Математическое моделирование в естественных науках.-1

те [5–11], как правило, не учитываются процесс эвакуации в кишечник, моторика пилорического сфинктера, секреторная функция тракта, нарушения функций органов, рассматривается течение однофазной ньютоновской жидкости.

Будем рассматривать движение многофазной среды в канале сложной формы, первая фаза является многокомпонентной жидкостью с растворенными на молекулярном уровне компонентами: водой, соляной кислотой, гидрокарбонатом натрия, продуктом реакции соляной кислоты и гидрокарбоната натрия (углекислым газом и хлоридом натрия), растворенными белками, жирами, углеводами, химическими веществами, полипептидами, пепсином. Частицы пищи различных диапазонов размеров рассматриваются как отдельные фазы (в общем случае – n–1 фаза). Под воздействием соляной кислоты частицы пищи растворяются, вода, белки, жиры, углеводы, химические вещества, содержащиеся в частице, переходят в компоненты первой фазы, при этом частицы пищи переходят в фазу меньшего размера. Скорость массового обмена зависит от кислотности среды (уровня pH), при нейтральной и щелочной реакции среды массовый обмен равен нулю. В первом приближении частицы пищи описываются моделью жидкости с различной вязкостью, принимается гипотеза о равенстве давлений фаз. Силы межфазного взаимодействия полагаются пропорциональными разностям скоростей взаимодействующих фаз. В модели осуществлен учет реакции нейтрализации кислоты гидрокарбонатом натрия, а также ферментативной реакции пепсина и белка.

Каждый участок стенки тракта обладает собственной поврежденностью и связанной с ней функциональностью, которая принимает значения от 0 до 1. Функциональность, отличная от 1, выражается количественной мерой снижения секреторной, всасывательной и моторной функций тракта. Скорость секреции кислоты зависит от концентрации растворенных белков, жиров, углеводов вблизи стенки тракта (в области секре-

121

ции кислоты). Скорость секреции пепсина зависит от концентрации растворенных белков вблизи стенки тракта (в области секреции пепсина). Скорость секреции гидрокарбоната натрия зависит от средней пристеночной концентрации кислоты в желудке (обратная связь). Математическая постановка задачи включает в себя уравнения сохранения массы и импульса для компонент и фаз с учетом массовых источников за счет секреции, всасывания, реакций, межфазного обмена, а также запись граничных и начальных условий. Начальное распределение частиц пищи по размерам получено на основе модификации уравнения Розин–Раммлера с учетом функциональности размельчения в полости рта. Параметры распределения получения для моркови на основе литературных данных. На стенках тракта с учетом перистальтического движения задаются кинематические граничные условия в предположении прилипания частиц среды. На сечениях входа/выхода задается давление. Для определения смещения узлов расчетной сетки при имитации распространения перистальтической волны в антруме, дуоденуме, а также моторной активности пилорического отверстия разработан алгоритм, который базируется на представлении формы волны периодической функцией [12]. В рамках данной работы представленные результаты касаются той стадии пищеварительного процесса, когда температура пищи в желудке уже достигла температуры тела человека (37 ◦С), поэтому температурные эффекты не учитываются.

Результаты моделирования показывают, что при нарушениях секреции кислоты скорость растворения частиц снижается, так как уровень pH в желудке повышается до 5. Полученные результаты согласуются с известными данными экспериментов: у больных атрофическим гастритом средний уровень pH в желудке составляет около 5,1, а у здоровых людей – 2,7 [13]. При нарушении секреции гидрокарбоната натрия уровень pH в верхней части дуоденума снижается до 3–4, что может приводить к повреждениям слизистой оболочки

122

тракта [14]. Результаты подтверждаются литературными данными: так, у пациентов с дуоденальной язвой наблюдается более длительные периоды повышенной кислотности в дуо-

денуме (pH<4).

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-01-00126 A.

Список литературы

1.Кирьянов Д.А., Камалтдинов М.Р. Методика расчета дополнительной заболеваемости и смертности на основе эволюционного моделирования риска здоровью населения // Анализ риска здоровью. – 2014. – № 1. – С. 31–39.

2.Камалтдинов М.Р., Цинкер М.Ю., Чигвинцев В.М. Моделирование рисков функциональных нарушений пищеварительной системы, обусловленных воздействием факторов образа жизни // Санитарный врач. – 2013. – № 9. – С. 67–69.

3.Методические подходы к расчету вероятностинегативных ответов для оценки индивидуальных рисков здоровью человека / Н.В. Зайцева, П.З. Шур, Д.А. Кирьянов, В.М. Чигвинцев, О.В. Долгих, К.П. Лужецкий // Профилактическая и клиническая медицина. – 2015. – № 3 (56). – С. 5–11.

4.Трусов П.В., Зайцева Н.В., Цинкер М.Ю. Моделирование процесса дыхания человека: концептуальная и математическая постановки // Математическая биология и биоинформати-

ка. – 2016. – № 1. – С. 64–80.

5.Antral recirculation in the stomach during gastric mixing / Y. Imai, I. Kobayashi, S. Ishida, T. Ishikawa, M. Buist, T. Yamaguchi // Am. J. Physiol. Gastrointest. Liver Physiol. – 2013. – Vol. 304. – P. 536–542.

6.Hao S., Wang. B., Wang. Y. Density-dependent gastroretentive microparticles motion in human gastric emptying studied using computer simulation // European Journal of Pharmaceutical Sciences. – 2015. – Vol. 70. – P. 72–81.

123

7. Fullard L.A., Lammers W.J., Ferrua M.J. Advective mixing due to longitudinal and segmental contractions in the ileum of the rabbit // Journal of Food Engineering. – 2015. – Vol. 160. –

P.1–10.

8.Ferrua M.J, Xue Z., Singh R.P. On the kinematics and efficiency of advective mixing during gastric digestion – A numerical analysis // Journal of Biomechanics. – 2014. – Vol. 47. – P. 3664–3673.

9.Flow and mixing by small intestine villi / Y.F. Lim, C. de Loubens, R.J. Love, R.G. Lentle, P.W.M. Janssen // Food and Function. – 2015. – Vol. 6. – P. 1787–1795.

10.Mathemathical modeling of transport and degradation of feddstuffs in the small intestine / M. Taghipoor, P. Lescoat, J.R. Licois, C. Georgelin, G. Barles // Journal of Theoretical Biology. – 2011. – Vol. 294. – P. 114–121.

11.Riahi D.N., Roy R. Mathematical modeling of peristaltic flow

of chyme in small intestine // Appl. Appl. Math. – 2011. – Vol. 6. –

P.428–444.

12.Трусов П.В., Зайцева Н.В., Камалтдинов М.Р. Течение в антродуоденальной области пищеварительного тракта: математическая модель и некоторые результаты // Математическая биология и биоинформатика. – 2015. – № 1. – С. 34–53.

13.Eradication of Helicobacter pylori increases gastric acidity in patients with atrophic gastritis of the corpus–evaluation of 24-h pH monitoring / K. Haruma, M. Mihara, E. Okamoto, H. Kusunoki, M. Hananoki, S. Tanaka, M. Yoshihara, K. Sumii, G. Kajiyama //

Alimentary Pharmacology & Therapeutics. – 1999. – Vol. 13. –

P.155–162.

14.Allen A., Garner A. Mucus and bicarbonate secretion in the stomach and their possible role in mucosal protection // Gut. – Vol. 21. – P. 249–262.

124

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ФРИКЦИОННЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ КОНТАКТНОЙ ПАРЫ НА НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ОПОРНОЙ ЧАСТИ

А.А. Каменских, Н.А. Труфанов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, anna_kamenskih@mail.ru

Исследовано влияние коэффициента трения на параметры контакта сферической опорной части с полимерной антифрикционной прослойкой из модифицированного фторопласта в осесимметричной постановке. В рамках численного эксперимента исследован характер распределения относительного контактного давления и относительного касательного напряжения для семи вариантов соотношения «нагрузка – коэффициент трения». Выявлены качественные и количественные закономерности изменения относительного контактного давления и относительного касательного контактного напряжения. Зарегистрирована тенденция уменьшения площади контактного сцепления при уменьшении коэффициента трения и увеличении нагрузки.

Ключевые слова: контакт, трение, антифрикционная прослойка, метод конечных элементов, упругопластичность.

Важная роль в задачах механики контактного взаимодействия отводится проблемам учета трения на поверхности контакта. Особый интерес представляют задачи о влиянии величины коэффициента трения на параметры контакта; о связи между нагрузкой и величиной коэффициента трения и т.д. Особенно актуально исследование влияния коэффициента трения в реальных системах с антифрикционными покрытиями и прослойками, в которых реализуется сложный характер взаимодействия: более двух поверхностей контакта, пространственная геометрия и условия нагружения, сложные в своём механическом поведении материалы. К таким конструкциям, в частности, относятся опорные части пролетных строений мостов.

В работе рассмотрена механика контактного взаимодействия элементов сферической опорной части мостового пролета

125

через антифрикционную полимерную прослойку при изменении коэффициента трения между сопрягаемыми поверхностями. Сферическая опорная часть включает: верхнюю стальную плиту

сшаровым полированным сегментом – 1, нижнюю стальную плиту со сферическим вырезом – 2 и разделяющую их сферическую полимерную антифрикционную прослойку – 3. Рассматривается конструкция опорной части с номинальной нагрузкой 2,5 МН, изготовленная в ООО «АльфаТех» (Россия). В качестве материала антифрикционной прослойки используется модифицированный фторопласт. Данные по коэффициентам трения для модифицированного фторопласта получены на основе серии экспериментов, проведенных д-ром физ.-мат. наук А.А. Адамовым в Институте механики сплошных сред УрО РАН (Россия).

Задача реализуется в осесимметричной постановке в рамках деформационной теории упругопластичности. Общая математическая постановка задачи контактного взаимодействия упругих тел 1 и 2 с упругопластической прослойкой 3 включает уравнения равновесия, геометрические соотношения, физические соотношения [1]. Математическая постановка включает кинематические и статические граничные условия, соответствующие реальному нагружению контактного узла. При этом общая математическая модель контактного взаимодействия упругих тел 1 и 2

супругопластической прослойкой 3 также дополняется условиями взаимодействия на поверхности контакта (проскальзывание

стрением: для трения покоя и для трения скольжения, прилипание и отлипание), ранее приведенными в [2].

По результатам натурных экспериментов (ИМСС УрО

РАН, д-р физ.-мат. наук А.А. Адамов), направленных на определение фрикционных свойств антифрикционных материалов, была составлена программа серии численных экспериментов (таблица) для двух вариантов контактного взаимодействия: со смазкой и без смазки.

В рамках серии численных экспериментов было установлено влияние фрикционныхсвойств контактирующих материалов

126

Численный эксперимент, соотношение давления и коэффициента трения

на параметры зоны контакта: контактное давление, контактное касательное напряжение:

–при увеличении нагрузки и соответствующем уменьшении коэффициента трения максимальное контактное давление увеличивается как при контакте без смазки, так и со смазкой, при этом при контакте со смазкой контактное давление больше;

–в случае относительного контактного касательного напряжения наблюдается проявление антифрикционных свойств материалов. Таким образом, максимальное значение касательного напряжения уменьшается при увеличении нагрузки, при этом при контакте со смазкой максимальное значение относительного контактного касательного напряжения значительно меньше соответствующей величины при контакте без смазки при одном уровне нагрузки.

Также была зарегистрирована тенденция уменьшения площадки сцепления контактной поверхности (рисунок).

При одном уровне нагрузки коэффициенты трения для модели без смазки и со смазкой отличаются значительно, что влияет на площадь контактного сцепления:

–при минимальной нагрузке около 90 % контактной поверхности находится в сцеплении при контакте без смазки, при этом при контакте со смазкой в состоянии контактного сцепления находится менее 50 % контактной поверхности;

127

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОГО МАГНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ

Т.О. Карасев1, А.С. Теймуразов2

1Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, amdtron111@gmail.com,

2 Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, tas@icmm.ru

Выполнено численное исследование конвективного течения жидкого магния в цилиндрической полости при неоднородном нагреве сверху. Задача рассматривалась в двумерной осесимметричной постановке. Математическая модель основана на уравнениях термогравитационной конвекции для однофазной несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска. Программная реализация вычислительного алгоритма на основе метода конечных разностей была выполнена в Wolfram Mathematica. Рассмотрены режимы течения, которые реализуются при умеренных числах Грасгофа (Gr ~ 106).

Ключевые слова: конвекция, жидкий металл, математическая модель.

Работа направлена на изучение структуры конвективного движения в аппарате восстановления титана. Интерес к численному исследованию процесса обусловлен тем, что возможности каких-либо измерений во время процесса крайне ограничены. При этом требуется обеспечить устойчивое протекание реакции, а конвективное течение может оказывать существенное влияние на работу реактора. В настоящее время ведутся работы по созданию гидродинамической модели процесса в трехмерной постановке задачи с адекватном учетом особенностей турбулентного течения [1]. Однако трехмерные расчеты требуют значительного количества вычислительных ресурсов, и даже в случае развитого турбулентного течения средние поля скорости и температуры являются осесимметричными. Цель данной работы – определение границ применимости осесимметричной математической модели для данной задачи и исследование с её помощью структуры течения в реакторе.

129

Реторта для восстановления титана представляет собой цилиндрический сосуд радиусом 0,75 м и высотой 2,5 м, в котором находится слой жидкого магния при температуре 850 °С. Считается, что конвективное движение вызвано градиентом температуры в верхней части реторты, возникающим в результате протекания экзотермической химической реакции на поверхности жидкости.

Математическая модель основана на уравнениях тепловой конвекции в приближении Буссинеска [2] в переменных функции тока ψ, вихря скорости ω и температуры T для однофаз-

ной среды в цилиндрической системе координат (ЦСК):

Верхняя, нижняя и боковая границы цилиндра считаются твердыми. Граничные условия для скорости и функции тока на твердых границах (условия прилипания):

ψГ = 0.

Завихренность ω на твердых границах вычисляется по формуле Тома:

ω = 2(ψw − ψw−1 ) .

wall h2

Граничные условия на оси симметрии:

ψi,1 = ωi,1 = 0

130