УДК 539.4.001:678.067:678.2

Г. А. Ванин

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛОКНИСТЫХ СРЕД*

1. ПРОДОЛЬНЫЙ с д в и г

Разрабатывается статистическая теория волокнистых материалов, связывающая их физико-механические и прочностные характеристики со свойствами компонентов с учетом параметров технологии изготовле­ ния — разброса в свойствах и геометрии волокон и матрицы, распреде­ ленных несовершенств в фазах среды и на межфазных границах, дефек­ тов в упаковке материала и других. В предельном случае регулярной структуры и детёрминированных параметров полученные результаты со­ гласуются с данными теории волокнистых материалов, предложенной ранее [1, 2].

1. Исходные предпосылки. Рассматриваются двухмерные состояния среды. Функция распределения параметров, определяющих размеры, взаимное размещение и физико-механические свойства фаз, с учетом их структурных несовершенств и начального напряженно-деформирован­ ного состояния строится в предположении ослабленной корреляции между переменными

П

f{x,y,z\ и, v, wy X, У, Z; nk, аа, ■ •)“ П Pi(Xj), i-i

где х, у, г\ и, v, w; X, У, Z определяют геометрические и физико-механи­ ческие характеристики и несовершенства соответственно для волокон, межфазной области и матрицы; л/i, Oik — начальные значения векторных и тензорных полей.

Учет локальных трещин и аномалий в механических свойствах мат­ рицы у поверхности раздела компонентов осуществляется введением мо­ дели приведенного элемента среды, включающей волокно или группу волокон с участком прилегающей матрицы (рис. 1).

Разброс диаметров волокон d согласно данным экспериментов [1] с высокой степенью достоверности описывается нормальным законом рас­

* Доклад, представленный на V Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, май—июнь 1981 г.).

где статистические характеристики (Ga> й а2 опреДеЛйютсй сбоТноше* ниями /z = p<Ga>; p= a2<Ga>. Распределение середин участков совершен­ ного контакта в виде дуги окружности (см. рис. 1) принимается по нор­ мальному закону [3]

оо

П= — оо

Встеклопластиках по данным рентгеновской дифракции [4] наимень­ шие размеры трещины на поверхности раздела составляют в продольном

ипоперечном к оси волокна направлениях соответственно свыше 300 и 40—60 нм. Области с максимальными напряжениями в структуре волок­ нистых материалов [1] значительно превышают указанные размеры, по­ этому последние присущи, по-видимому, субмикронеоднородным элемен­ там полимеров и всецело зависят от их химического состава.

Удлиненность трещин вдоль волокон благоприятствует эффектив­ ности двухмерных моделей среды. Распределение размеров дуг с совер­ шенным контактом Ф в поперечном сечении линейно-армированной среды

определяется соотношением

(1.4)

где е= е(ATI) — концентрация волокон без дефектов в произвольном по­ перечном сечении монослоя; 6(О) -— функция Дирака.

Распределение центров волокон в плоскости Х\ = const определяется технологией формования материала: в средах типа СВАМ волокна груп­ пируются вблизи узлов регулярной сетки [5]; материалы, образованные укладкой нитей или жгутов, имеют повышенное содержание связую­ щего между отдельными нитями и т. д. Строение выбранного материала характеризуется ансамблем структур, отражающих специфику его изго­ товления. Для описания упаковки волокон в нитях или материалах типа СВАМ вводим псевдорегулярные структуры, в которых центр волокна определяется случайным вектором, присоединенным к узлу регулярной сетки (рис. 2). Известно, что на плоскости возможно ввести пять видов регулярной сетки простой и сложной структуры [1]. Модуль случайного вектора значительно меньше постоянной сетки. Геометрия псевдорегулярной структуры определяется расстоянием между центрами волокон и углами между центрами тройки волокон.

Р 1/pag

g2= r2_2r<^r> cos (<p —<<p)) +'(r)2; 2D= ox2+oy2;

gei't=rei,f —(r)_e4<f).', ox2—<Jy2+ —~ ахОу=2хе2гЧГ;

(2m+ l)j= (2m+l) (2m+2) .. .(2m+j).

Геометрический смысл введенных параметров объясняется на рис. 2. Интегралы (1.6) вычислялись с использованием производящей функции

где /„ (т) — модифицированная функция Бесселя первого рода, а также равенства [7]

В дальнейшем рассматривается частный случай распределения (1.6), когда ро= 0; х = 0; Ч1*= 0; D = ox2 = ay2 и в двойной сумме сохраняется только слагаемое при т = п= 0. Для обработки опытных данных по раз­ мещению включений определяем радиальную функцию распределения

2я

т(уу

где т = £ — Функция (1.9) является обобщенным распределением Релея. Среднее расстояние между центрами волокон будет

R m оо

<#> = J ДФ</г~ J Rvdr=R0+(r} cos (ф -< ф » --^ ~ с о 5 2 (ф-<ф>) +

оо

X cos (ф—<ф>) +

ходим <r>= 0,11б/?о; у/)=0,173Яо; Яо=4,99 мкм. При вычислениях рас­ сматривалась структура, близкая к гексагональной, когда £х) = 58°, а максимум на кривой радиального распределения находился по гистог­

рамме.

2. Приближение одномерных распределений. Рассматривается за­ дача о продольном сдвиге линейно-армированной неограниченной среды с учетом статистических характеристик компонентов материала, крае­ выми эффектами в напряженном состоянии у продольных границ тре­ щины пренебрегаем. В локальной системе координат, связанной с цен­ тром /-го включения, разрешающие функции, построенные с учетом тре­ щин на межфазной границе, имеют вид [8]

ui + u m^n

где функции ф0 (zj) и <pj(zj) описывают поле смещений в приведенном элементе; z=x2+ix3;

Здесь Xj — радиус /-го включения; z0=Xje'e’ — координата середины границы с совершенным контактом; Ст — комплексные постоянные; Рт(cos bj!2) — полином Лежандра первого рода; Х/О1,- — длина участка границы с полным контактом;

l*(zi)= V te -a j) (Zj-bj),

где aj=Xjel^a, bj=Xje‘*b — координаты концов трещины. Средние напряжения сдвига будут [8]

w

где /=a>i<B2sina; N^> 1 — число включений в рассматриваемом сечении; <0ч2°>, (ои0) — усредненные напряжения взаимодействия включений; Lj — границы волокон. В принятом приближении, пренебрегая корреля­ циями между введенными величинами, получаем:

«<Ga(G„+ G)-«> ф <e~2i0> <sin2 m>.

ит. д. Используя распределения (1.1) — (1.4), находим

<е*р°>=ехр ( — !Р- ~ - + ip<0> ) ; 2<sin2 Ф/2>= ( 1 - е ) ;X

X [ l - ехР ( ~ \ ) cos <fl> ];

2<sin2 -0-/4) = 1+ е—(1 —е) exp { - - ~ ) (cos <0>/2Н-/); ,<Ga(Ga + G)-i>.

Аналогично согласуются предельные переходы и для других постоянных. Закон Гука в приближении одномерных распределений имеет вид

Результаты исследования влияния статистических характеристик не­ совершенств на величины модулей продольного сдвига линейно-армиро­ ванных стеклопластиков для объемного содержания волокон £= 0,7 представлены на рис. 4 и 5. Здесь на оси абсцисс отложена величина угла отслоения компонентов 2я —ft. Кривые 1, 2, 3 соответствуют концен­ трации волокон без дефектов е= 0, 0,5 и 0,9; сплошные кривые построены для материалов с детерминированными размерами межфазных трещин, когда а2=0 и центры расположены в точках <0> = О (см. рис. 4) и <0> = = я/4 (см. рис. 5). Штриховые кривые отражают влияние дисперсии в размерах трещин на величину средних модулей при стандартных откло­ нениях а=0,3(2я —'&) и ао=0,05я. Заштрихованная область включает эволюцию средних значений упругих постоянных при изменении статис­ тических характеристик трещин в указанных выше интервалах. Учет дисперсии ведет к снижению модулей при малых углах отслоения воло­ кон и к повышению их при развитых трещинах. Влияние дисперсии в распределении размеров трещин наиболее существенно для Gi3/G и уси­ ливается с ростом концентрации повреждений 1 —е.

Начальное разрушение полимерных материалов характеризуется по­ явлением множества трещин [10], поэтому соотношения (2.1) позволяют при известном изменении интегральных постоянных оценить размеры и число трещин в армированных материалах.

3. Второе приближение. Найденные соотношения уточняются на ос­ нове многомерных распределений, связывающих взаимные размещения двух, трех и более волокон с распределением их диаметров и дефектов на границах. В упрощенных решениях задачи, построенных по ранее предложенному методу учета взаимодействия компонентов в [2], ан­ самбль конфигураций волокон строится при детерминированных взаим­ ных размещениях включений.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Ван Фо Фы Г. А. Теория армированных материалов. Киев, 1971. 232 с.

2.Ванин Г. А. К теории волокнистых сред с несовершенствами. — Прикл. меха­ ника, 1977, № 10, с. 14—22.

3. Мардиа А. Статистический анализ угловых распределений. М., 1978. 240 с.

4.Орлов Л. Г., Лексовский А. М., Регель В. Р. О роли процесса микрорасслоения

вмеханизме разрушения полимерных композитов. — В кн.: Физика прочности компози­ ционных материалов. Л., 1979, с. 74—79.

7.Снеддон И. Преобразования Фурье. М., 1955. 668 с.

8.Ванин Г. А. Продольный сдвиг многокомпонентной волокнистой среды с дефек­ тами. — Прикл. механика, 1977, № 8, с. 35—41.

9.Ванин Г. А. Взаимодействие трещин в волокнистых средах. — Механика компо­ зит. материалов, 1979, № 2, с. 305-312.

10.ТамужВ П„ Куксенко В. С. Микромеханика разрушения полимерных материа­ лов. Рига, 1978. 294 с.