дМху

Согласно принятым гипотезам, коэффициенты упругости для всего пакета слоев, входящие в зависимости (4), следующим образом выража­ ются через коэффициенты упругости Сц. £ 12. С22 и С66 несущих слоев (обозначения соответствуют [1]) и через модули поперечных сдвигов Gx

Здесь kx2 и ky2 — коэффициенты поперечного сдвига. Эти коэффициенты зависят от распределения касательных напряжений по толщине.

Представленные выше нелинейные уравнения динамики многослой­ ной оболочки с анизотропными слоями в определенных частных случаях (изотропия, линейные колебания) совпадают с уравнениями работ

[1, 4, 5].

2. Нелинейные колебания пластинок и оболочек исследованы в моно­ графии [6]. В данной работе собственные нелинейные колебания много­ слойной цилиндрической панели с анизотропными слоями при больших прогибах рассматриваются на основе изложенной выше модели.

Края панели со сторонами а вдоль образующей и b по дуге свободно оперты (см. рис. 1)-

Исходные уравнения движения (2) и (3) преобразуем следующим образом. Будем пренебрегать тангенциальными силами инерции. Тогда первые два уравнения (2) можно удовлетворить введением функции уси-

Выражения для функций прогиба и углов поворота нормали в сред­ нем по толщине пакета слоев принимаем в виде

ay=/(/)sin ах sin 0г/; 9*= (D*(/)cosocxsinpi/; 9y=Oy(^)sinaxcospt/,

(9)

где а=л/а; р= я/Ь. Подставив функцию прогиба в уравнение неразрыв­ ности деформаций (8) и выполнив интегрирование, найдем функцию усилий

где Ь = а/Ь '— отношение длин 'сторон панели. Под рх и ру понимаются сжимающие усилия, действующие по кромкам панели.

Уравнения движения (5) интегрируем методом Бубнова. В резуль­ тате получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

{ - ^ - [ < 4 + (2dy+d^tf+dy® *] + ^ ( g x - H p x) +?L - (gy-Hpy) +

g v ^ f + ( ^ + . D o ) - ^ ^ x + ( ^ D G+ ^ DV+SV ) фУ+Р1фУ=0- (12)

CWCii = 0,5. Цифрами на кривых рис. 3 и 4 указано число слоев п. Как видно из графиков, увеличение числа слоев приводит к тому, что нели­ нейные эффекты становятся более существенными. В целом же кривые вначале (при относительно небольших амплитудах колебаний) характе­ ризуют «мягкую» нелинейность, а затем — с увеличением амплитуды — «жесткую». При этом чем ниже жесткость в направлении окружной ко­ ординаты, тем «мягче» нелинейная характеристика.

Кривые, характеризующие амплитудно-частотные характеристики, на рис. 4 позволяют оценить влияние продольных усилий рх на динамиче­ ское поведение панели. Они относятся к тем же оболочкам, что и кривые на рис. 3. Отличие заключается лишь в том, что штриховые линии отра­ жают здесь нелинейные амплитудно-частотные зависимости панели, на­ ходящейся под действием продольных сжимающих усилий (рх= 0,5рв). С увеличением амплитуды колебаний £ от 0 до 1 частоты сжатых пане­ лей падают до минимума, а затем возрастают. При амплитудах свыше £= 2 частоты колебаний сжатых панелей становятся больше, чем частоты колебаний панелей, не подвергающихся действию продольных усилий.

Влияние податливости связующих слоев на нелинейные амплитудночастотные зависимости иллюстрируется графиками, приведенными на рис. 5, относящимися к панелям с шестью несущими слоями. Сплошная линия соответствует панели с теми же свойствами слоев, что и на рис. 3 и 4. Штриховая линия соответствует случаю Gx/Cn = GvJCn ^ 0,03, а штрихпунктирная — Gx/Cn = Gv/Cn = 0,0015. Видно, что снижение жест­ кости связующих слоев приводит к усилению нелинейных эффектов в бо­ лее существенной мере, чем увеличение числа слоев.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., 1974. 448 с.

2.Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М.,

1980. 375 с.

3.Малмейстер А. К-, Тетере Г А., Тамуж В. П. Сопротивление полимерных и компо­ зитных материалов. 3-е изд. Рига, 1980. 572 с.

4.Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., 1972. 432 с.

с.57—63.

6.Рассказов А. О. К теории колебаний многослойных ортотропных оболочек. — Прикл. механика, 1977, т. 13, № 8, с. 23—29.

7.Григолюк Э. И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих оболочек и стерж­ ней. — Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, 1955, № 3, с. 33—68.

УДК 624.074.001:678.067

В. Ю. Сирюс, Г А. Тетере

УСТОЙЧИВОСТЬ И ОПТИМИЗАЦИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК из композитов

ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ НАГРУЖЕНИИ

1. Рассмотрим задачу устойчивости ортотропной, шарнирно опертой, цилиндрической оболочки из композитного материала на основе полиме­ ров с учетом ползучести при комбинированном нагружении осевым сжа­ тием и внешним давлением (рис. 1). Для исследования процесса ползу­ чести оболочки с вязкоупругим связующим учтем деформацию попереч­ ных сдвигов. В качестве физических соотношений, связывающих напряжений и деформации примем линейные интегральные зависимости Больцмана—Вольтерры с учетом ползучести не только в плоскостях, перпендикулярных срединной поверхности оболочки, но и в плоскостях армирования. Допустим, что оболочка имеет начальную неправильность формы, характеризуемую прогибом Wo(x,y), и что форма начальных не­ совершенств находится в «резонансе» с формой потери устойчивости оболочки, т. е. что начальная форма поверхности оболочки с течением времени не изменяется, но происходит только нарастание амплитуды прогибов [1]. Начальные прогибы WQ(X, IJ), введенные в расчет на устой­ чивость, — возмущения, которые задаются и подчиняются в нашем слу­ чае условиям шарнирного опирания. Физические соотношения и аппрок­ симация неизвестных перемещений u(x,yf t) и v(x,y,t) прогиба w(x, y,t), углов поворота нормального элемента yXz{x,y,t) и yyz{x,yj) и началь­ ного прогиба w0(x, у) даны в [2J.

В квазистатической постановке задачи для исследования основного процесса ползучести оболочки на бесконечном интервале времени по от­ ношению к некоторым возмущениям в виде начальных несовершенств при экспоненциальных ядрах ползучести получаем следующую систему

проксимации. Коэффициенты постоянных симметричных квадратных матриц [ А ] и [Б] содержат параметры свойств материала, оболочки и на­ грузки; вектор {g} характеризует начальные несовершенства оболочки; точка означает дифференцирование по безразмерному параметру вре­ мени x = t/r\ г — время релаксации напряжений. Представим ненулевые элементы матрицы [А]:

п*

л 34= Л x z x z t t R ; Л зб = Л y z y z f t R \ Л 44—-J g - Л 11 + Л x z x z R 2 '*

h2 h2

^ 45==”l2 ^ 55~~\2 ^ 22^~^yzvz^ 2*