Методология научных исследований в сварке

7.7.3. Построение номограмм на логарифмических сетках

Любое уравнение с двумя переменными, принимающими положительные значения, может быть построено на логарифмической сетке. Если переменные принимают и отрицательные значения, то на логарифмической сетке может быть построена только та часть кривой или прямой, которая соответствует положительным значениям переменных.

Построение уравнений с двумя переменными на логарифмической сетке производится так же, как и при применении равномерных шкал, т.е. определяют координаты ряда точек, удовлетворяющих заданному уравнению, производят их построение на сетке и соединяют их плавной линией.

Если обе части уравнения с двумя переменными представляют собой одночлены (причем переменные не входят в показатели степени), то такое уравнение при построении на логарифмической сетке изобразится прямой линией. Все уравнения с двумя переменными других видов изображаются на логарифмической сетке кривой линией.

Общий вид уравнений первой группы имеет вид y = axm,

где a и m числа постоянные.

Покажем, что при построении уравнения на логарифмической сетке оно изобразится всегда прямой линией. Прологарифмируем это уравнение:

lg(y) = mlg(x) + lg(a).

Обозначим lg(y) через y′, lg(x) через х′ и lg(a) через a′, тогда y′ = mx′ + a′.

Это уравнение прямой, если на осях координат построены шкалы уравнений y′ = lg(y) и x′ = lg(x). В этом уравнении m является угловым коэффициентом прямой, т.е.

m = tg( ),

131

где угол наклона прямой (углом наклона прямой считается правый из смежных углов, образованных пересечением прямой или ее продолжения с осью абсцисс).

Следовательно, показатель степени m в уравнении определяет угол наклона получаемой прямой. Коэффициент a в этом же уравнении определяет величину ординаты y для точки прямой с абсциссой, равной единице (при х = 1 имеем y = a).

На рис. 7.9 дано построение уравнения y = axm для значений х, изменяющихся в пределах от 1 до 100, при разных значениях коэффициента а и следующих положительных и отрицательных, целых и дробных значениях показателей степени: m = 4, m = 1, m = 0,5, m = –2.

Рис. 7.9

На основании рис. 7.9 можно сделать следующие выводы:

для уравнений, в которых показатель степени m положителен, угол наклона острый;

132

при значениях показателя степени m = 1 угол наклона прямой равен 45 ;

если значение показателя степени m > 1, то с его увеличением увеличивается крутизна направления прямой, а если значение показателя степени 0 < m < 1, то с его уменьшением увеличивается пологость направления прямой;

при значениях показателя степени m < 0, т.е. отрицательном, угол наклона прямой всегда тупой.

Эти правила необходимо помнить, ибо знание их позволяет легко представить положение прямых на номограмме до их построения.

Прежде чем приступить к построению уравнения на логарифмической сетке, следует выяснить пределы изменения переменных, так как это определяет число модулей логарифмических шкал, которые необходимо иметь по осям координат. Модуль логарифмических шкал выбирается в зависимости от требуемой относительной точности отсчетов.

Преимущества применения логарифмических сеток для построения уравнений с двумя переменными следующие:

относительная точность отсчетов по шкалам логарифмической сетки одинакова для обеих переменных на всем протяжении шкал, что представляет особое удобство при больших пределах изменения переменных;

при построении уравнений вида y = axm на логарифмической сетке всегда получается прямая линия, для построения которой достаточно вычислить координаты двух точек.

7.7.4.Уравнения с тремя переменными

Все виды уравнений с тремя переменными могут быть построены по логарифмической сетке, при руководстве теми же правилами, которые применяются при построении этих уравнений на сетчатых номограммах с применением равномерных шкал по осям координат: каждая из переменных может быть принята за параметр уравнения, и следовательно, имеются всегда три варианта построения номограмм.

133

Приняв какую-либо переменную за параметр и подставляя ряд ее численных значений в заданное уравнение, получим серию уравнений с двумя переменными, которые при построении на логарифмической сетке дадут семейство прямых или кривых. При этом на каждой линии семейства надписывается значение третьей переменной (т.е. параметр), которому она отвечает.

Все многообразие уравнений с тремя переменными может быть разбито на четыре группы в зависимости от вида семейства линий, получаемых в результате их построения на логарифмической сетке по трем вариантам.

Особый интерес представляют также виды уравнений, которые при своем построении дают семейства прямых линий.

К первой группе относятся уравнения вида y = axmzn,

где a, m и n – величины постоянные.

При положительных значениях коэффициента а и при любых – положительных или отрицательных, целых или дробных – значениях показателей степеней m и n эти уравнения при построении на логарифмической сетке дают семейства параллельных прямых во всех трех вариантах, т.е. дают семейства параллельных линий по x, по z и по y.

Ко второй группе относятся следующие уравнения: y = axmzn + b,

y = axmf(z), y = aznf(x),

где a, b, m и n − величины постоянные.

Эти уравнения дают на логарифмической сетке семейство параллельных линий:

–для y = axmzn + b, если за параметр принять переменную y;

–y = axmf(z), если за параметр принять переменную z;

–y = aznf(x), если за параметр принять переменную х.

По остальным вариантам получаем семейства кривых.

134

К третьей группе относятся уравнения вида: y = axf(z), y = azf(x),

где а − постоянная величина.

Эти уравнения дают на логарифмической сетке по одному из вариантов семейства прямых, пересекающихся в одной точке:

–y = axf(z), если за параметр принять переменную z;

–y = azf(x), если за параметр принять переменную х.

Вчетвертую группу входят все уравнения с тремя переменными, которые при построении на логарифмической сетке дают семейства кривых по всем трем вариантам.

На рис. 7.10 приведена номограмма уравнения

y 0,5z2x3 ,

при следующих предельных значениях переменных: х – от 1 до 10, z – от 1 до 10, y – от 0,1 до 10. За параметр принята переменная х. Общий вид уравнения в этом случае имеет вид

y zb2 ,

где b = 0,5 x3.

Номограмма построена при следующих значениях параметра:

х = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10.

Если к полученному семейству параллельных прямых провести нормаль и точки пересечения нормалей с прямыми пометить численными значениями параметра, то окажется, что полученные на нормалях шкалыбудут все логарифмические, амодули их различны.

Полученную логарифмическую шкалу, в отличие от логарифмических шкал по осям координат, будем называть (в данном случае) логарифмической шкалой параметра х, а семейство параллельных прямых, располагающиеся по логарифмическому закону, будем называть логарифмическим семейством линий.

135

Рис. 7.10

Если модуль логарифмических шкал, отложенных по осям координат, обозначим как , а модуль логарифмической шкалы семейства линий по х обозначим как х, то формула для определения модуля логарифмической шкалы параметра для уравнения y = axmzn будет иметь вид

λx n2λ , m 1

где m – показатель степени той переменной, которая принимается за параметр при построении логарифмического семейства параллельных линий; n – показатель степени той переменной, значения которой откладываются по горизонтальной оси. По этому правилу можно получить формулу для расчета логарифмической шкалы для любого параметра.

136

Например, для уравнения y zb2 модуль шкалы параметра х

Знак «плюс» означает, что возрастание численных значений пометок логарифмической шкалы семейства по х идет снизу вверх.

Все три варианта по простоте построения номограмм одинаковы, но они будут отличаться по углу наклона прямых ( ) и по густоте их расположения, т.е. по модулю шкалы параметра:

а) для семейства по z

= 71 34′, z = –0,63 ;

б) для семейства по х

= 116 33′, х = 1,34 ;

в) для семейства по y

= 33 41′, модуль y = 0,28 .

Сравнение этих данных показывает, что наилучшим вариантом является построение семейства по х. Следовательно, номограмму нужно строить только для этого варианта.

Возможность по одному виду уравнения сравнительно легко и быстро определить вполне точное расположение прямых на предполагаемой к построению номограмме является большим преимуществом логарифмических сеток при их применении для построения уравнений вида y = axmzn.

Из приведенного примера построения уравнений вида y zb2

на логарифмической сетке видно, что нет необходимости вычислять координаты точек для построения каждой линии семейства параллельных прямых. Достаточно построить одну наклонную прямую,

вычислить по формуле λx nλ модуль логарифмической шка- m2 1

137

лы семейства параллельных линий параметра и на нормали к построенной наклонной прямой построить шкалу этого модуля, учитывая приведенное выше правило определения направления повышения пометок. Затем через штрихи этой шкалы провести прямые, параллельные наклонной прямой, и на них надписать соответствующие значения параметров.

Ввиду того, что построение прямых, а тем более параллельных, значительно проще построения кривых, очевидно, что при необходимости построения номограмм уравнения этой группы целесообразно строить только тот вариант, который дает семейство параллельных прямых.

В тех случаях, когда на логарифмической сетке при построении уравнений с тремя переменными получаются кривые, объем вычислительных работ для определения координат отдельных точек этих кривых будет тот же, как и при построении этих уравнений в прямоугольных координатах с равномерными шкалами по осям координат. Преимущество построения на логарифмической сетке будет в том, что относительная погрешность отсчета по шкалам одинакова на всем ее протяжении, что особенно важно в тех случаях, когда переменные изменяются в значительных пределах.

7.7.5. Уравнения с числом переменных более трех

Если у логарифмической сетки продолжить вниз или влево оси координат и на них от начала координат построить логарифмические шкалы того же модуля, что и шкалы сетки, то легко получить еще одну, две или три логарифмические сетки, используя при этом также шкалы имеющейся сетки. Такие логарифмические сетки с общими логарифмическими шкалами на осях координат называются сопряженными. Сопряженных логарифмических сеток с общим началом координат может быть две, три и четыре.

Две сопряженные логарифмические сетки могут быть использованы для построения уравнений с четырьмя переменными вида

y = af(x,z) (v) или y = af(x) (z) (v).

138

Эти уравнения отличаются тем, что представляют собой произведение функций отдельных переменных, но один из множителей может быть функцией двух переменных.

Метод построения состоит в том, что заданное уравнение путем введения вспомогательной переменной разбивается на два уравнения, имеющих одну общую переменную (вспомогательную). Каждое из полученных уравнений строится в своей логарифмической сетке, но так, чтобы общая логарифмическая шкала была основой шкалы вспомогательной переменной, входящей в оба уравнения.

Уравнение y = af(x,z) (v) для построения на двух сопряженных логарифмических сетках разбивают на следующие два уравнения путем ввода вспомогательной переменной:

s = af(x) и y = s (v).

Первое уравнение строим на первой логарифмической сетке, приняв за параметр переменную x или z. На сетке получим семейство кривых или прямых. Второе уравнение строим на второй сетке, приняв переменную v за параметр. Получаем семейство параллельных линий суглом наклона45 , таккак переменная s – впервойстепени.

Для построения уравнения y = af(x) (z) (v) на двух сопряженных сетках это уравнение также разбивается на два путем введения вспомогательной переменной s, например:

s = af(x) (z) и y = s (v).

Первое уравнение строим в первой сетке, при этом за параметр принимаем переменную x или z и получаем семейство линий. Второе уравнение строим во второй сетке, приняв переменную v за параметр, и получаем семейство параллельных линий суглом наклона45 .

Здесь в обоих примерах во второй сетке получается семейство параллельных линий с углом наклона 45 , что является достоинством этого типа номограмм.

К достоинствам номограмм из сопряженных логарифмических сеток следует отнести простоту пользования и исключительную наглядность влияния каждой из переменных величин на искомый результат, а также одинаковую относительную погрешность результатов построения хода решения для любых значений всех переменных построенного уравнения.

139

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Сидняев Н.И., Вилисова Н.Т. Введение в теорию планирования эксперимента: учеб. пособие для вузов. М.: Изд-во МГТУ им.

Н.Э. Баумана, 2011. 463 с.

2.Бабуров Э.Ф., Куликов Э.Л., Маригодов В.К. Основы науч-

ных исследований: радиоэлектроника: учеб. пособие для вузов. Киев: Выща школа, 1988. – 198 с.

3.Основы научных исследований и техника эксперимента: текст лекций/ А.М. Попков [и др.]. – Челябинск, 1989. 126 с.

4.Комаров М.С. Основы научных исследований. Львов: Выща школа: Изд-во при Львовск. ун-те, 1982. – 128 с.

5.Решетников М.Т. Планирование эксперимента и статистическая обработка данных: учеб. пособие / Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники. – Томск: Изд-во ТГУСУиР, 2000. – 231 с.

6.Кукуш В.Д. Электрорадиоизмерения: учеб. пособие для ву-

зов. М.: Радио и связь, 1985. 368 с.

7.Романенко В.Н., Орлов А.Г., Никитина Г.В. Книга для начинающего исследователя-химика. – Л.: Химия, 1987. 280 с.

8.Сидняев Н.И. Теория планирования эксперимента и анализ

статистических данных: учеб. пособие для магистров. М.: Юрайт, 2012. 399 с.

9.Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента. – Минск: Изд-во БГУ, 1982. – 302 с.

10.Планирование, организация и проведение научных исследований в машиностроении: учеб. пособие / А.И. Барботько [и др.]. – Старый Оскол: ТНТ, 2014. – 499 с.

11.Статистические методы в инженерных исследованиях (ла-

бораторный практикум): учеб. пособие / В.П. Бородюк [и др.]. М.: Высшая школа, 1983. – 216 с.

140