Методология научных исследований в сварке

Формула зависимости энергии от длины и амплитуды волны остается неопределенной.

Повторим вычисления, учитывая на этот раз направления единичных длин. Пусть ось х расположена горизонтально, параллельно ограничивающим плоскостям, а ось z направлена вертикально. Энергия волны, которая равна работе, совершаемой при перемещении воды против силы тяжести в вертикальном направлении, будет иметь размерность LzMT–2·Lz. Новые формулы размерности приведены в табл. 6.13.

Как и ранее, уравнение, связывающее переменные величины, имеет вид

ECρa λb Ac gd ,

аиз него мы получаем новое уравнение размерности:

L2z MT 2 Lx1Lz1M a Lbx Lcz LzT 2 d .

Уравнение позволяет провести различие между показателями b и c, так как они относятся к разным основным величинам Lx и Lz. Число уравнений, связывающих четыре неизвестных показателя степени, возросло с трех до четырех:

–длина по оси х: 0 = а + b,

–длина по оси z: 2 = a + c + d,

–масса: 1 = а,

–время: 2= 2d.

Отсюда: а = 1, b = 1, c = 2, d = 1.

101

Окончательное решение имеет вид

E = C A2g.

Таким образом, с помощью дополнительной размерности становится возможным найти зависимость, которую раньше нельзя было получить обычными приемами анализа размерностей, а именно, что энергия волн пропорциональна первой степени длины волны и квадрату амплитуды. Значение С равно 1 2 для бегущих волн

и1 4 для стоячих, причем половина энергии приходится на кинетическую энергию и половина – на потенциальную.

Пример 12. Оценить влияние основных технологических параметров сварки в узкую разделку на формирование шва.

Анализ экспериментальных данных показывает, что основными технологическими параметрами, оказывающими влияние на формирование шва при сварке в узкую разделку, являются: скорость сварки, мощность сварочной дуги, величина зазора в стыке

итеплофизические свойства свариваемых металлов (теплопроводность и удельная теплоемкость). В табл. 6.14 приведены используемые для анализа параметры и их размерности.

Функциональную зависимость между указанными параметрами можно представить в виде

V = f(q, B, c, ), V = kqaBb dce.

Уравнение размерности принимает вид

LT 1 L2MT 3 a Lb LMT 3θ 1 d L2T 2θ 1 e .

102

Из условия, что показатели степени при единицах длины, массы, времени и температуры одинаковы в обеих частях уравнения получаем следующую систему уравнений:

–для показателей при L: 1 = 2a + b + d + 2e,

–для показателей при M: 0 = a + d,

–для показателей при T: 1 = 3a 3d 2e,

–для показателей при : 0 = d e.

Решениеэтих уравненийдает следующие значения показателей: a 12 ; b 12 ; d 12 ; e 12 .

Следовательно, получаем уравнение

V kq1/2 B 1/2λ 1/2c1/2 ,

или

где q = IU; I сварочный ток, А; U напряжение дуги, В. Коэффициент k определили экспериментально из условия, что

при оптимальных технологических параметрах сварки угол смачиваемости стенок разделки расплавленным металлом составляет30 . В окончательном виде формула для расчета оптимальных режимов имеет вид

V 0,9 10 6 IUcBλ .

Полученная формула является универсальной и позволяет произвести расчет основных параметров сварки в узкую разделку для материалов с различными теплофизическими свойствами.

6.6. Безразмерные критерии и метод подобия

Рассмотренные выше примеры показывают, что чем меньше основных величин и чем больше параметров, участвующих в процессе (включая размерные постоянные), тем более неполной явля-

103

ется система уравнений, которую можно составить для нахождения показателей степени при символическом обозначении величин, входящих в искомую зависимость.

Существенную помощь при анализе размерностей оказывает так называемая П-теорема, которую можно сформулировать следующим образом: если n величин связаны функциональной зависимостью и из них k имеют независимые размерности, то из них можно образовать n k безразмерных комбинаций. Чем меньше эта разность, тем более определенной будет решение задачи. При n k = 1 задача становится наиболее определенной и, как правило, однозначной.

Приведенные примеры также показывают, что при применении метода анализа размерностей наряду с достаточно очевидными приемами приходится пользоваться и интуицией исследователя, не только при определении величин, существенных для данной конкретной задачи, но и при подборе основных единиц и даже записи размерностей. Можно отметить, что в ряде случаев П-теорема, не добавляя ничего нового к способу анализа размерностей, позволяет производить анализ в более удобном виде и представлять результат анализа в разных формах. Иногда удобно вводить так называемые безразмерные критерии подобия. Такими критериями могут быть любые из безразмерных комбинаций величин, определяющих исследуемое явление.

Введение критериев подобия оказывается особенно удобным и в тех случаях, когда сведения для полного описания явления недостаточны или строгое решение задачи представляет большие математические трудности.

Например, одним из критериев, с помощью которого были получены важные теоретические результаты, относящиеся к течению реальной жидкости (вязкой), был введен О. Рейнольдсом и носит его имя: критерий (число) Рейнольдса

Re vDμρ,

104

где v скорость течения жидкости; D диаметр трубы; плотность жидкости; вязкость жидкости. Таким образом, при данном значении безразмерной величины Re характер течения разных жидкостей в разных трубах с разными скоростями оказывается одинаковым: одинаково распределение давлений, скорости и т.д. Опытным путем было установлено, что при достижении значения Re = 2200 (так называемое критическое число Рейнольдса) упорядоченное струйчатое (ламинарное) течение жидкости становится беспорядочным турбулентным.

Введение критериев подобия оказалось весьма плодотворным при решении разнообразных задач аэро- и гидромеханики, теплопередачи и др. Особенно важно то, что с помощью метода подобия можно исследовать различные явления на моделях. Так, например, критерий Рейнольдса (который применим не только к течению жидкости, но и к обтеканию жидкостью погруженных в нее тел) позволяет изучать сопротивление, испытываемое телами в потоке жидкости, если заменить тела геометрически подобными моделями меньших размеров и соответственно увеличить скорость потока.

Необходимо также отметить, что составление безразмерных комбинаций бывает полезным и в том случае, когда задача без больших затруднений решается обычным путем. Преобразовав решение таким образом, чтобы определяемая величина была представлена как функция ряда величин, из которых хотя бы часть может быть собрана в безразмерных комбинациях, можно получить выражение, удобное для анализа и обобщения.

7. ПРАКТИЧЕСКАЯ НОМОГРАФИЯ

7.1. Сущность метода

Номография как отдельная математическая дисциплина, занимающаяся графическим решением различных видов уравнений и графическими методами вычислений по формулам, была выделена на первом Международном математическом конгрессе (Париж,

105

1890). Такое выделение объясняется, прежде всего, тем, что уже ко времени созыва конгресса построение и применение номограмм для различных инженерных расчетов получило значительное развитие. К тому времени были уже известны логарифмические шкалы и их применение для построения номограмм. В последующие десятилетия количество различных типов номограмм значительно увеличилось. Из чисто математической дисциплины номография превратилась в прикладную науку, знакомство с которой в большой степени облегчает и упрощает любые инженерные расчеты.

В настоящее время номография применяется не только при построении расчетных инженерных номограмм, но и для определения зависимости между изучаемыми переменными факторами при проведении различных исследований.

Нахождение эмпирической формулы на основе опытных данных аналитическим методом представляет собой задачу весьма сложную, так как она решается чаще всего методом подбора. Обычно исследователь, ознакомившись подробно с табличными данными и графиками, отвечающими результатам опытов, выбирает наиболее вероятный, по его мнению, вид эмпирической формулы. Затем подставляет последовательно все опытные данные в эмпирическую формулу и получает серию уравнений, неизвестными которых являются постоянные величины выбранной эмпирической формулы. Решая полученные уравнения, исследователь находит эти постоянные величины, а значит, и первый вариант эмпирической формулы.

Следующим этапом является проверка соответствия найденной формулы всем опытным данным. Для этого по найденной формуле вычисляют значения искомой величины для всех опытных данных и сопоставляют результаты с результатами опытов.

Если отклонения оказались в своем большинстве незначительны, то найденная эмпирическая формула считается приемлемой. В противном случае надо выбрать второй вариант эмпирической формулы и повторить все вычисления. Такой способ подбора формулы достаточно сложен и трудоемок.

106

Задачу подбора эмпирической формулы можно во многих случаях облегчить, если применить графические методы обработки опытных данных. Сущность этих методов заключается в том, чтобы найти, какие необходимо построить на осях координат функциональные шкалы, чтобы при отображении на графиках результатов опытов получить прямые линии или близкие к ним. Если такие шкалы будут найдены, то будет известен общий вид эмпирической формулы.

В последнее время любая исследовательская научно-техничес- кая работа считается законченной лишь в том случае, если найденная между изучаемыми факторами зависимость выражена эмпирической формулой.

Кроме графических методов обработки экспериментальных данных большое практическое значение имеет составление расчетных номограмм. Любая построенная номограмма представляет собой расчетный инструмент, пользуясь которым можно без вычислений быстро определить результаты расчетов по заданной формуле при любых значениях переменных.

7.2. Погрешность технических расчетов при аналитических методах вычислений

В результате вычислений полученные числа, с которыми приходится иметь дело при инженерных и научно-исследовательских работах, делятся на точные и приближенные. К точным относятся все числа счета, а к приближенным – все результаты, полученные при измерении величин.

Измерения могут быть проведены с большой степенью точности, но с некоторым приближением. Если среди исходных данных, принятых для расчета и вычислений, имеется хотя бы одно приближенное число, то полученный результат, независимо от выбранной точности, с которой проведены вычисления, будут приближенным. Погрешность результатов, как правило, будет больше погрешности наименее точного приближенного исходного числа, входящего в заданные расчеты. Это утверждение основной закон теории приближенных вычислений.

107

Следует также учесть, что, производя различные действия над точными числами, далеко не всегда получают точные числа. В результате сложения, вычитания, умножения и возведения в степень точных чисел всегда получают точные числа. В результате деления точных чисел и извлечения из них корней получают точные числа лишь в том случае, если эти действия совершаются нацело.

В результате логарифмирования точных чисел всегда получаются приближенные числа, за исключением случаев, когда логарифмируется (при основании десять) число, представляющее собой единицу с последующими или предшествующими нулями. Таким образом, даже при действии только над точными числами результаты могут быть приближенными.

Часто в формулы входят такие постоянные величины, как= 3,141 59 (отношение длины окружности к диаметру), g = 9,806 65 (ускорение силы тяжести на уровне моря и для широты 45 ) и е = 2,718 28 (основание натуральных логарифмов). Эти иррациональные числа – приближенные, и следовательно, результаты, которые получаются по формулам, их содержащим, всегда будут приближенные, а точность их будет зависеть от числа значащих цифр, принятых в формуле для этих постоянных.

Многие формулы технического расчета имеют поправочные коэффициенты, или коэффициенты запаса прочности. Эти коэффициенты всегда числа приближенные. Во всех областях техники в результате проводимых в большом масштабе различных научноисследовательских работ выведено значительное число эмпирических формул, которыми пользуются для дальнейших расчетов. В этих формулах все коэффициенты и показатели степеней, отличные от единицы, обычно числа приближенные и чаще всего имеют не более двух, реже трех верных цифр.

Необходимо, чтобы каждый исследователь при проведении вычислительных работ умел определить точность любого приближенного числа, входящего в расчет. Это позволит установить возможную точность как промежуточных, так и окончательных результатов, что избавит от весьма значительных излишних вычислительных работ.

108

Каждое приближенное число имеет какую-то погрешность. Различают погрешность абсолютную, которая равна разности между истинным значением величины и ее принятым приближенным значением, и погрешность относительную, которая равна частному от деления абсолютной погрешности на истинное значение величины. Если эту величину умножить на 100, то получаем значение относительной погрешности в процентах.

7.3. Погрешность технических расчетов при номографических методах вычислений

При применении номографических методов расчета начинают обычно с построения шкал для исходных данных и искомой величины.

Шкалой называется прямая или кривая линия с нанесенными на ней по определенной математической зависимости штрихами, против всех или части которых имеются числовые пометки. Линия, на которой строится шкала, называется носителем шкалы.

Расстояние между соседними штрихами называется делением шкалы, а разность численных пометок, отвечающих двум соседним штрихам, – ценой деления.

Надписание числовых пометок против всех штрихов не всегда является возможным, и в этом случае часть штрихов остается без пометок. Такие штрихи называются немыми. Цена деления между немыми штрихами, расположенными между двумя ближайшими штрихами, расположенными между двумя ближайшими с пометками, должна быть одинаковой.

Если между каждой парой последовательных штрихов расстояния равны между собой и соответственно равны между собой все разности числовых пометок против этих штрихов, то такая шкала называется равномерной. Цена деления на всем протяжении равномерной шкалы постоянная, а следовательно, одинакова и абсолютная погрешность отсчетов по всей шкале. Примерами равномерных шкал могут быть шкалы миллиметровой линейки, применяемой при черчении, шкала обычного термометра и т.д.

109

Если деления шкалы, имеющие одну и ту же цену на всем ее протяжении, не равны, а изменяются по определенной математической зависимости, то такая шкала называется неравномерной, и абсолютная погрешность отсчетов по ней по всей длине различная.

Примером неравномерной шкалы, наиболее часто применяемой при построении номограммы, может служить логарифмическая шкала. При графических методах обработки опытных данных часто кроме логарифмических шкал применяют квадратичные шкалы, обратные шкалы и др.

Каждая шкала, как равномерная, так и неравномерная, представляет закон изменения величины, для которой шкала построена. Этот закон изменения обычно выражают формулой, которую назы-

вают уравнением шкалы.

Длина шкалы зависит не только от предельных значений величины, для которой она построена, но и от выбранного масштаба ее построения. Этот масштаб называется модулем шкалы и равен длине отрезка, отвечающего значению единицы величины. Модуль шкалы обычно измеряется в миллиметрах.

В уравнении шкалы присутствует -модуль, входящий в уравнение в виде множителя. Изменяя его, увеличиваем или уменьшаем длину шкалы, а следовательно, и точность отсчетов по ней.

Общий вид уравнения прямолинейной равномерной шкалы может быть записан следующим образом:

y = (x x1),

где выбранный модуль шкалы, мм; х1 численное значение нижней пометки шкалы; x численное значение величины, для которой определяют положение штриха.

Пользуясь формулой уравнения прямолинейной равномерной шкалы, можно определить модуль шкалы, если задана ее возможная длина y и значения предельных пометок х и х1.

Имеем

110