Методология научных исследований в сварке

Выражая зависимую переменную как произведение независимых переменных, возведенных в те или иные степени, получаем

V= CParb c,

асоответствующее уравнение размерности имеет вид

L3T–1 = (L–2MT–2)aLb(L–1MT–1)c.

В данном случае можно получить полное решение задачи, так как три неизвестных показателя степени связаны системой из трех уравнений:

–длина: 3 = 2a + b c,

–масса: 0 = а + с,

–время: 1 = 2а с.

Следовательно, а = 1, b = 4, с = 1, и поэтому

V C Prη4 .

Значение С, найденное с помощью других методов, равно ( /8); в итоге получаем уравнение Пуайзеля

Vπ ( p1 p2 )r4 .

8 lη

Этот результат показывает, что при пользовании этой формулой для определения радиус трубы должен быть измерен с весьма высокой точностью, так как коэффициент вязкости зависит от радиуса в четвертой степени. Полученная формула справедлива для ламинарного потока жидкости. Если скорость жидкости в трубе превысит определенную критическую величину, возникает турбулентное движение.

Пример 5. Определить силу, с которой воздух противодействует падению мелкой дождевой капли.

В числе переменных, существенных в данной задаче, оказываются сила сопротивления движению, плотность и вязкость воздуха, диаметр, вес и скорость капли. Очевидно, что это достаточно слож-

91

ная задача. В целях упрощения введем некоторые ограничения. Величина капли предположительно мала, поэтому можно пренебречь ее весом по сравнению с силой ее вязкого трения о воздух. Плотность воздуха также можно исключить, поскольку мала и скорость капли. Оставшиеся физические переменные приведены в табл. 6.6.

Зависимость R от остальных переменных выражается уравнением

R = C avbrc.

Соответствующее уравнение размерности имеет вид

LMT –2 = (L–1MT–1)a(LT–1)bLc,

где после составления уравнений для показателей и их решения получим: а = 1, b = 1, c = 1. Другими методами (экспериментальными) установлено, что С = 2 . Следовательно,

R = 6 vr.

Если плотность принять равной 1, то вес капли 4 r3 g 3. Скорость падения постоянна, когда вес уравновешен силой сопротивления R. Приравнивая эти величины, найдем предельную скорость падения

v 2 r2 g . 9 η

Таким образом, скорость, будучи пропорциональной r2, весьма мала для очень мелких капель, которые образуют вновь сформированные облака. Например, дождевая капля диаметром 0,2 мм падала бы с постоянной скоростью около 1 м/с.

92

Пример 6. Найти высоту поднятия жидкости в капиллярной трубке.

Основные физические величины, существенные для этой задачи, приведены в табл. 6.7.

Считая h зависимой переменной, имеем h = C arbScgd e.

Уравнение размерности имеет вид

L = (L–3M)aLb(MT–2)c(LT–2)d.

Отсюда получаем систему трех уравнений с четырьмя неизвестными, и можно представить любые три неизвестных через четвертое. После решения уравнений для показателей степеней получаем следующее уравнение:

hCr r2 gρ a .

S

Эту формулу можно практически использовать лишь дополнив ее каким-либо экспериментальным фактом, например, тем, что h обратно пропорционально r, в этом случае a = 1 и

h C rgSρ, где С = 2cos .

Иногда предварительный анализ размерностей дает указание экспериментатору на тот тип эксперимента, который обеспечивает

93

получение полезной информации. В данном случае очевидно, что полезным является определение зависимости h от r.

Эта задача может быть решена методом размерностей без постановки дополнительных экспериментов, если вместо L ввести другую основную единицу измерения.

Пример 7. Найти частоту «пульсации» небольшой сферической капли жидкости, падающей из круглого отверстия.

Основные физические величины, их обозначения и размерности приведены в табл. 6.8.

Зависимость от других переменных имеет вид

= CSa brc.

Уравнение размерности в этом случае

T–1 = (MT–2)a(L–3M)bLc.

Отсюда получаем:

В данном решении некоторое недоумение может вызвать отсутствие в числе важных факторов влияние веса капли, и как следствие этого, отсутствие в числе переменных g. Конечно, g является существенной для процесса величиной, но так как капля мала, то ускорением силы тяжести можно пренебречь. Если записать искомую зависимость как

CS aρbrc gd ,

94

то конечный результат будет иметь вид

Здесь необходимо определить величину а. По мере того как капля уменьшается в размерах, влияние g, которое пропорционально r3, уменьшается быстрее, чем влияние поверхностной энергии S, которое пропорционально r2. Таким образом, для мелких капель влиянием g можно пренебречь по сравнению с S. Поэтому в приближенном решении можно исключить g из формулы, если принять а = 1 2; в результате получаем тот же ответ, что и ранее.

Пример 8. Найти скорость капиллярных волн в тонком слое жидкости.

Составимтаблицу существенных физических величин (табл. 6.9).

Имеем

v = CSa b cgd.

Формула размерности при этом имеет вид

LT–1 = (MT–2)a(L–3M)bLc(LT–2)d.

Отсюда получаем

v C λg ρλS2 g a .

В таком виде ответ имеет небольшую ценность, однако если учесть, что ввиду небольшой высоты волн можно пренебречь весом

95

жидкости по сравнению с силами поверхностного натяжения, то g можно исключить при а = 1 2. Таким образом,

Пример 9. Найти скорость распространения упругих колебаний в жидкости.

На скорость оказывают влияние такие физические величины, как плотность жидкости, объемный модуль упругости или, если речь о газе, давление. В табл. 6.10 приведены физические величины и их размерности.

Уравнению V = C a b соответствует уравнение размерности

LT–1 = (L–3M)a(L–1MT–2)b,

откуда a 12 , b 12 .

Следовательно, V C .

По этой формуле Ньютон вычислил скорость звука в воздухе: 281 м с. Однако эта величина значительно занижена. Лаплас считал, что причина заключается в неправильном значении, приписанном величине . Сжатие и разрежение чередуются в звуковых волнах весьма быстро, ввиду чего изменения давления и объема носят адиабатический, а не изотермический характер. Уточнение, внесенное Лапласом, позволило получить для скорости звука в воздухе значение 332 м с. Это число близко к значению, полученному в результате эксперимента.

96

6.5. Векторные единицы длины

Примеры, рассмотренные ранее, показывают, что общее решение задач с помощью анализа размерностей возможно, когда число независимых физических величин превышает число основных единиц (L, M, T, ...) на единицу. Если имеет место превышение на две или более единицы, то число неизвестных показателей степени превышает число уравнений, которые связывают их друг с другом. В этом случае становится необходимым выражение некоторых показателей посредством других, что в итоге приводит к неполному решению задачи.

Многие величины в физических уравнениях, такие как скорость, ускорение, момент, называются векторными, поскольку они обладают свойством направленности и характеризуются численным значением. Они отличаются от других величин, называемых скалярными, таких как масса, которые характеризуются лишь численным значением. Итак, направление является такой же основной характеристикой (например, момента), как и длина, масса и время. Кроме того, эта величина не зависит от остальных основных величин. Например, [L] в формуле размерности для плотности [ML–3] и в формуле скорости [LT–1] существенно различны. В формулах размерности, связанных с волновым движением, имеются две разные длины, перпендикулярные друг другу. Однако обе эти длины представлены одним и тем же обозначением размерности [L].

Эти основные величины можно назвать векторными единицами длины, которые различаются индексами, т.е. [Lx], [Ly], [Lz]. Первоначальную размерность для отличия будем называть скалярной единицей длины и обозначать как [L]. В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть векторные свойства размерности длины, но направление вектора не имеет значение, можно использовать обозначение [Lv]. Векторная единица длины [Lv] образуется при сложении векторов [Lx], [Ly], [Lz]. Такое, на первый взгляд, тривиальное изменение в выборе основных величин имеет в действительности большое значение.

При использовании векторных длин многие формулы размерности сразу же становятся более информативными. Например,

97

в случае скорости различие между LT–1 и LxT–1 очевидно. Последняя формула напоминает, что скорость – векторная величина и, кроме того, указывает также направление скорости. Пуля обладает равномерной горизонтальной скоростью и равномерным вертикальным ускорением. Обычно их размерности записываются как LT–1 и LT–2 соответственно. Однако более ясной является запись в виде LxT–1

и LzT–2.

Вид формулы площади LxLy, LyLz и LzLx лучше, чем L2. Формула размерности плотности в виде L–3M обычно бывает достаточна для решения задач. Однако формулу для давления L–1MT–2 следует преобразовать. Давление равно нагрузке на единицу площади, и поэтому новая формула имеет вид

Lx MT 2 Lx Ly1Lz1MT 2. Ly Lz

Очевидно, что эта формула более информативна, чем L–1MT–2. Площадь, в противоположность объему, часто рассматривается как векторная величина. Ее ориентация в трехмерном пространстве имеет важное значение.

Дополнительным преимуществом при использовании векторных длин является то, что в качестве основных единиц измерения добавляются еще две (вместо L появляются Lx, Ly, Lz). Таким образом, становится возможным выводить путем лишь анализа размерностей формулы, содержащие большее число переменных величин и размерных постоянных величин, чем раньше.

Пример 10. Найти высоту поднятия жидкости в капиллярной трубке.

В этом примере с особой тщательностью должна быть составлена формула размерности для поверхностного натяжения S, которая раньше (пример 6) имела вид MT–2. Эта формула недостаточно совершенна. Пусть вертикальное направление соответствует оси Oz в прямоугольной системе координат. Тогда эффективная составляющая поверхностного натяжения выражается как Sz = Scos и, согласно определению поверхностного натяжения, размерность S

98

есть либо LzMT–2 Lx, либо LzMT–2 Ly. Но для сохранения условий симметрии относительно оси Oz выразим размерность следующим образом:

Новое уравнение имеет вид

h Cρa rb Sc gd θe .

Уравнение размерности в этом случае

Lz Lx1Ly1Lz1M a L1x/ 2 L1y/ 2 b Lx1/ 2 Ly1/ 2 Lz MT 2 c LzT 2 d .

Отсюда мы получим пять уравнений, связывающих показатели a, b, c и d, два из которых ввиду осевой симметрии одинаковы. В результате решения уравнений получим следующие значения показателей:

a = –1; b = –1; c = 1; d = –1.

Отсюда

h = Cρ 1r 1Sz g 1.

99

C = 2 , окончательно получаем

h2π S cosθ .

rgρ

Пример 11. Определить полную энергию системы водяных волн между двумя плоскостями, находящимися на единичном расстоянии. Плоскости параллельны направлению движения волн.

Анализ показывает, что энергия есть функция плотности жидкости, длины и амплитуды волн, а также ускорения силы тяжести. Вначале не будем проводить различия для направления единичных волн. Для этого случая физические величины, их обозначения и размерности приведены в табл. 6.12.

Следует отметить, что поскольку рассматривается двумерная задача, тоздесьплотность этомасса, умноженнаянаединицуплощади.

Уравнение, связывающее переменные величины, имеет вид

E Cρa λb Ac gd .

Существенная особенность этого уравнения: здесь нет возможности провести различие между показателями b и c. Следовательно, нельзя найти показатели при и А, влияющие на Е.

Решая уравнения относительно показателей, получаем: a = 1; b = 3 c; c = c; d = 1,

откуда E Cρ 3 g A c .

λ

100