Vol. 215. – Р. 119–127.

5.Rybin V.V., Zisman A.A., Zolotorevsky N.Y. Junction disclinations in plastically deformed crystals // Acta metallurgica et materialia. – 1993. – Vol. 41, no. 7. – Р. 2211–2217.

МЕТОДИКА ИЗВЛЕЧЕНИЯ ИМПЕДАНСА КРУПНОГАБАРИТНОЙ ЗВУКОПОГЛОЩАЮЩЕЙ КОНСТРУКЦИИ

И.А. Корин

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, korinvanj@mail.ru

Предложена методика извлечения импеданса крупногабаритной звукопоглощающей конструкции при разном модальном составе звукового поля. Методика основана на численном решении уравнений, описывающих распространение волн в канале с импедансной стенкой, и минимизации функционала, который представляет собой сумму расхождений между расчетными и экспериментальными значениями акустических давлений на стенке канала. Установлено хорошее соответствие между искомым и найденным импедансом.

Ключевые слова: авиационный двигатель, звукопоглощающая конструкция, акустическийимпеданс, модальный составзвуковогополя.

Шум самолета на местности является одним из ключевых вопросов в оценке его конкурентоспособности. На режиме взлета и посадки значительный вклад в общий уровень шума самолета вносит вентилятор авиационного двигателя (АД). Для

147

подавления данного шума при его распространении в каналах АД используют звукопоглощающие конструкции (ЗПК). Ключевой характеристикой ЗПК является акустический импеданс, который по-разному воздействует на разный модальный состав шума в канале.

С целью выбора эффективного варианта ЗПК, в частности, проектирования новой геометрии резонатора, может использоваться численное моделирование [1, 2]. Однако подтверждение эффективности работы спроектированной ЗПК требует проведения экспериментальных исследований, которые обычно реализуются на установках «Интерферометр с нормальным падением волн» [3] и «Канал с потоком» [4]. В последнем случае испытания более приближены к реальным условиям функционирования ЗПК (наличие воздушного потока, ориентация образца относительно распространяющихся волн). Особенностью всех установок данного типа является узкий канал с жесткими стенками, в центральной части которого устанавливается испытываемый образец ЗПК (обычно длиной 300–400 мм), а на входе и выходе канала реализуется поршневая волна, что связано отчасти с ограниченностью используемых методов для извлечения импеданса ЗПК.

Для реальной крупногабаритной звукопоглощающей конструкции модальный состав, распространяющийся по каналу, будет совсем другим, а следовательно, изменится эффективность работы ЗПК. В результате возникает необходимость создания установок для испытания крупногабаритных ЗПК. При этом с помощью генератора звука в такой установке можно задавать определенный модальный состав, как это было реализовано в работах [5, 6]. Также необходимо отметить, что отсутствуют исследования по вопросу использования того или иного метода извлечения импеданса для решения данной задачи применительно к крупногабаритным ЗПК.

В исследованиях на канале с потоком в последние годы большую популярность приобрел подход извлечения импеданса, основанный на численном решении уравнений, описывающих

148

распространение волн в канале с импедансной стенкой, и минимизации функционала, который представляет собой сумму расхождений между расчетными и экспериментальными значениями акустических давлений на стенке канала [7]. В качестве проектных параметров данной задачи оптимизации выступают действительная и мнимая части импеданса стенки канала. Импеданс стенки, соответствующий минимальному расхождению, принимается за искомый импеданс образца ЗПК. Сильной стороной данного подхода являются возможность решения задачи для любой геометрии канала и независимость от модального состава шума в канале. Отличительными особенностями при переносе данного метода на крупногабаритную конструкцию являются отсутствие микрофонов напротив ЗПК и наличие распространяющихся азимутальных мод. Таким образом, целью работы является исследование возможности применения указанной методики в данных условиях.

Исследования проводились на основе численного моделирования акустических процессов в цилиндрическом канале с жесткими стенками диаметром 1 м, длиной 1.2 м, с центральной частью длиной 0,4 м, которая имитировала ЗПК посредством импедансных граничных условий, заданных на ее стенках. Перед и после ЗПК на стенке канала был создан массив из 9 точек, расположенных в линию, имитирующих «микрофоны». На выходе из канала был сделан так называемый «идеально согласованный слой» с целью реализации неотражающего граничного условия.

Первоначально решалась прямая задача, в которой на «микрофонах» определялось акустическое давление для заданного импеданса ЗПК и модального состава. На рисунке представлен пример распределения акустического давления по каналу для моды с азимутальным номером 13 и радиальным номером 2 на частоте 3000 Гц.

Далее решалась обратная задача: на основе давлений, полученных на микрофонах, для заданного модального состава находился импеданс ЗПК. В качестве процедуры оптимизации исполь-

149

зовался метод покоординатного спуска. Область поиска импеданса составляла: для действительной части от 0 до 10, для мнимой – от–10 до 10. Во всех расчетах в качестве начальной точки поиска импедансаиспользоваласьсередина указанных диапазонов.

Рис. Распределение акустического поля в цилиндрическом канале с ЗПК для вращающейся моды

В результате проведенных исследований было установлено, что найденные в обратной задаче значения импедансов очень хорошо согласуются с искомыми. Таким образом, можно рекомендовать описанный выше метод для извлечения импеданса крупногабаритных ЗПК. Стоит отметить, что в реальных испытаниях прямая задача будет отсутствовать, а значения на «микрофонах» будут получены прямо из эксперимента. При этом для адекватного разрешения волновых процессов в обратной задаче может понадобиться более густая конечно-элементная сетка, что существенно увеличит вычислительное время (обычно выполняется от 50 до 100 итераций вычисления функционала).

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Правительства РФ по постановлению №220 «О мерах по привлечению

150