Метод проекций с числовыми отметками в решении инженерных задач

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

ВВЕДЕНИЕ

Любой объект пространства можно представить в виде различных моделей, что требует знания разных способов геометрического моделирования и умения при отображении объектов на чертеже аппроксимировать их в более простые геометрические формы. Графические изображения, используемые при проектировании, разнообразны. Среди них – ортогональные проекции, аксонометрия, перспектива, проекции с числовыми отметками и др.

При выполнении чертежей поверхностей сложных криволинейных форм, у которых вертикальные высотные размеры относительно невелики по сравнению с их горизонтальными параметрами, наиболее рационально использовать метод проекций с числовыми отметками (ПЧО). Поэтому в данных проекциях обычно выполняются чертежи топографических поверхностей, к числу которых относятся поверхности наиболее сложных конфигураций, геометрические законы образования которых не известны (рельеф местности, поверхность залежи полезного ископаемого, поверхность горных выработок и др.).

Основоположником отечественной теории проекций с числовыми отметками является Александр Христофорович Редер (1809–1872) –

профессор, российский специалист в области геометрии, внесший значительный вклад в развитие прикладных направлений начертательной геометрии.

Широкое распространение изображения в проекциях с числовыми отметками получили в строительстве, горном и нефтегазовом деле. Поэтому знания ПЧО как специального раздела курса «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика» необходимы для подготовки специалистов строительного и горно-геологического профиля и формировании у них такой крайне значимой для технического специалиста геометро-графической компетенции, как владение современной методикой геометризации объектов. Например, при геометризации недр и земной поверхности нельзя обойтись без графических моделей, выполненных на одной плоскости методом горизонталей (изолиний), в основе которого лежат проекции с числовыми отметками. Именно на такой модели удобнее всего рассматривать незакономерные топографические поверхности.

3

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

Для решения технологических задач горного производства при помощи данного метода выполняют планы горных работ, поэтажные, погоризонтные, сводные и другие планы. Также могут отображаться и абстрактные образы. В строительстве методом проекций с числовыми отметками выполняют чертежи различного рода земляных сооружений на естественном рельефе местности – автомагистралей, строительных площадок, каналов, гидротехнических сооружений и т.д.

Графические модели объектов, выполненные в ПЧО, служат основой для решения практических инженерных задач. Практика показывает, что графические методы решения в ряде случаев являются более целесообразным, а подчас и единственно возможным средством получить удовлетворительный результат. К числу таких задач относятся, например, задачи по проектированию откосов дорог, определению элементов залегания слоев горных пород, построения линий выхода их на дневную поверхность, определения расстояния между горными выработками и др.

В данном учебном пособии изложены теоретические основы метода проекций с числовыми отметками, приведены условия инженерных задач, встречающихся в строительной и горно-геологической практике, рассмотрены примеры их решения, даны технические обоснования и алгоритмы, представлены варианты индивидуальных графических заданий для самостоятельной работы и указания по их выполнению.

4

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛАНАХ

Сущность метода заключается в ортогональном проецировании геометрического объекта на одну, чаще горизонтальную, плоскость проекций, называемую плоскостью нулевого уровня П0 с указанием численного значения расстояния (обычно в метрах) от характерных точек объекта до данной плоскости проекций в единицах указанного линейного масштаба (рис. 1, а). Такие чертежи называют планами (рис. 1, б). При проецировании земной поверхности за плоскость нулевого уровня принимают уровень воды в Балтийском море.

A B

Прямую на плане можно задать горизонтальными проекциями двух точек или горизонтальной проекцией одной точки и уклоном i (рис. 2, а, б).

Рис. 2

5

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

Длину горизонтальной проекции прямой называют заложением и обозначают буквой L (рис. 3 ), а ∆ h – превышением точки А над точкой В,

∆ h = hA – hВ.

Уклон прямой i равен тангенсу угла α, являющемуся углом наклона прямой к плоскости П0 (или углом падения прямой):

i = tgα = ∆ h / L.

Он может быть задан дробью, в градусах, процентах, а также в промилле (10/00 = 0,001).

l

B3

L

П0 A6

y

1 0 1 2 3м

Рис. 3

Заложение прямой, приходящееся на единицу превышения, называют интервалом прямой и обозначают буквой l. Из определения уклона прямой и ее интервала следует, что эти величины обратные:

l = 1/i,

то есть по интервалу на чертеже можно судить об уклоне прямой в пространстве.

Интервал необходимо знать, чтобы на заложении прямой можно было определить отметки с целочисленными значениями. Для этого проекцию прямой нужно проградуировать. Градуирование прямой – это действия по установлению интервала прямой. Проградуировать прямую можно графически или аналитически.

6

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

Графически можно проградуировать прямую следующими методами:

1. Метод профиля прямой (рис. 4). Для этого проводят проецирующую плоскость через заложение прямой, поднимают заданные проекции точек на соответствующие высотные отметки в единицах выбранного линейного масштаба. Затем проецирующую плоскость совмещают с плоскостью нулевого уровня. Дальнейшие построения по определению целочисленных отметок на заложении прямой видны на рисунке.

Рис. 4

2. Метод пропорционального деления (рис. 5). Из любой крайней точки заданной проекции отрезка АВ под любым углом (кроме 0° и 180°) проводят вспомогательную прямую, на которой откладывают равные отрезки произвольной длины. Общее количество этих отрезков должно быть равно разности высотных отметок двух точек прямой. На примере это 3 (6–3). Затем конечные точки вспомогательного и градуируемого отрезков соединяются прямой. А далее параллельно этой прямой проводят прямые, отсекающие на градуируемом отрезке искомые точки.

3. Метод масштабной сетки или метод углового масштаба уклонов (рис. 6). Он используется, если известен уклон прямой. Строится масштабная сетка, в которой сторона квадрата равняется единице выбранного линейного масштаба. По вертикальной шкале откладываются

7

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

отметки высот, по горизонтальной – заложения. Например, уклон прямой равен 3:2. Тогда вверх откладывают 3 единицы (∆h), а по горизонтали – 2 (L) и получают точку А. Соединяя ее с точкой О, проводят прямую. Угол между прямой и горизонтальной шкалой – угол падения прямой α (угол наклона прямой к горизонтальной плоскости нулевого уровня). Заложение, приходящееся на единицу превышения, равно интервалу прямой.

C

α B3

4

5

A6 l

1 0 1 2 3м

Рис. 5

Градуирование прямой аналитически (рис. 7). Пусть требуется проградуировать прямую с отметками А3,8 и В6,4 и на ней найти точки с отметками целых чисел.

Для решения данной задачи сначала применяют формулу:

l = L /∆ h,

где L = 5,2 единицам выбранного линейного масштаба, ∆ h = 6,4 – 3,8. Подставляя в формулу соответствующие значения, находят l = 2. Далее находят положение точки С, ближайшей к точке А3,8, с отметкой 4. Она определяется следующим образом:

Xc = l (4 – 3,8) = 2 × 0,2 = 0,4 м.

От точки С откладывают интервал по 2 м и отмечают точки с отметками 4, 5 и 6.

8

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

Рис. 6

Рис. 7

1.2. ПЛОСКОСТЬ

Плоскость в проекциях с числовыми отметками может быть задана так же, как на комплексном чертеже. Однако принято задавать плоскость проекциями прямых и точек (рис. 8, а, б), горизонталью и величиной уклона плоскости (рис. 8, в), масштабом уклона плоскости или масштабом заложения (рис. 8, г).

9

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

1 0 1 2 3 м

Рис. 8

Если в какой-то плоскости Р провести горизонтали через единичные высотные отметки и перпендикулярно им линию наибольшего ската, а затем спроецировать все это на плоскость нулевого уровня, то получим проградуированную проекцию линии наибольшего ската (рис. 9). Она называется масштабом уклона плоскости (масштаб заложения). Расстояние между любыми соседними делениями масштаба уклона плоскости, соответствующее единице превышения, является интервалом линии наибольшего ската, а соответственно, и интервалом плоскости (рис. 10).

10