Методология научных исследований в сварке

Абсолютная погрешность измерения – алгебраическая разность между измеренным x и истинным значениями измеряемой величины:

= x – .

Абсолютная погрешность может быть положительной и отрицательной. В тех случаях, когда знак погрешности неизвестен, перед ставят знак .

Относительная погрешность – отношение абсолютной по-

грешности к истинному значению измеряемой величины, которая измеряется в долях измеряемой величины либо в процентах:

= / или = 100 / .

Относительная погрешность играет более существенную роль в метрологии, чем абсолютная.

Точность измерений характеризует близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины. Количественно точность измерений определяется величиной, обратной относительной погрешности, т.е. равна 1/ .

Взависимости от допускаемой погрешности приборы делят на классы. Часто класс точности обозначают допускаемой погрешностью в процентах (1, 2 и т.д.).

2.4.Систематические и случайные погрешности

Вметрологии погрешности измерений разделяют на систематические, случайные и грубые. К систематическим погрешностям измерения относятся составляющие погрешности, которые входят

спостоянной величиной и знаком в данную серию измерений (опытов) или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности можно разделить на следующие разновидности:

1. Инструментальные погрешности обусловливаются средст-

вами измерения (приборами) и зависят от свойств измерительной аппаратуры (недостатки конструкции, технологии, неточности градуировки шкал приборов и т.д.).

21

2.Установочные погрешности обусловливаются специфическим расположением средств измерения (например, отклонение гальванометров от вертикального расположения и т.д.).

3.Методические погрешности возникают в результате упрощения расчетной формулы для измеряемой величины, а также вследствие ограниченной точности физических констант, входящих

врасчеты (например, и e).

4.Погрешности вычислений обусловлены приближенными вычислениями: округлением результатов вычислений, применением линеаризации, аппроксимации, интерполяции.

5.Внешние погрешности возникают в результате влияния на результаты измерений свойств внешней среды и внешних условий: вибрации, электромагнитных помех, влажности и давления воздуха, температуры окружающей среды и др.

6.Личные, или субъективные, погрешности вносятся в процесс измерений человеком-оператором (наблюдателем).

Случайные погрешности возникают чисто случайно при повторном проведении измерения, их невозможно учесть и исключить. При многократном повторении измерений наиболее отклоняющиеся случайные измерения можно исключить с помощью статистических методов.

Грубой погрешностью измерения (промахом), приводящей к явным искажениям результатов измерения, считается погрешность измерения, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях. Промахи из результатов измерения исключаются и не принимаются во внимание.

2.5. Средства измерений

Средства измерений – совокупность технических средств, применяемых при измерениях с нормированными метрологическими характеристиками. Средства измерений являются неотъемлемой частью проводимых экспериментов. К средствам измерений относятся установки, приборы, измерительные инструменты. При этом измерительные средства разделяют на образцовые и технические.

22

Образцовые средства являются эталонами и используются для проверки технических (так называемых рабочих) средств. При этом образцовые средства не обязательно точнее рабочих средств, но они обязательно должны иметь большую надежность и стабильность при воспроизведении измерений. Образцовые средства не используются для проведения рабочих измерений.

Все средства измерений в зависимости от характера участия в процессе измерения можно разделить на измерительные приборы и измерительно-информационные системы, измерительные преобразователи и меры.

Мера – это средство измерений, используемое для воспроизведения данного размера физической величины. Выделяют однозначные и многозначные меры и наборы мер. Под однозначными мерами понимают гири и разновесы, конденсаторы постоянной емкости, размерные плитки и др. К многозначным можно отнести конденсатор переменнойемкостиит.п. Наборымер состоят изоднозначныхмер.

Измерительным преобразователем называют средство измерений, используемое для выработки сигнала измерительной информации в виде, удобном для обработки, передачи и хранения, при этом не поддающемся непосредственному восприятию экспериментатора. К таким средствам измерений относятся различные датчики (термопары, терморезисторы и др.), усилители и пр.

Измерительным прибором называют средство измерений, применяемое для получения сигналов измерительной информации в формате, доступном для непосредственного восприятия наблюдателем.

По способу фиксации значения измеряемой величины все приборы подразделяют на регистрирующие и показывающие. Показывающие приборы делят на цифровые и аналоговые. Регистрирующие приборы делят на самопишущие (те, которые выдают график измерений) и печатающие (файл в компьютере, последовательность цифр на бумаге).

Все средства измерения должны проходить обязательную поверку не менее одного-двух раз в год.

23

Измерительно-информационные системы представляют собой совокупность специальных технических средств в модульном исполнении, объединяемых общими алгоритмами функционирования. Измерительно-информационные системы должны обладать нормированными метрологическими характеристиками, они предназначены для получения измерительной информации непосредственно от объекта измерения, ее дальнейшего преобразования с целью обработки, передачи, хранения, а также последующей выдачи в удобном для восприятия виде.

3.ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

3.1.Введение в теорию погрешностей

При выполнении больших объемов вычислений важно придерживаться простых правил, выработанных практикой, соблюдение которых экономит труд вычислителя и позволяет рационально использовать вычислительную технику.

Прежде всего, вычислитель должен разработать подробную вычислительную схему, точно указывающую порядок действий и дающую возможность получить искомый результат наиболее простым и быстрым путем.

Следующее, на что необходимо обратить серьезное внимание, – это контроль вычислений. Без проверки вычисление не может считаться законченным. Контроль разделяется на текущий и заключительный. При текущем контроле, производя добавочные действия, можно с большей или меньшей степенью достоверности убедиться, что полученные результаты правильны. В противном случае производится пересчет соответствующего этапа. При заключительном контроле проверяется лишь окончательный результат. Например, если вычисляется корень уравнения, то найденное значение можно подставить в уравнение и таким образом узнать, правильно ли решена задача.

24

Если вычисление очень большое, то рискованно ставить под угрозу всю вычислительную работу, дожидаясь окончательного результата. В этом случае целесообразно проверять правильность расчетов по этапам. В ответственных случаях целесообразно расчет выполнять двумя или более способами.

Третий важный момент – оценка точности. В большинстве случаев вычисления производятся с приближенными числами и притом приближенно. Поэтому даже для точного метода решения задачи на каждом этапе вычислений возникают погрешности дей-

ствий и погрешность вычислений. Если сам метод – приближен-

ный, то к этим двум погрешностям присоединяется погрешность метода. При неблагоприятных обстоятельствах суммарная погрешность может быть столь велика, что полученный результат не будет иметь практического значения.

Ниже приведены данные, основанные на теоремах вычислительной математики, доказательство которых не приводится.

3.2. Абсолютная и относительная погрешности

Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного А и заменяющее последнее в вычислениях. Если известно, что а > А, то а называется приближенным значением числа А по избытку, если же а < A, то – по недостатку. Если а есть приближенное значение некоего числа А, то считается, что а А.

Под погрешностью, или ошибкой, а приближенного числа а обычно понимается разность между соответствующим точным числом А и данным приближенным, т.е.

а = А – а.

Если А > a, то ошибка положительна: а > 0; если же A < a, то ошибка отрицательна: < 0. Чтобы получить точное число А, нужно к приближенному числу а прибавить его ошибку а, т.е.

А = а + а.

25

Таким образом, точное число можно рассматривать как приближенное с ошибкой, равной нулю.

Во многих случаях знак ошибки неизвестен. Тогда целесооб-

разно пользоваться абсолютной погрешностью приближенного числа

= а .

Если число А известно, то абсолютную погрешность можно определить по данной формуле. Если же число А неизвестно, то это невозможно. В этом случае пользуются так называемой предельной абсолютной погрешностью приближенного числа a, под которой понимается всякое число, которое не меньше абсолютной погрешности самого числа. Таким образом, точное число А заключено в границах

a – a A a + a.

Например, определим предельную абсолютную погрешность числа а= 3,14, заменяющего врасчетах число . Имеем неравенство

3,14 < < 3,15, а – < 0,01,

и следовательно, можно принять а = 0,01. А если учесть, что

3,14 < < 3,142,

то будем иметь лучшую оценку: а = 0,002.

При записи приближенного числа, получаемого в процессе измерения, обычно записывают его предельную абсолютную погрешность.

Абсолютная погрешность (или предельная абсолютная погрешность) как величина недостаточна для вычислений и характеристики точности измерений. Так, например, если при измерении длин двух стержней получены результаты l1 = (100,8 0,1) см и l2 = (5,2 0,1) см, то, несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, качество первого измерения выше, чем второго. Для точности данных измерений существенна абсолютная погрешность, приходящаяся на единицу длины, которая носит назва-

ние относительной погрешности:

26

δ A .

Так же как и для абсолютной погрешности, введем понятие пре-

дельной относительной погрешности а, под которой понимается всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа.

Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числа а можно принять

а = А а.

Поскольку на практике А а, то вместо последней формулы часто пользуются выражением

а = а а.

Отсюда, зная предельную относительную погрешность а, получают границы для точного числа. То обстоятельство, что точное число лежит между а(1 – а) и а(1 + а), условно можно записать следующим образом:

А = а(1 а).

Примем для определенности, что А > 0, a > 0 и а < a. Тогда

Следовательно, в качестве предельной относительной погрешности числа а можно принять число

Аналогично получаем а = А (a + ) a, отсюда

a 1aδδaa .

27

Если, как обычно бывает, а значительно меньше а и а значительно меньше 1, то можно принять

δ aa , а а а.

Например, вес 1 дм3 воды при 0 С p = (999,847 0,001) г. Необходимо определить предельную относительную погрешность результата взвешивания. Очевидно, что р = 0,001 и р 999,846 г.

Следовательно, δp 999,8460,001 10 4 .

3.3. Основные источники погрешностей

Погрешности, встречающиеся в математических задачах, можно разбить на пять групп.

1.Погрешности, связанные с самой постановкой математической задачи. Как правило, при постановке задачи принимаются некоторые упрощающие задачу условия, что вызывает ряд погрешностей (погрешность задачи). В случаях, когда невозможно решить задачу в точной постановке, ее заменяют приближенной задачей. Возникающую при этом погрешность можно назвать погрешностью метода.

2.Погрешности, связанные с наличием бесконечных процессов

вматематическом анализе. Функции, фигурирующие в математических формулах, часто задаются в виде бесконечных последовательностей или рядов, например

Бесконечный процесс не может быть завершен за конечное число шагов, поэтому при расчетах останавливаются на некотором члене последовательности, считая его приближением к искомому решению. Понятно, что такой обрыв процесса вызывает погреш-

ность, называемую обычно остаточной погрешностью.

28

3.Погрешности, связанные с наличием в математических формулах числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближенно. Таковы, например, все физические константы. Условно назовем эту погрешность начальной.

4.Погрешности, связанные с системой счисления. При изображении даже рациональных чисел в десятичной системе или другой позиционной системе справа от запятой может быть бесконечное число цифр. При вычислениях, очевидно, можно использовать лишь конечное число этих цифр. Так возникает погрешность округ-

ления.

5.Погрешности, связанные с действиями над приближенными числами (погрешности действий). Понятно, что, производя вычисления с приближенными числами, погрешности исходных данных

вкакой-то мере мы переносим в результат вычислений. В этом отношении погрешности действий являются неустранимыми.

При решении конкретной задачи те или иные погрешности иногда отсутствуют или влияние их ничтожно. Но для полного анализа погрешностей следует учитывать все их виды.

3.4.Значащие цифры приближенных чисел

иправила округления

Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения его десятичных разрядов, не причисляются к значащим цифрам.

Говорят, что n первых значащих цифр (десятичных знаков) приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, считая слева направо.

Например, для точного числа А = 35,97 число а = 36,00 является приближением с тремя верными знаками, так как

29

А – a = 0,03 < 1 2 0,1.

Часто бывает необходимость в округлении числа а, записанного в десятичной нумерации, т.е. замене его числом а1 с меньшим количеством значащих цифр. Число а1 выбирают так, чтобы погрешность округления |a a1| была минимальной. Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом:

если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения;

если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица;

если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу;

если первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры).

Очевидно, что при применении правил округления погреш-

ность округления не превосходит 1 2 единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. Обычно руководствуются следующим практическим правилом: при выполнении приближенных вычислений число значащих цифр промежуточных результатов не должно превышать числа верных цифр более чем на одну или две единицы.

Окончательный результат может содержать не более чем одну излишнюю значащую цифру по сравнению с верными. Если при этом абсолютная погрешность результата не превышает двух единиц последнего сохраненного десятичного разряда, то излишняя цифра называется сомнительной. Сохранение запасных знаков имеет тот смысл, что обычно оценка погрешностей результатов произ-

30