Методология научных исследований в сварке

что записывается в виде P( < u < u1) (рис. 4.6, а). Определение вероятностей попадания случайной величины в заданный интервал можно оценить по рисунку, на котором площади, описывающие соответствующие вероятности, заштрихованы (см. рис. 4.6).

Рис. 4.6. Определение вероятностей попадания случайной величины

взаданныйинтервал: а– P( < u < u1); б– P(u2 < u < ); в– P(u1 < u < u2);

г– P(0 < u < u1); д – P(–u1 < u < u1); е – P(u < –u1; u > u1)

Вто же время, поскольку вся площадь под нормированной кривой равна единице, или 100 %, имеем

P(u2 u ) = 1 (u2).

Очевидно, что

P(u1 < u < u2) = Ф(u2) Ф(u1).

51

4.6. Нормированная функция Лапласа

Для обработки экспериментальных данных интересен случай, когда величина х попадает в интервал между своим математическим ожиданием и некоторым значением х1, а величина u находится в интервале между 0 и u1. Вероятность такого попадания

Функция (u) носит название нормированной функции Лапласа. Вероятность появления результатов, случайные отклонения которых находятся в симметричных границах u, вычисляется на основании предыдущего случая (см. рис. 4.6, д):

Наконец, вероятность того, что случайная величина выходит за указанные в предыдущем случае симметричные границы,

P(u < u1; u > u1) = 1 2 (u1).

С помощью таблиц можно вычислить вероятность для результатов измерений, отклоняющихся от своего истинного значения не более чем на , и . Этим значениям соответствуют, согласно рис. 4.6, значения u, равные , и 3.

Для u = 1; 2 и 3 по таблицам функции Лапласа находим соот-

ветственно: (1) = 0,34; (2) = 0,477 и (3) = 0,498 6.

На основании уравнения (4.1) получим:

P( 1 < u < 1) = 2 (1) = 2 0,34 = 0,68, или 68 %, P( 2 < u < 2) = 2 (2) = 2 0,477 = 0,954, или 95,4 %,

P( 3 < u < 3) = 2 (3) = 2 0,498 6 = 0,997 2, или 99,72 %.

Таким образом, лишь в 68 % случаев результаты не выходят за пределы одной стандартной погрешности, и лишь в 0,28 % случаев выходят за пределы . Частота таких событий настолько мала, что результат с отклонением более принято считать грубым промахом. Это правиловыявления промахов называюткритерием трех сигм.

52

Выводы относительно степени достоверности экспериментальных результатов корректны, если они согласованы с вероятностью получения этих результатов.

Результат тем достовернее, чем больше вероятность его получения. Для практических целей, т.е. для решения вопроса о необходимой степени достоверности, нужно лишь условиться о минимальном значении этой вероятности. Практически для большинства естественно-научных экспериментов вероятность заслуживает доверия, если в 95 % случаев наблюдаются допустимые случайные отклонения результатов от среднего. Поэтому вероятности, значения которых лежат вблизи 0,95, носят название доверительных. Выражение результата измерения некоторой величины А в виде А (где погрешность эксперимента) без указания вероятности получения результата не дает никакой информации о его достоверности.

5. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА СВАРКИ

5.1. Основные понятия и определения

Чаще всего эксперимент ставят для решения следующих двух основных задач.

Первую задачу называют экстремальной. Она заключается в отыскании условий процесса, обеспечивающих получение оптимального значения выбранного параметра. Признаком экстремальных задач является требование поиска экстремума некоторой функции. Эксперименты, которые ставят для решения задач оптимизации, называют экстремальными.

Вторую задачу называют интерполяционной. Она состоит в построении интерполяционной формулы для предсказания значений изучаемого параметра, зависящего от ряда факторов.

Для решения экстремальной или интерполяционной задачи необходимо иметь математическую модель исследуемого объекта.

53

Модель объекта получают, используя результаты опытов. При исследовании многофакторного процесса постановка всех возможных опытов для получения математической модели связана с огромной трудоемкостью эксперимента, так как число всех возможных опытов очень велико. Задача планирования эксперимента состоит в установлении минимально необходимого числа опытов.

Частным случаем является планирование эксперимента по методу Бокса – Уилсона, называемого методом крутого восхождения. Метод Бокса – Уилсона предусматривает проведение опытов небольшими сериями. Опыты проводят так, чтобы после математической обработки результатов предыдущей серии можно было спланировать следующую серию опытов. Результаты эксперимента используют для получения математической модели исследуемого процесса. Математическая модель система математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. При планировании эксперимента под математической моделью часто понимают уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Такое уравнение называют также функцией отклика.

В общем виде функция отклика может быть представлена выражением

= f(x1, x2, …, xn),

где х1, х2, ..., хn независимые переменные факторы.

Уравнение регрессии, полученное по результатам опытов, имеет вид

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 + b11x12 + …,

где b0, b1, b2, b12, b11 коэффициенты регрессии.

Объект исследования. Для определения параметров оптимизации и выбора схемы планирования эксперимента предварительно изучают объект исследования на основе литературных данных и результатов ранее проведенных опытов. При планировании эксперимента к объекту исследования предъявляют следующие требования.

1. Объект исследования должен удовлетворять требованию воспроизводимости. При многократном повторении опытов полу-

54

чают разброс значений, который характеризует воспроизводимость результата. Объект исследования удовлетворяет требованию воспроизводимости, если многократно повторенные опыты дают результаты с разбросом значений, не превышающим некоторой заданной величины.

2. Объект должен быть управляемым. На реальный объект действуют как управляемые, так и неуправляемые факторы. Если требования воспроизводимости удовлетворяется, выявляют возможность проведения активного эксперимента, предусматривающего активное вмешательство в исследуемый процесс и выбор для каждого опыта управляемых факторов на тех уровнях, которые представляют интерес для исследования.

Параметр оптимизации. При планировании эксперимента важно правильно выбрать параметр оптимизации. Движение к оптимуму возможно, если выбран один параметр оптимизации, а другие выступают в качестве ограничений. Возможно также построение обобщенного параметра как функции множества исходных параметров. Параметр оптимизации должен быть количественным, доступным для измерения и выражаться одним числом. Если измерение параметра невозможно, то пользуются ранговой оценкой. Ранг – это оценка параметра оптимизации по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т.д. Ранговый параметр имеет ограниченную дискретную область определения. В простейшем случае область содержит два значения: да – нет, хорошо – плохо, брак – годные детали и т.д. При прочих равных условиях предпочтение следует отдавать количественному измерению, так как ранговая оценка носит субъективный характер.

Параметр оптимизации должен быть:

однозначным в статистическом смысле, т.е. заданному сочетанию факторов должно соответствовать одно значение параметра оптимизации (с точностью до ошибки эксперимента);

эффективным в статистическом смысле, т.е. определяться

снаибольшей точностью, что позволяет сократить до минимума число параллельных опытов;

55

существовать для всех состояний исследуемого объекта;

иметь физический смысл.

Параметры оптимизации могут быть экономическими, техни- ко-экономическими, технико-технологическими и др. Технико-тех- нологическими параметрами являются механические, физические, физико-химические и некоторые другие характеристики изделия.

Факторы. Фактором называют независимую переменную величину, влияющую на параметр оптимизации. Каждый фактор имеет область определения совокупность всех значений, которые может принимать фактор. При исследовании процесса необходимо учитывать все существенные факторы. Если по каким-либо причинам влияние некоторых факторов невозможно учесть в эксперименте, то эти факторы должны быть стабилизированы на определенных уровнях в течение всего эксперимента. Уровнями называют значения факторов в эксперименте. Если число факторов велико, то необходимо отсеять те факторы, которые оказывают незначительное влияние на параметр оптимизации. Отсеивание несущественных факторов производят на основе опыта или с помощью постановки отсеивающих экспериментов.

Факторы должны быть:

управляемыми, т.е. позволяющими экспериментатору устанавливать их требуемые значения и поддерживать постоянными эти значения в течение опыта;

непосредственно воздействующими на объект исследования, так как трудно управлять фактором, который является функцией других факторов;

совместимыми, т.е. все комбинации уровней факторов должны быть осуществимы и безопасны;

независимыми, т.е. позволяющими экспериментатору устанавливать требуемые уровни любого фактора независимо от уровней других факторов.

Модель. Под математической моделью понимают вид функции отклика

y = f(x1, x2, x3, …, xk).

56

Экстремальные задачи часто решают, используя шаговый метод. В этом случае модель должна удовлетворять требованиям этого метода. В основе шагового метода лежит предположение, что совокупность значений параметра оптимизации y, полученная при различных сочетаниях значений факторов хi, образует поверхность отклика. Для наглядности представления поверхности отклика при наличии ymax рассмотрим простейший случай, при котором число факторов равно двум (x1 и x2). Для каждого фактора установлены два значения: максимальное и минимальное. Между этими значениями каждый фактор может изменяться непрерывно или дискретно. Границы значений факторов образуют на плоскости х1 0 х2 прямоугольник АВCD, внутри которого лежат возможные значения факторов. Если по оси y откладывать значения yi, полученные при различных сочетаниях значений факторов, то точки yi будут лежать на поверхности отклика. На этой поверхности будет находиться точка М, соответствующая оптимальному значению y. Для нахождения этой точки необходимо шаг за шагом двигаться по поверхности отклика.

Исходя из сущности этого метода, к модели предъявляется главное требование, заключающееся в способности модели «предсказывать» направление дальнейших опытов с требуемой точностью. Это означает, что предсказанные по модели значения отклика должны отличаться от фактических не более чем на некоторую наперед заданную величину. Модель, удовлетворяющую этому требованию, называют адекватной. Если имеется несколько моделей, удовлетворяющих указанному требованию, то из них выбирается наиболее простая.

Наиболее простой моделью является полином. Полином может быть первой, второй и более высокой степени. Коэффициенты полинома вычисляют по результатам опытов.

5.2. Полный факторный эксперимент

Решение задач оптимизации начинают с выбора области эксперимента. При этом устанавливают основные уровни и интервалы варьирования факторов. Основным, или нулевым, уровнем фактора называют его значение, принятое за исходное в плане эксперимента.

57

Основные уровни выбирают таким образом, чтобы их сочетание отвечало значению параметра оптимизации, по возможности более близкому к оптимальному. Сочетание основных уровней факторов принимают за исходную точку для построения плана эксперимента. Построение плана эксперимента состоит в выборе экспериментальных точек, симметричных относительно исходной точки (центраплана).

Интервалом варьирования называют число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание – нижний. Интервал варьирования не может быть выбран меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. Увеличение интервала варьирования затрудняет возможность линейной аппроксимации функции отклика.

Для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют. Верхний уровень обозначают как +1, нижний – как 1, основной – как 0.

Кодированное значение фактора хi определяют по выражению

xi xi^ εi xi0 ,

где xi^ натуральное значение i-го фактора; xi0 натуральное зна-

чение основного уровня i-го фактора; i интервал варьирования i-го фактора.

При кодировании качественных факторов, имеющих два уровня, верхний уровень обозначается как +1, а нижний – как 1. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора m, а число факторов k, то число N всех сочетаний уровней факторов, а следовательно, и число опытов в полном факторном эксперименте определяется выражением

N = mk.

Цель первого этапа планирования экстремального эксперимента – получение линейной модели. Этот этап предусматривает пла-

58

нирование факторов на двух уровнях. Возможное количество сочетаний уровней факторов в этом случае равно 2k.

Факторный эксперимент осуществляют с помощью матрицы планирования, в которой используют кодированные значения факторов. Так, например, для двух факторов полный факторный эксперимент типа 2k можно представить следующей матрицей (табл. 5.1).

Для упрощения записи условий эксперимента в матрице планирования вместо +1 пишут только знак «+», а вместо 1 пишут только знак « ». Значения функции отклика, полученные при выполнении опытов, обозначены через y1, y2, y3 и y4.

Линейным называется эффект, характеризующий линейную зависимость параметра оптимизации от соответствующего фактора. Эффектом взаимодействия называют эффект, характеризующий совместное влияние нескольких факторов на параметр оптимизации. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить линейные эффекты и все эффекты взаимодействия. Для полного факторного эксперимента типа 22 уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия можно представить выражением

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2.

Для этого эксперимента матрица планирования имеет вид, представленный в табл. 5.2.

В этой матрице содержится столбец фиктивной переменной х0. Он вводится для оценки свободного члена b0. Столбец х1х2 получен перемножением столбцов х1 и х2. Он введен для расчета b12.

5.3. Матрицы планирования при большом числе факторов

При k = 2 построение матриц полного факторного эксперимента не вызывает затруднений, так как все возможные сочетания уровней факторов легко найти простым перебором. При увеличении числа факторов количество возможных сочетаний уровней быстро возрастает, поэтому возникает необходимость в некоторых приемах построения матриц (табл. 5.3).

Первый прием основан на правиле чередования знаков. В первом столбце (х1) знаки чередуются поочередно, во втором чередуются через 2, в третьем – через 4, в четвертом – через 8 и т.д. по степеням двойки.

60