Метод конечных элементов

погонный крутящий момент, т. е. интегральная характеристика

пластины; dQ — бесконечно малый элемент срединной поверхности. В качестве физических соотношений принимаются зависимости между интегральными характеристиками напряжений (погонными

коэффициент Пуассона; [Я] — матрица упругости; {е} — вектор деформаций по области срединной поверхности пластины, состав­ ляющими которого являются кривизны; (а) — вектор напряжений по области пластины, составляющими которого являются погон­ ные изгибающие и крутящий моменты.

С учетом выражений (5.2) и (5.3) функционал полной потен­ циальной энергии изгибаемой пластины принимает вид

(5.4)

На основе выражения (5.4) можно получить коэффициенты жест­ кости конечных элементов изгибаемой пластины.

§ 16. Прямоугольный КЭ с двенадцатью степенями свободы

Начинать определение коэффициентов жесткости целесообразно с КЭ простейшей геометрической формы — прямоугольной. Гипо­ тезы Кирхгофа позволяют представить КЭ изгибаемой пластины в виде плоского пря­ моугольника (рис. 45) — части

срединной поверхности.

Как и в случае плоского"' напряженного состояния (см. гл. 4), в построении матрицы жесткости важен выбор функ­ ции, аппроксимирующей пе­ ремещения по области КЭ. Поскольку деформированное

состояние изгибаемой пластины описывается лишь функцией прогиба, достаточно задать закон изменения перемещений, нор­ мальных к плоскости КЭ. Учитывая вид функционала (5.1) полной потенциальной энергии, куда входят 2-е производные функции про­ гиба, можно сделать заключение , что степень аппроксимирующего полинома не должна быть менее 2-й. Очевидно, лучшее приближе­ ние к действительному характеру напряженно-деформированного состояния изгибаемой пластины достигается, если прогибы вдоль координатных осей описываются балочными функциями, т. е. поли­ номами 3-й степени. Эти соображения приводят к аппроксимации перемещений по области КЭ с помощью неполного полинома 4-й степени от двух переменных:

Действительно, функцию (5.5) можно представить как произведе­ ние строки и столбца:

Сопоставляя выражения (5.10) и (5.12), легко увидеть, что пере­ множение матрицы-строки {N} на обратную матрицу [С]-1 дает в результате матрицу-строку из двенадцати координатных функ­ ций ft. Перемножая, например, строку {N.} на 1-й столбец матрицы [С]-1, получим координатную функцию при 1-й степени свободы

Аналогично определяются и остальные координатные функции. Коэффициенты жесткости определяют, формально прилагая

формулу (2.22) с учетом выражений для функционала полной по­ тенциальной энергии (5.4), вектора обобщенных напряжений и век­ тора деформаций, описанных формулами (5.2) и (5.3).

Найдем, например, один из элементов матрицы жесткости — реактивный момент относительно оси х в дополнительной связи 1-го узла от единичного угла поворота того же узла относительно оси х, т. е. элемент £88=&¥ »й . Следовательно, при обращении

к выражению (2.22) i = 3, / = 3. Вектор деформаций (е)3 =

= l8) ^ описывает деформированное состояние по области КЭ •от единичного углового перемещения уу1, когда все остальные узловые перемещения равны нулю. В этом случае на основании выражения (5.10) аппроксимирующая функция прогиба w = f 3^=

= л (i — £)0 — л)2^

Переходим к системе координат ху, используя соотношения

■Компоненты вектора обобщенных напряжений находятся из выра­ жения (5.2):

1а 1з = \Е\ (е)3.

Искомый коэффициент жесткости к33 определяем из формулы (2.22),

В гл. 4 уже рассматривался физический смысл матрицы жест­ кости. Каждый элемент матрицы можно представить как реакцию по направлению 1-го индекса от единичного перемещения по на­ правлению 2-го индекса. Такое понимание соответствует мето­ дике составления уравнений равновесия в узлах расчетной схемы.

Конечный элемент изгибаемой пластины о двенадцатью степе­ нями свободы, построенный на основе аппроксимации перемещений о помощью полинома (5.6), обеспечивает достаточно высокую точ­ ность результатов и поэтому применяется наиболее часто. Разра­ ботан такой КЭ Р. Клафом и иногда носит название элемента Клафа.

Как следует из выражения (5.2), параметры напряженного со­ стояния КЭ — погонные изгибающие и крутящий моменты — определяются через перемещения его узлов. Подставляй в качестве компонентов вектора деформаций (е) соответствующие 2-е произ­ водные от функции прогиба (5.10), можно получить функции погон­

области КЭ находят затем простой подстановкой координат. Обычно погонные изгибающие моменты определяют в узловых точках, а погонный крутящий момент — в центре тяжести КЭ. Коэффициенты при узловых перемещениях приведены в выражении (5.19). Положительные изгибающие моменты растягивают нижнее волокно пластины. Построенный КЭ может воспринимать попе­ речную узловую нагрузку [см. (5.19) на с. 90].

Местные нагрузки, в том числе и сосредоточенные силы, при­ ложенные вне узлов, следует приводить к узлам по процедуре, ос­ нованной на формуле (2.24). Пусть, например, КЭ загружен рав­ номерно распределенной по площади нагрузкой р(х, у) — р. Для узла 1 эквивалентные' узловые нагрузки тогда окажутся равными’.

Сосредоточенную силу в узле 1 можно найти и как одну четвертую часть всей нагрузки на КЭ. Кроме сосредоточенных узловых сил, следует учитывать и сосредоточенные узловые моменты:

а Ъ

Аналогичное приведение можно выполнить для веек узловых сия при СКОЛЬ угодно сложной функции р (х, у). Если функция р (х, у) описывает распределенные или сосредоточенные моменты, то подын-