Метод конечных элементов

Разработана программа для цифровой ЭВМ второго поколения («Минск-32» и др.). По этой программе автома!ически строятся эле­ менты матрицы жесткости в аналитическом виде по информации о матрицах дифференцирования [D], упругости [Е] и 'аппроксими­ рующих полиномов [и]г. Покажем возможности этой программы на простейшем примере — построении матрицы жесткости для прямо/ угольного КЭ, находящегося в плоском напряженном состоянии (рис. /4).

Матрицы [D] и [Е] для плоского напряженного состояния имеют вид (см. гл. 4)

Исходная информация для этой задачи выглядит следующим об* разом: 2 — размерность пространства} 3 — количество видов де­ формации (количество строк в Матрице [D]); 4 — количество типов аппроксимирующих полиномов; 8 — общее количество степеней свободы для КЭ,

Матрицу [D] представим в виде табл. 35. Каждая строка таблицы соответствует ненулевому оператору матрицы [D], В первых двух столбцах указывается адрес оператора, во вторых двух — порядок дифференцирования соответственно» по х и У- Так, например, 3-я

строка означает, что элемент (3,1) представляет собой оператор щ-

Нуль означает, что соответствующий оператор отсутствует.

Матрица [Е\ также представлена таблицей (табл. 36). Как и для матрицы [Di, первые 2 столбца таблицы означают адреса коэффи­ циентов матрицы [£], отличных от нуля. Третий столбец означает

тый — коэффициент при элементе. Если элемент составной, то каждая его часть описывается в отдельной строке. При этом строки, относящиеся к одному элементу, имеют одинаковые адреса. Так,

Типы полиномов тоже сведены в таблицу (табл. 37). В 1-м столб­ це указаны номера полиномов, во 2—5-М — степени при а, Ь, х и у соответственно, в 6-м столбце — коэффициенты. Первый полином описывается в четырех строчках: первый его член ■—1 ; второй —

1 — — — JL _х- Ш a b Т a b ‘

Матрица [и\'г записывается следующим образом:

Здесь указаны номера типов полиномов. Размер матрицы определен параметрами.

Алгоритм программы реализует операции дифференцирования и интегрирования полиномов, а также операцию перемножения матриц, т. е. формулу (2.22). Каждый элемент матрицы жесткости, полученный в результате работы программы, выпечатывается в от­ дельной таблице. Для первого элемента (i = 1, /= 1) матрицы ре­ зультаты приведены в табл. 38. В заголовке таблицы печатается адрес элемента. Каждой составной части элемента отводится строка. В правом столбце указывается коэффициент, в левых — степени при параметрах. В данном случае (табл. 38) параметров 3: HI — а\

ровой ЭВМ, не приспособленной для операций с аналитическими выражениями. Программа может работать и в режиме «числовая матрица»: если величины Е , р>, hy a, b заданы числами, то в резуль­ тате счета получаются числовые значения элементов матрицы жест­ кости. В таком режиме эту программу можно было бы включить в вычислительный комплекс как универсальную процедуру построе­ ния матрицы жесткости. Однако, по-видимому, в настоящее время это не имеет смысла ввиду громоздкости процедуры и малого быстро­ действия машины.

При разработке вычислительных комплексов подобные програм­ мы можно использовать для получения новых матриц жесткости в аналитическом виде или проверки ранее полученных с последую­ щим программированием их описанными приемами.

§ 36. Составление систем канонических уравнений

Можно выделить 2 способа составления канонических уравне­ ний МКЭ, условно назвав их операторным и поэлементным. Опе­ раторный способ назван по аналогии с реализацией на ЭВМ метода конечных разностей и Еариационно-разностного метода. Суть этого способа заключается в наличии набора типовых операторов (напри­ мер, 13-членный оператор конечно-разностного аналога бигармонического дифференциального уравнения для изгибаемой пластины), с которыми связаны номера составляемых уравнений: Возможность быстро составлять уравнения с любым номером, что особенно важно при использовании различных итерационных методов,— большое

преимущество. Однако при различного рода нерегулярностях ко­ личество нетиповых операторов быстро возрастает, что часто стано­ вится непреодолимым препятствием для применения операторного способа.

Поэлементный способ возник при разработке программ расчета стержневых систем. Он основан на последовательном просмотре всего списка КЭ, из которых состоит исследуемая система. Для каждого рассматриваемого КЭ сначала матрица жесткости стро­ ится в местной системе координат, а затем переводится в общую. Элементы матрицы жесткости в' соответствии с номерами узлов (а значит, и перемещений) данного КЭ рассылаются в общую систе­ му канонических уравнений. Если по направлению какого-либо перемещения наложена связь, то соответствующие строка и стол­ бец в общей системе уравнений опускаются. Такой способ совер­ шенно безразличен к разнородности КЭ, из которых набрана ис­ следуемая система* что особенно важно при расчете композитных, систем.

Применяя поэлементный способ, целесообразно составлять-всю систему уравнений сразу, а если вся она в оперативной памяти ЭВМ не помещается, — то отдельными небольшими группами, последо­ вательно засылая их во внешнюю память ЭВМ. При этом весь спи­ сок КЭ приходится просматривать стодько раз, сколько таких групп входит в общую систему уравнений. Конечно, это определен­ ный недостаток поэлементного способа. Он, однако, смягчается, с одной стороны, тем, что наиболее распространенный метод реше­ ния уравнений — метод Гуасса — все равно, как правило, требует хранения в памяти ЭВМ всей системы; с другой стороны, современ­ ные ЭВМ имеют быструю внешнюю память (магнитные барабаны, диски), что сводит к минимуму потери времени на обращение к ней.

Последовательность поэлементного способа набора матрицы ко­ эффициентов [k] для канонических уравнений в случае, когда в, опера­ тивную память ЭВМ"одновременно помещается t уравнений, такова:* 1. Рассматривается /-я группа уравнений. Номер первого урав­ нения равен /0 (т. е. это уравнение соответствует /0-й степени сво­ боды), а номер последнего— (/0 + /). Группы уравнений формиру­ ются последовательно, т. е. первая составляемая группа уравнений

имеет /0 = 1, а последней составляется группа, для которой. (/0 +

+t) > п.

2.Из массива структурного описания КЭ выделяется один КЭ, номера его узлов и вектор степеней свободы этих узлов. Если сфор­ мированный для £-го КЭ вектор номеров степеней свободы не содер­ жит номеров уравнений, входящих в /-ю группу, то i-й КЭ дальше не рассматривается и происходит переход к (i + 1)-му КЭ. В про­ тивном случае рассматривается i-й КЭ.

3.По номерам узлов выделяются их координаты, по которым определяются геометрические размеры КЭ и его ориентация отно­ сительно общей системы координат (строится матрица направляю­ щих косинусов).

А. По типу жесткости i-го КЗ выделяются его физические харак­ теристики и из библиотеки процедур извлекается процедура по­ строения матрицы жесткости.

5. По физическим и геометрическим характеристикам i-го КЭ и выделенной процедуре строится матрица жесткости в меслной системе координат/

6. Перемножением матрицы жесткости слева и справа на квазидиагоиальную матрицу направляющих косинусов она перево­ дится в общую систему координат.

7. По вектору номеров степеней свободы определяются адреса элементов матрицы жесткости в матрице общей системы канониче­ ских уравнений.

Нулевой номер означает, что соответствующая степень свободы отсутствует, т. е. наложена связь.. При рассылке элементы строки и столбца матрицы жесткости, соответствующие нулевому номеру, опускаются. По окончании рассылки происходит переход к (i + 1)- му КЭ. После рассмотрения последнего КЭ /-я группа уравнений сформирована. Она засылается во внешнюю память ЭВМ, и начина* ется формирование (/ + 1)-й группы.

Формирование вектора правых частей {р} происходит следую­ щим образом: если нагрузка узловая, то ее величина просто накап­ ливается в i-м элементе вектора {/?}, где i — номер степени свободы, по направлению .которой приложена рассматриваемая узловая на­ грузка. Если нагрузка местная, т. е. действует по области Qr г -го КЭ но закону р (Qr), то она сначала приводится к узловой по фор­ муле

(10.3)

Реализация этого выражения на ЭВМ может быть выполнена раз­ личным образом. Поскольку виды местных нагрузок в практических расчетах ограниченны (нагрузка, равномерно распределенная по всей области КЭ или его части и сосредоточенная сила — вот, пожалуй, и весь список наиболее распространенных местных нагру­ зок), наиболее приемлемой, по-видимому; является формульная реализация (10.3), т. е. для каждою типа КЭ и вида местной нагрузки элементы вектора узловых усилий {Rr} вычисляются по запрограммированным формулам. '

Если в вычислительном комплексе реализован такой способ по­ строения матрицы жесткости, когда ее элементы автоматически строятся на ЭВМ в аналитическом виде, и матрица [f]r задается в качестве исходной информации, то более логичной будет прямая реализация процедуры (10.3). В этом случае функция р (Q?) вхо­ дит в исходную информацию в виде полинома, а интегрирование выражения (10.3) автоматически выполняется на ЭВМ. Этот способ удобен в том отношении, что местная нагрузка может быть задана произвольным полиномом, однако алгоритмизация задачи значи­ тельно усложняется, а время счета возрастает. Поэтому такой спо­

соб, как и третий метод построения матрицы жесткости,может быть рекомендован для очень мощных ЭВМ.

Составленная система канонических уравнений з физическом смысле есть система уравнений равновесия в общей системе ко­ ординат. Вместе' с тем построение матриц жесткости и приведение местной нагрузки к узловой до сих пор рассматривались в местной системе координат, которая вводилась только из удобства рассмотре­ ния того или иного КЭ. Как правило, местная система координат не совпадает с общей. Поэтому, прежде чем суммировать элементы по­ строенной в местной системе матрицы жесткости lk\r с элементами

В случае, когда степени свободы имеют естественный физический смысл (линейные перемещения, углы поворота), матрица [С1г пред­ ставляет собой квазидиагональную блочную матрицу, каждый блок которой является матрицей направляющих косинусов между осями местной и общей систем координат. Когда же степени свободы имеют более сложный физический смысл (например, если одна из степеней свободы в узле представляет собой крутильную деформацию), матрица 1С]Гстроится на основе формул замены переменных и мо­ жет быть заполнена целиком.

§ 37. Решение систем уравнений высоких порядков

Успешная реализация МКЭ связана с проблемой решения систем уравнений высокого порядка. Сейчас в решении практических за­ дач механики, как правило, используют метод Гаусса, хотя он и имеет серьезные недостатки. Потерю точности в некоторых резуль­ татах, вызванную несоответствием порядка и обусловленности си­ стемы уравнений количеству значащих цифр, удерживаемых в ЭВМ, иногда еще можно компенсировать последующим уточнением или решением с удвоенной точностью. Однако необходимость решать всю систему даже тогда, когда нужна весьма ограниченная информация о локальной области объекта,— это недостаток, который уже трудно отнести в разряд поправимых.

Тем не менее, благодаря ряду модификаций, появившихся в по­ следнее время, метод Гаусса пока сохраняет свое значение. Так, очень плодотворным оказалось предложение использовать симмет-