Методология научных исследований в сварке

Фактически же можно ожидать, что эта ошибка не превзойдет величины 0,1 10 = 1.

Рассмотрим, например, среднее арифметическое n чисел

ξ 1n (x1 x2 ... xn ).

Согласно строгой теории предельная абсолютная ошибка

ξ 1n n ,

тогда как с большей достоверностью можно утверждать, что практически

*ξ n n n ,

т.е. практически достоверно, что среднее арифметическое приближенных чисел имеет повышенную точность по сравнению с этими числами, причем

4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ

4.1. Понятие о статистической обработке данных

Исследуемые параметры объекта (процесса, явления) в ряде случаев представляют собой независимые друг от друга случайные величины. Иногда эти зависимости связаны между собой какойлибо функциональной или коррелятивной зависимостью. Нахождение вида связи между параметрами объекта является важной областью экспериментальных работ. Результат эксперимента, вне зависимости от его назначения, получается в виде набора чисел. Для того чтобы воспользоваться результатами проведенного опыта

41

и делать на основании его какие-либо обобщения и выводы, требуется предварительно произвести статистическую обработку всех материалов эксперимента. Статистическая обработка эмпирических данных сводится в общем виде к следующему:

–вычисление определенных характеристик объекта,

–определение теоретических характеристик объекта по их экспериментальным значениям,

–сравнение по определенным критериям экспериментальных значений характеристик с заданными теоретическими,

–сравнение эмпирических и теоретических функций по определенным критериям согласия,

–установление вида зависимости между случайными величи-

нами.

4.2.Основные понятия и определения теории вероятностей

иматематической статистики

Испытанием, или опытом, называется реализация некоторых правил, условий. Например, испытанием будет рентгеноконтроль сварных швов, определение величины и количества дефектов и т.д. Явление, получающееся в результате испытания, называетсясобытием.

В теории вероятностей обычно рассматриваются массовые испытания, т.е. испытания, происходящие при неизменных основных условиях неоднократно.

События классифицируются следующим образом:

1.Событие называется достоверным, если в результате данного испытания оно обязательно произойдет.

2.Событие называется невозможным, если в результате данного испытания оно произойти не может.

3.Событие называется случайным (или возможным), если в результате данного испытания оно может произойти, но может и не произойти.

4.Два события называются несовместными, если при испытании появление одного из них исключает возможность появления другого.

42

5.Два события называются совместными, если при испытании появление одного из них не исключает возможность появления другого.

6.События называются единственно возможными, когда при испытании произойдет хотя бы одно из них.

7.Если при испытании могут появиться несколько возможных событий, и при этом нет основания предполагать, что появление одних возможнее других, то такие события называются равновозможными.

Вероятность события А это отношение числа случаев, благоприятствующих наступлению данного события, ко всему числу несовместных, единственно возможных и равновозможных событий:

P(A) mN ,

где m число случаев, соответствующих наступлению события А; N число несовместных, единственно возможных и равновозможных событий.

Если m = N, то P(A) = 1 событие А достоверно. Если m = 0, то Р(А) = 0 событие А невозможно.

Случайные величины обычно обозначают большими буквами, например Х. Значения случайной величины, которые она принимает в результате опыта, обозначают малыми буквами x1, x2, ..., xn. При массовых испытаниях каждое из возможных значений случайной величины x1, x2, ..., xn может встретиться m1, m2, ..., mn раз. Эти числа называют частотами. Если всего было проведено N испытаний, т.е.

n

mi N,

i 1

то отношение mi N называют частостью или относительной частотой.

Совокупность, содержащая все исследуемые объекты, называется генеральной совокупностью. Выбранные из генеральной совокупности N объектов образуют выборку объема N.

43

Дискретными случайными величинами называются такие, которые могут принимать лишь определенные значения, например 0,1; 0,2; 0,3 и т.д. Непрерывными случайными величинами называются такие, которые в некотором интервале могут принимать любые значения. Число бракованных изделий в различных выборках из генеральной совокупности есть дискретная случайная величина, а размер сварочных дефектов – непрерывная случайная величина. Всякую непрерывную случайную величину можно задать в виде дискретной, если все возможные ее значения разбить на интервалы

изадать вероятность появления этих интервалов.

4.3.Плотность и интегральная функция распределения случайных величин

Если Х случайная величина, а х некоторое ее значение, то вероятность того, что Х < х

F(x) = P(X < x),

где F(x) − некоторая функция, называемая интегральной функцией распределения. На рис. 4.1 представлена F(x) как ординаты кривой в некоторой точке х. При любом х

0 F(x) 1.

Плотность вероятности (х) есть предел отношения вероятности того, что случайная величина Х примет значение, лежащее между х и х + х к величине интервала х при х 0 (рис. 4.2), т.е.

( X ) lim P(x X x x) .

x 0 x

Будем считать, что случайная величина задана теоретическим законом, если задан ее интегральный закон или ее плотность вероятности. Законов распределения плотности в статистической обработке множество.

44

Наибольшее применение находит нормальный закон (или закон Гаусса), который имеет вид

Случайная величина задана эмпирическим законом распределения, если для каждого значения случайной величины известна частота встречаемости, полученная из N опытов (табл. 4.1).

При N mi/N P(X).

В пределе частости стремятся к вероятностям соответствующих значений случайной величины.

45

4.4.Основные параметры теоретического

иэмпирического распределения

Всякое теоретическое распределение характеризуется величиной своих основных параметров: математическим ожиданием МХ (центромгруппирования) и дисперсией DX (величиной рассеивания).

Для дискретной случайной величины

n

MX xi P xi ,

i 1

n

DX P(Xi ) xi MX 2.

i 1

Для непрерывной случайной величины, заданной своей плотностью вероятности (x), математическое ожидание и дисперсия

b

MX x (x)dx,

a

b

DX x2 (x)dx MX 2 ,

a

DX называется средним квадратическим отклонением. Эмпирическое распределение характеризуется средним значе-

нием

i 1

При достаточно большом N выборочное значение xср стремится по величине к математическому ожиданию, т.е. xср = МХ.

Величина рассеивания выборочных значений вокруг их среднего значения характеризуется эмпирической дисперсией

46

Для N 25 пользуются формулой

S2 S называется эмпирическим средним квадратическим откло-

нением. При N S2 = DX.

Кроме среднего значения и дисперсии кривые распределения характеризуются также асимметрией А и эксцессом Е:

Если А = 0, то кривая симметрична (рис. 4.3, а). Если А > 0 – кривая имеет положительную асимметрию (рис. 4.3, б), а если А < 0 отрицательную (рис. 4.3, в).

Рис. 4.3. Кривые распределения в зависимости от величины А

47

Рис. 4.4. Кривые нормального распределения в зависимости от величины Е

Эксцесс характеризует крутизну кривой. В качестве кривой с нулевым эксцессом принята кривая нормального распределения, где а = МХ, – дисперсия. Если Е > 0, то говорят, что имеется положительный эксцесс, т.е. вершина кривой находится выше кривой нормального распределения (рис. 4.4, а). Если Е < 0 – имеется отрицательный эксцесс и вершина кривой находится ниже кривой нормального распределения (рис. 4.4, б).

4.4. Техника вычисления параметров эмпирического распределения

Взависимости от того, каким количеством цифр выражаются значения случайной величины, а также от объема выборки, может быть рекомендована различная техника вычислений параметров выборки.

Объем выборки N > 25. В этом случае все значения случайных величин необходимо разбить на интервалы и произвести подсчет частот. Например, имеется 40 значений твердости (HRC) наплавленного металла от 26 до 40 ед. Для вычислений составляем табли-

цу (табл. 4.2).

Втаблице через хi обозначены середины интервалов. В конце столбцов 3, 5 и 6 проставлены суммы значений данных:

N mi 40, mi xi 1304, mi xi2 42 808.

48

4.5. Нормальное распределение

Наиболее общие закономерности для многих вероятностных распределений определяются так называемым нормальным распределением. Вероятностная кривая, соответствующая такому распределению (кривая Гаусса), имеет вид симметричного колокола и описывается двумя параметрами: характеристикой центра математическим ожиданием исследуемой случайной величины – и дисперсией 2.

Вероятность событий, связанных с появлением того или иного значения х, определяется соответствующей площадью под кривой Гаусса. Для некоторых значений и 2 составлены таблицы. Бесконечное число наборов этих параметров, а следовательно, и вероятностных кривых можно объединить в одну кривую, если вместо ве-

49

личины х исследовать распределение некоторой безразмерной функции этой величины:

u = (x – )/ .

Величина u представляет собой отклонение величины х от ее математического ожидания, выраженное в долях стандартного отклонения . Преобразованное таким образом распределение называется нормальным нормированным распределением. Любому нормальному распределению с параметрами и соответствует нормальное нормированное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Вероятностная кривая (рис. 4.5) нормированного распределения имеет вид

(u) (2 1)0,5 exp u22 .

Нормирование позволяет создать единые таблицы для определения вероятностей попадания случайной величины в исследуемый интервал ее значений.

Рис. 4.5. Вероятностная кривая нормированного нормального распределения

Соответственно, вероятность того, что величина u попадает в интервал между и u1 определяется интегралом

50