Метод проекций с числовыми отметками в решении инженерных задач

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

h3

1 0 1 2 3 ì

Рис. 9

Рис. 10

11

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

Положение плоскости в пространстве определяется ее углами падения α и простирания ϕ. Угол, образованный данной плоскостью и плоскостью П0, называют углом падения плоскости.

Направлением простирания плоскости считают правое направление ее горизонталей, если смотреть на плоскость в сторону возрастания отметок.

Углом простирания плоскости называют угол, расположенный между лучами северного направления меридиана Земли и направлением простирания.

При любом задании плоскости всегда можно построить ее масштаб уклона и провести в ней горизонтали. Пусть плоскость задана тремя точками А2, В5, С3 (рис. 11). Требуется построить ее масштаб уклона, т. е. проградуировать плоскость. Сначала градуируют прямую АВ, находят на ней числовую отметку такую же, какую имеет точка С. Соединив точки, получают горизонталь на отметке 3. Параллельно ей проводят другие горизонтали. Перпендикулярно им строится масштаб уклона.

1.3.ПОВЕРХНОСТИ

Вчисловых отметках различают геометрические и графические поверхности. Графической называется поверхность, закон образования которой неизвестен. Примерами таких поверхностей могут служить корпуса судов и самолетов и т.д. Также примером графической поверхности является поверхность Земли, которую называют топографической (рис. 12).

12

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

К геометрическим поверхностям относятся все линейные и кривые поверхности, образование которых подчинено определенным геометрическим законам. Например, конические (рис. 13, а, б), цилиндрические и сферические (рис. 14, а, б). На плане поверхности задают проекциями горизонталей, которые получают при рассечении поверхности пучком параллельных секущих плоскостей, отстоящих друг от друга на единицу линейного масштаба. Строят профиль поверхности и определяют положение ее горизонталей, имеющих целочисленное значение. Это называется градуированием поверхности. Также в числовых отметках используют гранные поверхности, которые могут быть заданы проекциями ребер с указаниями их вершин или отметкой плоскости (грани) и уклонами откосов (рис. 15, а, б).

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

Рис. 15

В практике большое применение находят поверхности одинакового ската (рис. 16), представляющие собой огибающую семейства прямых круговых конусов, вершины которых лежат на некоторой пространственной кривой линии. Поскольку оси всех конусов вертикальны, а углы наклона конусов равны, то формируемая при этом поверхность одинакового ската Ψ будет линейчатой: все образующие этой поверхности составляют с горизонтальной плоскостью проекций одинаковый угол α, равный углу наклона образующих конуса.

14

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

3

Рис. 16

Для построения поверхности одинакового ската на чертеже в проекциях с числовыми отметками необходимо спроецировать на плоскость нулевого уровня П0 заданную пространственную кривую и конусы, вершины которых лежат на этой кривой. При этом сначала кривую градуируют, а на линейном масштабе проводят прямую под углом α и находят интервал образующих конусов. В соответствии с интервалом строят параллели конусов (концентрические окружности), центры которых совпадают с вершинами конусов (рис. 17) и размещаются на кривой в точках с целочисленными значениями. Далее касательно к горизонталям конусов с одинаковыми высотными отметками проводятся лекальные кривые горизонталей поверхностей одинакового ската Ψ. Эти кривые называют эвольвентами.

3

3

2 Ψ 2

1

15

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

1.4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Принадлежность точки плоскости и поверхности. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 18, а). Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии этой поверхности (рис. 18, б).

Чтобы найти отметку точки, занимающей промежуточное положение между горизонталями с целочисленными значениями, через нее проводят любую прямую, пересекающую соседние горизонтали. Далее строят профиль полученного отрезка, учитывая, что разность высотных отметок у соседних горизонталей соответствует единице линейного масштаба, и определяют отметку интересующей точки.

Рис. 18

Взаимное положение прямых. Прямые в пространстве – пересекающиеся, если на плане в точке пересечения заложения имеют одинаковые числовые отметки (рис. 19, а), в противном случае прямые – скрещивающиеся (рис. 19, б). Прямые в пространстве параллельны, если их заложения параллельны, интервалы равны, а числовые отметки убывают в одном направлении (рис. 19, в).

Если заложения прямых пересекаются за пределами чертежа, то для определения их взаимного положения используют вспомогательные горизонтали. Пересекающиеся прямые определяют плоскость, а в плоскости горизонтали параллельны между собой. Исходя из этого утверждения, прямые MN и AB – пересекающиеся, а AB и LP – скрещивающиеся (рис. 20), так как горизонтали с отметками 4 и 7 параллельны, а с отметками 5 и 6 – нет.

16

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

Рис. 20

17

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

Взаимное положение двух плоскостей. Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти точки пересечения горизонталей одного уровня (рис. 21).

Линией пересечения плоскостей Ρ и Θ, имеющих параллельные горизонтали, является их общая горизонталь, проходящая через точку M, которую определяют с помощью вспомогательной секущей плоскости ∆, масштаб уклона которой не параллелен заданным плоскостям (рис. 22). В данном случае и в большинстве других задач в ПЧО в качестве вспомогательных секущих плоскостей применяют любые плоскости, кроме проецирующих.

Рис. 21

Рис. 22

18

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

У параллельных плоскостей масштабы уклонов параллельны, интервалы равны, отметки возрастают в одном направлении.

Взаимное положение прямой и плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если две ее любые точки лежат на горизонталях плоскости, то есть имеют соответственно одинаковые с горизонталями высотные отметки (рис. 23).

B5 Pi

Задачи на построение прямых и плоскостей с заданным уклоном могут быть сведены к построению конусов вращения. При этом рассматривать прямые и плоскости общего положения следует как образующие линии и касательные к поверхности некоторых конусов вращения, оси которых перпендикулярны к данной плоскости.

Например, если через точку А, лежащую в плоскости, заданной горизонталями, на отметке 5 необходимо провести прямую с уклоном 2:3, то сначала по масштабной сетке определяют интервал прямой, затем в точку А5 помещают вершину прямого кругового конуса и проводят концентрические окружности, радиусы которых отличаются на величину интервала и ставят отметки окружностей, считая их горизонталями конусов (рис. 24). Искомую прямую определяют при помощи точек пересечения одноименных горизонталей конуса и плоскости. Задача имеет два решения, если уклон прямой меньше уклона плоскости; одно решение, если уклон прямой равен уклону плоскости; не имеет решения, если уклон прямой больше уклона плоскости.

Если через прямую необходимо провести плоскость с заданным уклоном, то прямую градуируют и по масштабной сетке определяют интервал плоскости. Искомую плоскость задают горизонталями, касающимися прямого кругового конуса, уклон образующих которого равен уклону искомой плоскости (рис. 25). Горизонтали проводят из точек на прямой. Задача имеет два решения.

19

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

Рис. 25

20