Математическое моделирование в естественных науках.-1

5.Зленко М.А. Аддитивные технологии в машиностроении // М.В. Нагайцев, В.М. Довбыш. Пособие для инженеров. –

М.: НАМИ, 2015. – 220 с.

6.Селективное лазерное плавление жаропрочного никелевого сплава / В.Ш. Суфияров, А.А. Попович, Е.В. Борисов, И.А. Полозов // Цветные металлы. – 2015. – № 1. – С. 79–84.

7.Kruth J.P., Levy G.N., Klocke F. Childs THC // Ann CIRP.

–2007. – 56 (2). – 730–59.

8.Laser Additive Manufacturing of High-Performance Materials. – Berlin: Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & KG, 2015.

9.Rombouts M. PhD thesis. – KU Leuven, 2006.

10.Князева А.Г., Сорокова С.Н., Яковлев А.Н. Управляемый лазерный синтез в сопряженных условиях теплообмена // Известия высших учебных заведений Физика. – 2015. – Т. 58,

№6/2. – С. 121–125.

11.Сорокова С.Н., Князева А.Г. Численное исследование влияния технологических параметров на состав и напря- женно-деформированное состояние покрытия, синтезируемого в условиях электронно-лучевого нагрева // Теоретические основы химической технологии. – М.: Наука, 2010. – Т. 44,

№2. – С. 184–197.

12.Кривилев М.Д., Харанжевский Е.В., Гордеев Г.А., Анкудинов В.Е. Управление лазерным спеканием металлических порошковых смесей // Управление большими системами: сборник трудов. – М.: Изд-во Ин-та проблем управления им.

В.А. Трапезникова, 2010. – № 31. – С. 299–322.

11

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЙ КАПЛИ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ НА ПОДЛОЖКЕ В ПЕРЕМЕННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

А.А. Алабужев

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, alabuzhev@mail.ru

Изучено поведение полусферической капли на подложке под действием переменного однородного электрического поля. Скорость движения контактной линии пропорциональна сумме отклонения краевого угла и скорости быстрых релаксационных процессов, частоты которых пропорциональны удвоенной частоте электрического поля. Показано, что диссипация на контактной линии приводит к ограничению максимальной амплитуды колебаний в резонансе, а также к сдвигу резонансной частоты. Для колебаний поверхности на полюсе «антирезонансные» частоты отсутствуют. Увеличение параметра Хокинга приводит к росту амплитуды колебаний, так как слабеет взаимодействие линии контакта с подложкой.

Ключевые слова: капля жидкости, полусферическая капля, вынужденные колебания, электрическое поле, электросмачивание.

Одним из примеров динамического поведения линии контакта трех сред является использование электрических полей для улучшения свойств смачивания – электросмачивание. Этому явлению посвящено большое число работ (например, см. обзор [1]), и в последнее десятилетие эта тема активно развивается в рамках общего направления – микрофлюидики.

Одним из популярных объектов для исследования электросмачивания является полусферическая капля жидкости на подложке (рис. 1) [1]. При описании движения линии контакта под действием электрического поля обычно используется условие

Юнга – Липмана [2, 3]: cos(θeq ) = cos(θY ) + εdV 2 (2dσ12 ) , где θY – краевой угол, определяемый условием Юнга, V – потенциал

12

электрического поля, εd – диэлектрическая проницаемость, d –

толщина диэлектрической подложки. Последнее слагаемое в условии Юнга – Липмана представляет собой модифицированный член уравнения Липмана [3]. Для переменного электрического поля вместо V 2 в уравнении было предложено использовать квадрат эффективного напряжения U 2 . Однако данное условие плохо описывает поведение краевого угла в переменных полях и при больших потенциалах [1, 4].

2 V

капля

1

Рис. 1. Геометрия задачи: 1 – электрод; 2 – диэлектрик

В большинстве случаев динамическое поведение линии контакта трех сред описывается эффективным граничным условием, предложенным Хокингом [5], которое допускает линейную зависимость между скоростью движения контактной линии и отклонением краевого угла от равновесного значения. Отметим, что влияние динамики линии контакта, описываемой условием Хокинга, на механические колебания полусферической капли (или пузырька) на подложке изучалось в [6–8], цилиндрической капли (или пузырька) – в [9–11]. В работе [12, 13] для сжатой капли было показано, что использование модифицированного условия Хокинга [14, 15] позволяет получить качественное совпадение с экспериментальными данными [4].

В данной работе рассматриваются вынужденные колебания капли идеальной жидкости на твердой подложке в переменном электрическом поле. В равновесии капля имеет форму полусфе-

13

ры, краевой угол между поверхностью капли и подложкой прямой. Для описания движения контактной линии используется модифицированное условие Хокинга [12–15]: скорость движения контактной линии пропорциональна сумме отклонения краевого угла и скорости быстрых релаксационных процессов, частоты которых пропорциональны частоте электрического поля.

Рис. 2. Зависимость отклонения линии контакта ζs (а), боковой поверхности ζq (б) и отклонения краевого угла δ (в)

от частоты внешних вибраций ω при разных значениях радиуса сосуда R ( λ = 1 , ρi = 0,7 , b = 1);

R = 1, 2 – сплошная линия, R = 1,2 – пунктирная,

R = 2 – штриховая

14

На рис. 2 показаны зависимости амплитуды колебаний линии контакта ζ0 , поверхности капли в полюсе ζp и краевого уг-

ла γ от частоты внешнего воздействия для трех значений безраз-

мерного параметра Хокинга λ. Этот параметр характеризует величину взаимодействия линии контакта с подложкой, при этом λ = 0 соответствует закрепленной линии контакта, а λ → ∞ – фиксированному краевому углу.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 14-01-96017-р-урал-а.

Список литературы

1.Mugele F., Baret J.-C. Electrowetting: from basics to applications // J. Phys.: Condens. Matter. – 2005. – Vol. 17. – P. 705–774.

2.Chen L., Bonaccurso E. Electrowetting – from statics to dynamics // Adv. Colloid Interface Sci. – 2014. – Vol. 210. – P. 2–12.

3.Zhao Y.-P., Wang Y. Fundamentals and Applications of Electrowetting: A Critical Review // Rev. Adhesion Adhesives. – 2013. – Vol. 1. – P. 114–174.

4.Cho S.K., Moon H.J., Kim C.J. Creating, transporting, cutting, and merging liquid droplets by electrowetting – based actuation for digital microfluidic circuits // J. Microelectromech. Syst. – 2003. – Vol. 12. – P. 70–80.

5.Hocking L.M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary // J. Fluid Mech. – 1987. – Vol. 179. – P. 253–266.

7.Fayzrakhmanova I.S., Straube A.V. Stick-slip dynamics of an oscillated sessile drop // Phys. Fluids. – 2009. – Vol. 21. – 072104.

8.Fayzrakhmanova I.S., Straube A.V., Shklyaev S. Bubble dynamics atop an oscillating substrate: Interplay of compressibil-

15

ity and contact angle hysteresis // Phys. Fluids. – 2011. – Vol. 23. – 102105.

9.Алабужев А.А., Любимов Д.В. Влияние динамики контактной линии на собственные колебания цилиндрической кап-

ли // ПМТФ. – 2007. – Т. 48. – № 5. – С. 78–86.

10.Алабужев А.А., Кайсина М.И. Собственные азимутальные колебания цилиндрического пузырька в сосуде конеч-

ного объема // Вестник ПГУ. Физика. – 2015. – Вып. 3 (31). –

С. 38–47.

11.Alabuzhev A.A., Kaysina M.I. The translational oscillations of a cylindrical bubble in a bounded volume of a liquid with free deformable interface // J. Phys.: Conf. Ser. – 2016. – Vol. 681. – 012043.

12.Кашина М.А. Отклонение краевого угла цилиндрической капли в переменном электрическом поле [Электронный ресурс] // Физика для Пермского края: материалы регион. науч.-

практ. конф. студ., асп. и молодых ученых. – Пермь, 2016. –

С. 104–107.

13.Alabuzhev A.A., Kashina M.A. The oscillations of cylindrical drop under the influence of a nonuniform alternating electric field // J. Phys.: Conf. Ser. – 2016. – Vol. 681. – 012042.

14.Алабужев А.А., Кашина М.А. Колебания цилиндрической капли в переменном электрическом поле // Технические науки – от теории к практике. – 2014. – № 41. – С. 124–128.

15.Кашина М.А., Алабужев А.А. Вынужденные колебания цилиндрической капли в переменном неоднородном электрическом поле // XIХ Зимняя школа по механике сплошных сред: сб. статей / отв. ред. Н.А. Юрлова. – 2015. –

С. 105–110.

16

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КАПЛИ В СОСУДЕ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА

А.А. Алабужев

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия, Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, alabuzhev@mail.ru

Исследуются собственные и вынужденные колебания капли жидкости в сосуде конечного объема с несжимаемой жидкостью. В равновесном состоянии капля имеет форму цилиндра, равновесный краевой угол прямой. На сосуд действует сила вибраций, параллельная оси симметрии капли. Для описания движения контактной линии используется эффективное граничное условие: скорость движения контактной линии пропорциональна сумме отклонения краевого угла. Изучена осесимметричная мода собственных колебаний, исследована зависимость частот и декрементовзатухания от параметровзадачи. Получены амплитудно-частотные характеристики для боковой поверхности капли, исследовано влияние размеровсосуданавынужденныеколебания.

Ключевые слова: капля жидкости, цилиндрическая капля, вынужденные колебания, собственные колебания.

Данная работа является продолжением работ [1–3], посвященных изучению колебаний сжатой капли между двумя параллельными твердыми пластинами, окруженной жидкостью другой плотности. Движение линии контакта описывается эффективным граничным условием, которое было впервые использовано в работе [4], в которой изучалось затухание стоячих волн между двумя вертикальными стенками. Указанное условие предполагает линейную связь между скоростью движения контактной линии и отклонением краевого угла от равновесного значения (в случае прямого равновесногокраевогоугла):

∂ζ* = Λk ζ* , ∂t

где ζ* – отклонение поверхности от равновесного положения, Λ* – феноменологическая постоянная (постоянная Хокинга),

17

k – вектор нормали к твердой поверхности. При этом условия фиксированной контактной линии и постоянного краевого угла

Хокинга и его модификации использовались при исследовании влияния вибраций на жидкую зону [5], полусферическую каплю на подложке [6], цилиндрический [7–11] и полусферический пузырек [12], а также при изучении влияния переменного электрического поля на цилиндрическую каплю [13, 14].

Рассмотрим каплю несжимаемой жидкости плотностью ρ*2 , которая находится в цилиндрическом сосуде радиусом R0* и высотой h* (рис. 1). В равновесном состоянии капля имеет форму цилиндра радиусом r0* , который ограничен в осевом

направлении параллельными твердыми поверхностями (дном и крышкой сосуда). Равновесный краевой угол между боковой поверхностью капли и твердой поверхностью прямой. Капля в сосуде окружена несжимаемой жидкостью плотностью ρ1* . На сосуд действует вибрационная сила с частотой

ω* и амплитудой A* , которая направлена вдоль оси симметрии сосуда.

18

На рис. 2. приведены зависимости отклонения линии контакта ζs , боковой поверхности ζq (z = 0,25) и краевого угла δ от частоты внешних вибраций. Профиль боковой поверхности ζ и изменение краевого угла γ в разные моменты периода коле-

баний приведены на рис. 3.

Из представленных рисунков видно, что уменьшение радиуса сосуда приводит к увеличению частот собственных колебаний и снижению значений амплитуд отклонения боковой поверхности и линии контакта. При определенных частотах ω движение капли не зависит от параметра λ: при любых значениях λ контактная линия остается неподвижной (см. рис. 2, а). В таких точках амплитуда движения контактной линии ζs обращается в нуль (см. рис. 2, а), а все кривые

ζq при разных λ пересекаются. Отметим, что данный случай не сводится к случаю закрепленной линии контакта ( λ → 0 ),

боковой поверхности ζq (б) и отклонения краевого угла δ (в)

от частоты внешних вибраций ω при разных значениях радиуса сосуда R ( λ = 1 , ρi = 0,7 , b = 1);

R = 1,2 – сплошная линия, R = 1, 2 – пунктирная,

R = 2 – штриховая

19