Метод конечных элементов

Б Б К 3 8 .1 1 2 я 7 3 6С1

М54

УД К 539 .3 . (07)

Для студентов всех форм обучения техни чески х вузов .

Редакция литературы по машиностроению и приборостроению Зав* редакцией О. А*Добровольский

Петр Маркович Варвак, Игорь Михайлович Бузун, Александр Сергеевич Городецкий,

Вадим Георгиевич Пискунов, Юрий Николаевич Толокноз

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Под ред. П. М. В а р в а к а

Редактор Г. В. Елисеева

Обложка художника Мороза А. Ф. Художественный редактор С.В. Анненков Технический редакторИ. И. Каткова Корректор С. •#. Куроченко

Информ. бланк № 5288

Сдано в набор 3.10.80. Подп. п печать 18.09.81. Формат 60x90»/ie. Бумага типогр. № 3. Лит. гарн. Выс. печать. Ц печ. л. 11,24 кр.-отт. 10,94 уч.-изд. л. Тираж 5000 экз’.

Изд. ЛЪ 4327. Зак. 449. Цена 55 к.

Головное издательство издательского объединения «Вища школа», 252054, Киев-54, ул. Гоголевская. 7.

Отпечатано с матриц книжной фабрики им. М. В. Фрунзе, 310057, Харьков-57, Донец* Захаржевская, 6/8, в Харьковской городской типографии № 16, Харьков— 3,

ул. Университетская, № 16. Зак. 1490.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие относится к тем разделам курсов строительной механики, теории упругости или спецкурсов по тео­ рии пластин и оболочек, где рассматриваются современные вариа­ ционные и численные методы и иллюстрируются их приложения. Среди численных методов особую популярность за последние годы приобрел метод конечных элементов (МКЭ), который тесно связан с современными ЭВМ и вполне им соответствует. МКЭ стал важ­ нейшим методом исследования и расчета конструкций. Диапазон его применения чрезвычайно широк: строительное дело и машино­ строение, гидро- и аэродинамика, горное дело и новая техника, за­ дачи устойчивости и распространения, моделирование и математи­ ческая физика.

Учитывая важность изучения будущими инженерами метода ко­ нечных элементов и обобщая опыт изложения его в Киевском авто­ мобильно-дорожном институте, авторы написали данную книгу, в которой освещены основные положения метода и показаны его приложения в задачах механики деформируемого твердого тела.

Материал книги распределен между авторами следующим обра­

Глава 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ

ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ

§1. Вариационные принципы

Внастоящее время вновь пробуждается интерес к вариационным принципам и методам. Объясняется это тем, что на вариационных

принципах базируется большинство современных приближенных

ичисленных методов, получивших широкое развитие в связи с ис­ пользованием ЭВМ. Вариационные методы обладают многими при­ влекательными чертами. Отметим по крайней мере три из них: 1) большая общность и, в силу этого, широкие возможности приложе­ ний; 2) инвариантность формы представления уравнений движения

имногих полей: 3) логическая стройность. В вариационных мето­ дах общей характеристикой является энергия, т. е. некая скаляр­ ная величина. Тем более удивительно то, что все величины меха­ ники деформируемого тела (по сути векторные) можно найти через какие-то фундаментальные скаляры.

Рассмотрим коротко понятия, имеющие отношение к теме главы. Вариация и функционал. Возьмем на плоскости две фиксирован­ ные точки Л, В (рис. 1) и проведем через них кривую*/ = у (х). Через эти же точки проведем другую кривую уг (л), отличающуюся от у (*) в каждой точке х не более чем на бесконечно малую вели­ чину. Разность между у (*) и ух(х) обозначим символом бу и назо­ вем вариацией (точнее, первой вариацией): Символ 6 был предло­ жен Лагранжем, чтобы подчеркнуть ее виртуальный характер.

Варьирование означает бесконечно малое изменение функции при фиксированном значении х. При этом 6* = 0 (что фиксируется, то не варьируется). Напомним, что бесконечно малое изменение, на­ зываемое варьированием, подобно дифференцированию в обычном анализе и выполняется по тем же правилам, но не связано с дейст­ вительным изменением независимой переменной. Эго своего рода математический эксперимент над совокупностью переменных.

Обозначим длину кривой у (х) буквой L. Кривая ух(х) будет уже другой длины. Поэтому вообще можно сказать, что

от функции у (х), если каждой функции у (х) соответствует число П.

В дальнейшем под П будем понимать некоторую энергетическую

величину (определенный интеграл), называемую полной потенциаль* ной энергией. Эта величина может быть выражена через перемеще­ ния или напряжения, которые в свою очередь являются функциями одной, двух или трех переменных в зависимости от типа задачи.

Решение задач, как потом увидим, связано с нахождением ми­ нимума (точнее,— стационарного значения) некоторого функцио­ нала, а в этом и заключается задача вариационного исчисления. Вот почему рассматриваемые методы называются вариационными..

Принцип сохранения механической энергии. Если конструк­ ция нагружена внешними силами, она деформируется.

Пусть на балку АВ (рис. 2) действует сила, постепенно возра­ стающая от нуля до Р (статическое приложение). Балка при ©том деформируется и под силой окончательный прогиб становится рав­ ным w. Во время деформации сила совершает работу

Обратим внимание на то, что действительная работа We содержит

МнЬжитель ^ При деформации в упругом теле возникают внутрен­

ние силы (силы упругости) и работа внешних сил Wе вызывает со­ ответствующую работу внутренних сил W(, Будем считать, что силы консервативны, т. е. после удаления нагрузки конструкция возвращается в исходное состояние, работа, как и деформация, обратима, потери не учитываются.

Балка приобретает способность совершать работу или накап­ ливать энергию. Энергия эта зависит от положения точек, т. е. от деформации, и называется потенциальной энергией. Потенциаль­ ная энергия внутренних сил Wt называется еще энергией деформа­ ции U. Она равна отрицательной работе внутренних сил:

В силу закона сохранения энергии работа внутренних сил равна и противоположна работе внешних сил:

В этом и состоит принцип сохранения механической энергии. Энергия деформации и дополнительная энергия. Представим себе

стержень, растягиваемый силой Р (рис. 3), постепенно возрастаю­ щей от нуля до Рх (рис. 4). Окончательное удлинение при этом бу-

дет Аг. Деформацию будем считать упругой и нелинейной. Работа, совершаемая силой Я,

д.

W = J P d A . <1.7)

о

Интеграл в выражении (1.7) соответствует площади, располо­ женной под кривой (на рис. 4 она заштрихована вертикальными линиями). Эта работа накапливается в стержне в виде энергии деформации:

Рассмотрим теперь часть площади, расположенной над кривой (на рис. 4 она заштрихована горизонтальными линиями). Назовем эту площадь дополнительной работой и обозначим W* . Она опре­ деляется по формуле

Дополнительной энергией U* назовем величину, равную дополни­ тельной работе

Обратим внимание на то, что

Аналогично удельная дополнительная энергия

U* = ] u*dV.

V

В случае, когда зависимости Р — А или а — е линейны,

W = W*\ U = (У*; и = и*. (1.16)

Принцип виртуальной работы для мате­ риальной точки. Пусть свободная материаль­ ная точка а под действием системы сил нахо­ дится в равновесии (рис. 7). Обозначим через бг возможное перемещение. Поскольку точка свободна, это перемещение, как уже было сказано, помимо'малости величины ничем не стеснено и может быть взято в любом направ­

лении. При этом величины сил и их направления считаются неиз­ менными. Тогда возможная работа силы Fx составит

F^8r cos 0Х= Fu 8r,

Поскольку материальная точка находится в равновесии, то сумма проекций всех сил (выражение в скобках) равна нулю. Следова­ тельно,

В этом и состоит принцип виртуальной (возможной) работы (вир­ туальных или возможных перемещений). Он формулируется так:

если материальная точка находится в равновесии, то Полная работа всех сил на возможных перемещениях равна нулю.

Можно было в качестве основополагающего взять принцип вир­ туальной работы и сформулировать его без доказательства, т. е.

считать, что 6UP = 0. Поскольку в выражений (1.1?) бг Ф 0, то

п

YiPir = 0, а это и есть доказательство условия равновесия. Таким

образом, законы Ньютона и принцип возможных перемещений

Рис. 8

(принцип Лагранжа) представляют собой альтернативные, но экви­ валентные формулировки задачи.

Принцип виртуальной работы для балки. Пусть под действием системы сил (рис. 8, а) балка деформировалась и находится в рав­ новесии. Выделим из нее бесконечно малый элемент dx (рис. 8, б),

формации (например,такие, какна рис. 8, в, показаны штриховой)-, не нарушающие ее внутренних и внешних связей. Внешние и внут­ ренние силы уже имеют заданные величина и направления, кото­ рые при возможных перемещениях не меняются. Другой вариант возможных перемещений показан штриховой линией на рис. 8, г. Здесь в качестве возможных приняты перемещения, которые имеет балка, возвращаясь из изогнутого состояния в первоначальное, неизогнутое.

В качестве возможных можно принять перемещения, вызванные действием любой нагрузки, любой температуры, осадки опор и т. д. За возможные можно также принять и те перемещения, которые

вызываются окончательным значением действующих сил. Тогда виртуальная работа внешних сил запишется так:

Поскольку силы Pl9 Мj, и т. д., возраставшие от нуля, достигли своих величин, а их направления при возможных деформациях не

меняются, то работа записывается без множителя у

Работу внутренних сил можно определить через силовые фак­ торы, напряжения и деформации. Для балки, показанной на рис. 8, а, в качестве виртуальных перемещений выберем те, которые возникнут под действием новой произвольной системы си*л. Пусть

при этом в сечении возникнут силсвые факторы М„, Q', N\ Мк

(рис. 8, д). Тогда, например, от М„ возникнет угловая деформа-

MHdx

ция -gy- , которая может рассматриваться как виртуальное пере­

Нетрудно увидеть, что действительная работа внутренних сил, соответствующая потенциальной энергии, запишется аналогично

формуле (1.20), но с множителем у .

Принцип виртуальной работы для упругого тела. Упругое тело можно рассматривать как систему материальных точек (рис. 9, а). Допустим, что произошло возможное перемещение каждой из точек тела. Возможная работа сил, действующих на каждую точку, равна нулю, а потому общая возможная работа тоже должна равняться нулю.

"Обратим внимание читателя на важную особенность матери­ альной точки тела (например, точки А) по сравнению со свободной точкой. Все точки тела, как и точка Л, связаны с примыкающими точками, и эта связь при любом возможном перемещении не долж­ на нарушаться. Иначе говоря, должно соблюдаться условие сплош­

ности, или'неразрывности. Условие это будет соблюдаться, если возможное перемещение выразить с помощью непрерывных функ­

перемещения зафиксированы (например, в случае закрепления это перемещение равно нулю), то вариация перемещения равна нулю.

Выделим из тела бесконечно малый элемент (на рис. 9, а он за­ штрихован). Пусть действительные перемещения точки А будут и, v, w, а составляющие виртуальных перемещений — соответственно би, би и боу, причем би, би, бw — непрерывные функции координат х, у, г и согласуются с граничными условиями.

Рассмотрим перемещения и работу в направлении оси х . Если