Метод конечных элементов
..pdfФизический смысл узловых реакций вытекает из физического смысла степеней свободы: Ri и R 2 — сосредоточенные реакции по направлениям линейных перемещений и ay, Мх и М 2 — сосре доточенные реактивные моменты по направлениям углов поворота Ф1 и ср2 (рис. 26, в).
Коэффициенты матрицы жесткости (3.25) имеют тот же физиче ский смысл, что и усилия и моменты защемления в традиционной форме метода перемещения при расчете стержневых систем. По этому нетрудно получить эти коэффициенты, используя только представления строительной механики стержневых систем. Так, определяя, например, величину Ri (рис. 26, в), следует придать узлу 1 стержня единичное перемещение в направлении шх (рис. 29).
Деформированное |
состояние |
|
стержня |
описывается прибли |
|
женным |
дифференциальным |
|
уравнением упругой линии: |
||
Ejd *w lx )==RiX _ |
Mv |
|
Первый и второй интегралы диф ференциального уравнения име ют вид
Ri £ - M i* + Ci = EJ(f (xy, R1^ - M 1^ + C1x + Ci = E JW (X)
Для определения констант Cx и C2 используем граничные условия:
|
при х = |
О |
ф = 0; при х = I w = 0. |
||
Из этих граничных условий |
|
||||
|
|
Сх — 0; |
С2 = — |
+ |
|
Для |
определения |
Ri и |
Л4Х используем такие условия: при х-= 0 |
||
w = |
1; при х = I |
ср = |
0. В результате решения системы двух ал |
||
гебраических уравнений определяем усилия в узле 1 от перемеще ния Wi — 1 :
12EJ |
, |
Ш |
|
|
|
Я г = 13 |
< Mi = |
I» |
* |
|
|
Аналогично можно определить |
и остальные |
элементы |
матрицы |
||
жесткости (3.25). |
|
|
|
|
|
Приведение распределенной |
нагрузки |
к |
узловой |
выполняют |
|
по формуле (2.24). Так, для равномерно распределенной нагрузки р (х) = р, например,
|
|
I |
n |
= |
f t . |
? 2 |
] p f2dx = |
|
|
|
P |
l
C
^
0
p |
x3 — 2 lx2 + l*x |
, pi* |
. |
-------- Ji-Z-— |
dx — ^ |
л |
p |
E l ■ p ______E— |
Следует иметь в виду, что Р г и Р4 представляют собой сосредоточен ные моменты, приложенные в узлах КЭ.
§9. Конечный элемент стержня
вусловиях пространственной нагрузки
Вэтом случае стержень (рис. 30) подвергается поперечному из гибу в двух направлениях (относительно осей инерции у и г сече ния стержня), кручению и продольным деформациям. Если раз меры сечения малы по сравнению с длиной стержня, то можно пренебречь сдвигающими усилиями и считать, что напряжения по сечению стержня распределяются линейно (гипотеза плоских сече ний). Функционал полной потенциальной энергии в этом случае
|
Л |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
EJ„ 'd*w\2 |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
,dx3 j |
+ |
|
|
|
+ ы < ( ё ) , + И й ) ‘ + |
||
|
|
|
|
I |
|
|
|
-г GJKра 2 dx — ^ [рх(х) и + |
|||
|
|
|
J |
О |
|
|
|
+ |
Ру (х) v + |
рг (х) w + |
тха + |
|
Рис. 30 |
|
+ ту§ + m2y] dx, (3.26) |
||
где и, |
v, w — линейные перемещения |
по области стержня |
вдоль |
||
осей х, |
у , г соответственно; |
а, р, у — угловые |
перемещения по |
||
области стержня относительно осей х, у , z; E Jи, |
E JZ, EF, |
GJKp— |
|||
жесткости стержня соответственно на изгиб относительно |
осей у |
||||
и z, продольная жесткость |
стержня и жесткость на кручение; |
||||
рх(х), |
ру(х), рг (х) — распределенные нагрузки на стержень вдоль |
||||
осей х, у, г соответственно; |
тх, ту, тг — распределенные крутя |
||||
щие моменты относительно осей х, у, г соответственно. |
|
||||
Угловые перемещения р, у — функции от поперечных переме |
|||||
щений v, о^Р = ^ ; у = |
Это обусловливает форму аппрокси |
||||
мации перемещений по области стержня. Для и (х) и а (х) прини мают линейную аппроксимацию (здесь нужно иметь по две степени свободы), а для v (х) и w (х) — кубическую, которая аппроксими рует Р и у по квадратной параболе (здесь нужно иметь четыре сте-
пени свободы). При линейной аппроксимации имеют два независи мых параметра (и = ахх + а2), а при кубической — четыре (и = = М 3 + + Ь3х + 64). Переход от представления координат ных функций в виде полиномов, коэффициенты которых связаны со степенями свободы неявно, к представлению функций в явном виде подробно описан при выводе матрицы жесткости изгибаемого стержня (см. § 8). Поэтому аппроксимацию всех шести перемеще ний по области стержня сразу представим в явном виде, который удобен для дальнейшего'построения матрицы жесткости:
|
|
|
|
и (х) = |
иг —l L— + U2j\ |
|
|
|
(3.27) |
||||
|
|
, ч |
|
2х3 — 3lx2 + /3 |
. |
х3— 2lx2 + |
l2x |
|
|
|
|||
|
V (X) |
= t»i------ /3 |
T |
+ V i------i- r |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2x3 — Six2 |
. |
x3— lx2 |
|
|
(3.28) |
|||
|
|
|
|
^2 |
p |
г T2 |
J 2 |
> |
|
|
|||
|
|
f v |
|
2x3— Slx2 + l3 |
a |
x3— 2lx2 -j- l2x |
|
|
|
||||
|
w(x) = w1 -------— |
L------- P i--------- J g ^ ~ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2x3 — Six2 |
Q x3 — lx2 |
|
|
(3.29) |
||||
|
|
|
|
— w?----- s---------Pa •----------• |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
p |
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a (x) = |
a x —l j l + |
a, j |
, |
|
|
(3.30) |
|||
где иъ |
u2, vlt |
v2, wu w2, a lt a 2, plt P2, ух, y 2 — степени свободы, т. e. |
|||||||||||
линейные перемещения |
вдоль осей х, у, г.и углы |
поворота |
относи |
||||||||||
тельно |
этих |
же |
осей для уз- |
|
|
|
|
|
|
|
|||
лов 1 и 2 КЭ стержня. |
|
|
|
|
|
|
В |
|
|||||
Матрица |
жесткости |
для |
|
|
|
W„Q,2 |
|
мЧрг |
|||||
пространственного |
стержня |
ф 1,Л, |
|
|
|
|
|||||||
(табл. 3) имеет размер 12 |
X 1 2 . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Чтобы |
построить |
элементы, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
этой матрицы, |
нужно |
вос |
|
|
Рис. |
31 |
|
|
|
||||
пользоваться |
|
выражением |
|
|
|
|
|
||||||
(3.26) для функционала потен |
|
|
функциями |
(3,27) — |
|||||||||
циальной энергии |
и аппроксимирующими |
||||||||||||
(3.30) по методике, описанной ранее. Положительные направления для узловых перемещений (сил) и узловых углов поворота (момен тов) приведены на рис. 31. В табл. 3 и ей подобных элементы матрицы определены индексами i, / — номерами столбцов и строк.
Местную нагрузку к узловой приводят по формуле (2.24). Так, для определения, например, узлового усилия Qz\ ^третья степень свободы wx, соответствующий аппроксимирующий полином
— ~ ^3* 1 j от равномерно распределенного момента ту (х) — ту
воспользуемся выражением (3.26):
/
Рэ = 1 '”;/Р dx-
Я i = |
Nx1 |
#2 = |
Qt/1 |
Rs= Qzi |
|
R *= |
^кр1 |
Я 6 = |
М И |
Re = |
A4zi |
Я , = |
NX2 |
II |
to |
1
2
3
4
5
6
7
8
< 7i= a i Я2= ”l gs= wi ^4— a l
l |
2 |
3 |
4 |
|
EF |
0 |
0 |
0 |
|
l |
||||
12£У 2 |
|
|
||
|
0 |
0 |
||
|
/3 |
|||
|
|
|
12£У у |
0 |
|
/з |
||
|
||
|
GJKp |
|
|
l |
|
|
4 |
^9 — QZ2 |
9 |
Симметрично |
|
/?Ю=Л1кр2 10 |
|
||
/^ n = |
АЛy2 11 |
|
|
R12 = |
^ 22 12 |
|
|
Яь=$1
5
0
0
6EJ„ l2
0
4 £ 7 j, / 2
tfe— Yi
6
0
б£У z
/2
0
/
0
0
4£ У г / 2
Я7=и2
7
EF l
0
0
0
0
0
EF t
?8 = »2
8
o
12£У г /3 .
0
0
6EJ у
/ 2
0
0
\2EJZ
/з
q9=w 2 |
<7io— a 2 |
|
9 |
10 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
\2EJу |
0 |
|
/з ‘ |
||
|
||
0 |
" к р |
|
/ |
||
|
||
0 |
0 |
|
6EJZ |
0 |
|
/ 2 |
||
|
||
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
l2EJy |
|
/3 |
0 |
|
|
|
<W„p |
|
/ |
<7n— P2
11
0
0
6EJy
/2
0
0
2EJz
'l
0
0
6EJy
1-
0
4£«/ ^ / 2
7 l2 = V 2
12
0
6 E JZ
/2
0
0
2EJ у l
d
0
6 £ У 2 /2
0
0
0
4 £У 2 “ T2"
Функция Р(л:), соответствующая 3-й степени свободы,
|
о / \ |
d |
, |
б *2 —1х6 |
Тогда |
Р М = й '» = ' - т - ' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
6х2 — 61х dx = — ти |
||
|
= \ т« |
/» |
|
|
§ |
10. Примеры расчета стержневых систем |
|||
Пример 6 . |
Рассмотрим |
простейшую |
стержневую систему (рис. 32, а). |
|
Для расчета достаточно разделить стержень ступенчатого сечения на два КЭ
(7) и (2) (рис. 32,б). Порядок обхода узлов 7, 2,3 КЭ принимаем |
от 7 к 2 |
(см. |
||||||||||||||||||||
рис. 2 3), |
что |
соответствует |
порядку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
узловы х |
|
сил и перемещений при вы |
|
|
|
|
|
|
|
|
---- гг |
|||||||||||
воде |
матрицы |
ж есткости . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'1 |
|
|
|||||||
|
В каждом узле может возник |
|
|
|
|
|
10см2 |
|
|
|
§ |
|||||||||||
нуть |
одно перемещение — по |
направ |
|
|
|
|
|
|
|
( 0 |
1 |
|||||||||||
лению ^>си Xi |
Изч них Ui = |
|
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
тёк как |
концы |
стержня |
ж естко |
зак |
|
|
|
|
|
|
|
|
U- |
|
||||||||
реплены. |
Таким |
образом, |
остается |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
£ |
|||||||||||||
одно |
?неизвестное |
перемещениеи2. |
|
|
|
Р*Ч50кН |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
SJ |
||||||||||||||||
Поэтому |
|
следует составить лишь одно |
|
|
|
|
( 2 ) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
||||||||||||
уравнение |
равновесия |
узловых |
сил |
|
|
|
|
|
|
1 |
777. |
° |
||||||||||
|
^ 7777777777^77777, |
|
||||||||||||||||||||
узла |
2 . |
|
К |
узлу 2 |
примыкают конеч |
|
|
|
|
|
|
у |
||||||||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ные элементы |
(У) и (2). |
Общее усилие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
по направлению осих в узле 2 будет |
|
|
|
|
|
Рис. 32 |
|
|
|
|
||||||||||||
суммой |
|
реакций |
в |
дополнительной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
связи |
узла |
2 |
от |
перемещений узлов |
|
|
|
У |
в элементе |
(У) получаем |
||||||||||||
У, |
2 |
и 3. |
Усилие |
в |
узле 2 от |
перемещения узла |
||||||||||||||||
из |
матрицы |
жесткости |
(3 .9) |
как |
произведение 1-го элемента 2-й |
строки на |
||||||||||||||||
перемещение узла У. В данном случае |
|
= |
0 . Усилие в узле 2 элемента (У) от |
|||||||||||||||||||
перемещения |
узла |
2 |
равно произведению 2-го элемента 2-й строки |
на |
переме- |
|||||||||||||||||
щение |
узла |
|
2, т. |
EF |
|
В |
элементе |
(2) |
усилие, |
возникающее |
в |
узле2 |
||||||||||
|
е. |
у—-^и2. |
||||||||||||||||||||
(индекс |
|
1), |
|
|
|
h |
по 1-й |
строке |
матрицы жесткости (3.9) |
|
EF |
и2. |
||||||||||
|
набирается |
и равно |
||||||||||||||||||||
Общее |
усилие |
в узле 2 равно |
сумме |
реакций |
от |
перемещений |
|
12 |
элемен |
|||||||||||||
узлов |
||||||||||||||||||||||
тов (1) |
|
и (2). Поскольку к узлу |
2 |
приложена, |
внешняя |
сила |
Р , |
то сумма |
||||||||||||||
реакций |
|
приравнивается к этой силе. Уравнение |
равновесия узловых |
сил у зл а 2 |
||||||||||||||||||
приобретает |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
EF1 , EF2 h 2 1 l*
Решая уравнение (3 .3 1 ), находим, что
D
(3.31)
ы*= |
Р |
|
Р |
|
1 0 , |
40 |
: 0 ,9 £ ‘ |
||
|
||||
|
h + ^ 4100 |
50 |
|
Узловы е силы, представляющие собой реакции в дополнительных свя зя х, определяю тся из матрицы ж есткости (3 .9). Д л я КЭ (У) и (2) векторы переме щений записы ваю тся следующим образом:
|
|
|
|
{?}(2) = |
|
|
(3.3 3) |
Усилие |
в |
узле 1 |
элемента (1) представляет собой |
результат |
перемножения |
||
1-й строки |
матрицы ж есткости (3 .9) на вектор перемещений |
(3 .3 |
2 ), а усилие |
||||
в узле 2 |
КЭ |
(1) |
— результат перемножения 2-й |
строки, матрицы |
ж есткости |
||
(3 .9 ) на |
тот |
же |
вектор: |
|
|
|
|
|
|
10 |
1 0 - - | |
{R} |
= Е |
100 |
” 100 |
10 |
10 |
||
|
|
100 |
100 ^ |
О— 50 кН
450
+ 50 кН
0 ,9 £
Аналогично определяются узловые силы в КЭ (2):
|
R2 |
п |
о |
|
•= Е |
50 |
|
{*5(2)* |
|
||
Я з |
40 |
||
|
_ |
50 |
|
|
|
О |
Г 4 50 |
|
|
|
+ |
400 |
кН |
|
|
|
|||
50 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0,9 |
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
0 |
|
|
|
— 400 кН |
|
|
|
||||
50^ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример |
|
7. |
|
Рассм атри вается |
|||||||
|
статически |
|
неопределимая |
балка |
|||||||||
|
постоянной |
ж есткости (рис. 33,а). |
|||||||||||
|
Д л я |
расчета |
используем м атри ц у |
||||||||||
|
ж есткости |
|
(3.25) |
КЭ изгибаемого |
|||||||||
|
стерж ня. Расчетную |
схем у |
строим |
||||||||||
|
из |
пяти |
|
КЭ |
(рис. |
33, |
б). |
Р авн о |
|||||
|
мерно |
распределенную |
нагрузку |
||||||||||
|
приводим |
|
к узловой |
по формуле |
|||||||||
|
(2.24). |
|
|
|
|
степеней |
свободы в |
||||||
|
|
По числу |
|||||||||||
|
каждом |
узле |
расчетной |
схемы |
|||||||||
|
можно составить 2 уравнения рав |
||||||||||||
|
новесия, из которых определяются |
||||||||||||
|
2 |
неизвестных |
перемещения этого |
||||||||||
|
узла. |
Не |
следует составлять урав |
||||||||||
|
нения равновесия сил в |
направле |
|||||||||||
|
нии |
тех |
|
узловых |
перемещений, |
||||||||
|
которые |
определяются |
граничны |
||||||||||
|
ми условиями. Исключение таких |
||||||||||||
|
уравнений |
|
в |
МКЭ |
эквивалентно |
||||||||
|
наложению |
соответствую щ их |
свя |
||||||||||
|
зей. |
Без |
|
наложения |
связей |
мат |
|||||||
|
рица |
|
системы |
линейных |
уравне |
||||||||
|
ний |
|
оказы вается |
|
вырожденной* |
||||||||
|
|
Из граничных |
|
условий балки |
|||||||||
|
(рис. 33, а) |
следует, |
что |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
щ === щ = |
щ = о* |
|
|
||||||
|
Неизвестными перемещениями бу- |
||||||||||||
|
Риг |
„ |
|
Ф6. |
дут Фь |
«v, щ\ф2; Ф4;Фз; «V, |
фб; |
|
|
|
|
Каждому |
неизвестному |
пере |
|
равновесия, |
выражающее |
|
мещению соответствуем уравнение |
||||
равенство нулю всех сил по направлению этого пе |
|||||||
ремещения, |
приложенных |
в |
рассматриваемом узле. В |
число этих сил входят |
|||
внешняя узловая |
нагрузка |
и реакции от |
перемещений узлов в КЭ, |
примы |
|||
кающих к рассматриваемому узлу расчетной схемы .
Порядок составления линейных уравнений равновесия узловых сил по кажем на примере узла4 (рис. 3 3,в). Реакции в этом узле от узловых переме
щений |
конечных |
элементов |
легко |
найти, умножая соответствующ ие коэффи |
циенты матрицы |
ж есткости |
(3 .2 5 ) |
на эти перемещения. Для этого строку мат |
|
рицы |
ж есткости |
(3 .2 5 ), индекс которой соответствует направлению неизвест |
||
ного перемещения, следует умножить на вектор перемещений данного КЭ.
Векторы |
перемещений |
конечных |
элементов, примыкающих к узлу4, записы |
|
|||||||||||||||||
ваются через |
перемещения |
узлов |
расчетной |
схемы |
(рис. |
33, |
б) так: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f° |
1 |
|
|
fW4' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
{95(3) — |
Фз| . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
wA ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.<pj |
|
|
1фб- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д ля |
|
узла 4 составим |
2 |
уравнения |
равновесия |
сил |
— |
по |
направлениям |
|||||||||||
неизвестных |
перемещенийw4 и |
ср4. В |
1-е уравнение войдут усилия, получен |
||||||||||||||||||
ные умножением |
3-й |
строки |
матрицы жесткости (3.25) |
на |
вектор |
(7}(я ). |
что |
||||||||||||||
соответствует |
реакции |
в |
узле4 по направлению w4 от |
|
узловых |
перемещений |
|
||||||||||||||
КЭ (3). Сюда следует добавить реакцию |
в узле4 по |
направлению wA от |
пе |
|
|||||||||||||||||
ремещений |
узлов |
КЭ (4) [произведение |
1-й |
строки |
матрицы |
жесткости |
(3 .25) |
||||||||||||||
на |
вектор |
{^ )(4)]. |
Сумма |
этих |
сил |
равна |
внешней |
|
нагрузке |
по |
направлению |
||||||||||
w4 |
в узле 4: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
12EJ |
|
|
6EJ |
|
12EJ |
|
|
6EJ |
|
, |
12EJ |
. |
6EJ |
|
|
12EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
ф. + |
|
.3 |
^ |
|
/ 2 |
ф 4‘ |
W* + |
~Л Ч>4 - |
— |
w* + |
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
Ш |
Фб = |
p l Я , |
PU |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
+ /• |
2 |
+ T - |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Второе |
уравнение |
выражает |
условие |
равновесия всех |
сил |
в |
направлении |
ср4 , |
|||||||||||||
приложенных с узлу4. Суммируются произведения 4-й строки-матрицы жест
кости (3 .2 5 ) |
на вектор {д }(3) и 2-й |
строки |
на вектор {<7)(4). Правая |
часть этого |
|||
уравнения |
равна |
сумме |
сосредоточенных |
моментов, приложенных |
в узле4: |
||
6 |
, EJ2 |
6£ 7 |
, EJ4 |
, EJ6 |
, EJ4 |
|
|
— ° + — % |
. — |
w4 + — yi + — wi + |
— , |
|
|||
|
|
|
2 EJ |
Pl\ |
. РК |
|
|
I T ф5 = _ Т2- +
Остальные 7 уравнений равновесия формируют аналогично. Записать систему линейных уравнений целесообразно в виде таблицы (табл. 4). Ре шением системы (табл. 4) будет вектор неизвестных перемещений расчетной схемы:
Ф1 = |
|
1 |
„ |
. о |
ку2 |
|
15,99 |
, |
25,99 __ |
|
2 |
||
— £ 7 |
кН |
•м2; |
= = - ^ - |
кН •м3; |
ф2 = |
—g j - кН •м2; |
|
|
|||||
фз = |
2 |
о |
2 |
|
= |
7,46 u |
ч |
8,71 |
„ |
. |
|
||
|
кН |
•м2; w4 |
- p j кН |
•м3; |
ф4 = |
кН •м2; |
|
|
|
||||
w5 = |
- g j - |
кН |
•м3; |
ср5 |
= — |
кН •м2; |
фв—= — кН •м2. |
|
|
|
|||
Последний |
|
этап |
расчета |
— |
|
определение внутренних сил в |
узлах |
КЭ. |
|||||
Для этого формируют столбцы |
узловых |
перемещений |
отдельных |
КЭ, |
исходя |
||||||||
из вектора перемещений расчетной схемы. Поперечные сипы и изгибающие моменты в узлах КЭ представляют собой результат умножения матрицы жест-
*1 |
wt |
|
9* |
9з |
|
- |
|
|
|
9в |
9а |
|
|
Правая |
|
|
|
|
|
<Р4 |
|
|
|
|
часть |
|
|||||||
2 |
— 1,5 |
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1,687 |
|
— 1,125 0 ,3 7 5 |
0 |
0' |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
3 |
0 ,5 |
0 |
0. |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
6 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
— 6 |
2 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
1,67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
- 0 |
— 12 |
|
6 |
0 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Симметрично |
|
|
|
8 |
— 6 |
2 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
13,5 |
— 4 ,5 |
1,5 |
|
10 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E J |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
1 |
|
|
1,67 |
|
|
|
|
|
|
« |
|
|
|
|
|
|
E J |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
Кости отделвного КЭ (3 .25) |
на соответствую щ ий |
вектор узловы х перемещений* |
||||||||||||||
Т ак, |
для КЭ |
(/), например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Г |
|
|
|
12 |
6 |
12 |
6 |
|
Г |
|
|
( |
|
) |
|
|
*1 |
|
|
23 |
2 2 |
23 |
2 2 |
|
0 |
|
|
13,5 кН |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
М г |
|
|
6 |
4 |
6 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
2 2 |
2 |
2 а |
2 |
« |
EJ |
>= < |
|
и |
|
||||
|
< |
|
> = EJ |
|
|
> |
|
|||||||||
№ > = < ; |
|
|
|
12 |
6 |
12 |
6 |
|
15,99 |
|
- 1 3 , 5 кН |
|
||||
|
*2 |
|
|
23 |
2 2 |
23 |
2 а |
|
EJ |
|
|
|||||
|
м 2 |
|
|
6 |
2 |
6 |
4 |
|
25,99 |
|
27 кН •м |
|
||||
|
J |
|
2 2 |
2 |
2 2 |
2 |
|
EJ |
j |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует иметь в виду, что полученные знаки усилий и перемещений |
со |
||||||||||||||
ответствую т |
правилам |
положительных знаков, |
принятых для |
узловы х пере |
||||||||||||
мещений и сил |
на рис. 2 6 , б,в. Н а рис. 33, г,д представлены эпюры |
изгибаю |
|
|||||||||||||
щих |
моментов |
и поперечных сил. В тех у зл ах, |
где сходятся |
два |
КЭ, изгибаю |
|||||||||||
щие моменты |
приняты |
равными |
полусумме узловы х |
моментов, |
определенных |
|||||||||||
по каж дому |
из эти х К Э. Эпюра |
поперечных сил |
на 2-м |
пролете |
из расчета |
у з |
||||||||||
ловы х сил по |
описанной |
методике |
окаж ется |
ступенчатой |
(рис. 33, б), |
что |
||||||||||
объясняется заменой равномерно распределенной нагрузки эквивалентной систем ой сосредоточенных узловы х сил.
Пример 8 . Рассм атривается нагруженная статически |
неопределимая рама |
|||||||
переменного сечения (рис. 34,а). Расчетная схема образована |
из пяти КЭ |
|||||||
(рис. |
3 4, б). |
|
КЭ(1) |
состоит в том, |
что общая система |
|||
О собенность матрицы ж есткости |
||||||||
координат хОг рамы (рис. 34, б)'н е совп адаете локальной |
системой координат |
|||||||
этого |
КЭ: по отношению к общей системе координат |
КЭ (/) повернут на угол |
||||||
я / 2 против часовой стрелки. Коэффициенты матрицы |
жесткости КЭ(!) следует |
|||||||
зап и сать в общей |
системе координатхОг с |
помощью специальных |
соотноше |
|||||
ний, |
применяемых |
для преобразования |
систем координат. Однако при пово |
|||||
роте |
на угол я /2 достаточно принять во внимание, что перемещения, нормаль |
|||||||
ные к оси КЭ ( /) , |
становятся для КЭ (2), |
(3), |
(4) и (5) |
перемещениями тон же |
||||
|
|
111кН |
^2кН ^гкН ^22/сН ^ к н |
|
|
|
||
|
р-ЧЧкН/м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
(3) |
(Ч)7 / |
(j) |
ГЛ/ |
j |
|
|
|
2t2°o$t?o$i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(I) |
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
6 |
|
величины вдоль оси. То же относится и к узловым |
силам. |
Узловые моменты |
||||||||
не меняют своей величины и знака, так как ось, |
нормальная к плоскости |
|||||||||
рамы, |
остается неизменной. Положительные |
направления |
перемещений КЭ |
|||||||
в системе |
координат, повернутой |
на угол я /2 |
относительно локальной, |
пока |
||||||
заны |
на рис. 34,в. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Расчетная схема содержит 6 узлов. Общее количество узловых переме |
||||||||||
щений |
— |
12. На основании учета граничных |
условий |
|
|
|
||||
|
|
|
Wi = w2 = |
we = фв = |
0. |
|
|
|
|
|
Для |
определения неизвестных перемещений cpi, ф2, Доз» |
фз»4>^ Ф4»“'б» Фб нужно |
||||||||
составить 8 уравнений равновесия узловых сил в направлении |
эт и х ‘неизвест |
|||||||||
ных. Т ак , |
при составлении, например, уравнения равновесия |
сил в направ |
||||||||
лении ф2 (рис. 34, г — узел2) следует суммировать |
реакции |
конечных |
эле* |
|||||||
ментов |
(/) |
и (2), примыкающих к данному узлу. Векторы перемещений |
узлов |
|||||||
КЭ (/) |
и |
(2) записывают через перемещения |
узлов |
расчетной |
схемы: |
|
||||
|
|
|
о |
|
|
/0 |
|
|
|
|
|
|
|
Ф1 |
I {^}(2) “ |
Ф2 I |
|
|
|
|
|
|
|
|
М (|> - о |
|
ю3[ • |
|
|
|
||
|
|
|
ф2 |
|
.Фз) |
|
|
|
|
|
Сумма произведений 4-й строки матрицы жесткости (3.25) КЭ (/) {q}(i)на и 2-н
строки матрицы ж есткости КЭ (2) на { ? } ( 2) составляет линейное уравнение рав-
новесия в направлении ф2. Правая часть этого уравнения равна сосредоточен ному моменту, приложенному в узле2:
6 •3EJ |
|
2 •3EJ |
|
6 •3EJ |
4 |
•3E J |
|
|
||
if |
|
|
11 |
«Pi — |
■ |
|
|
ТГ~ ф2+ ^ * ° |
+ |
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
, |
Ш |
|
6EJ |
|
,2EJ |
pi: |
|
|
|
|
+ |
Х |
(р2- 1 ^ |
1г'3 + |
1 Г фз = -12 |
|
|
||
Д л я узлов 3, |
4 и 5 |
нужно составить |
по 2 уравнения |
равновесия |
— в направ |
|||||
лении w и ф. Эти уравнения составляю т так |
же, как |
в примере |
7. Д ля узла / |
|||||||
составл яется |
одно |
уравнение |
равновесия — |
в направлении фх: |
|
|||||
|
|
|
4 |
- 3 EJ |
, |
2 .EJ3 |
|
|
|
|
Tj |
ф1~* |
Г2 |
91 |
9* |
|
W* |
9л |
w4 |
|
12 |
|
6 |
0 |
0 |
|
0 |
|
20 |
|
- 2 4 |
|
4 |
0 |
|
|
|
192 |
0 |
- 9 6 |
|
|
|
|
|
16 |
— 24 |
|
|
Симметрично |
|
192 |
|||
Ф2 = 0-
|
|
|
Таблица 5 |
|
94 |
Шд |
9* |
|
Правая |
|
часть |
|||
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0,92 |
|
EJ |
|||
|
|
|
|
|
24 |
0 |
0 |
|
22 |
|
EJ |
|||
|
|
|
|
|
4 . |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
— 96 |
24 |
|
22 |
|
EJ |
|||
|
|
|
|
|
16 |
- 2 4 |
4 |
|
0 |
|
192 |
0 |
|
22 |
|
|
EJ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
0 |
Систему линейных |
уравнений после подстановки длин |
и жесткостей КЭ |
||||||||||
и приведения подобных членов записывают |
в |
виде |
таблицы |
(табл. 5). Реш е |
||||||||
нием |
системы 'линейны х |
уравнений |
(табл. |
5) |
является |
вектор перемещений |
||||||
узлов |
расчетной схемы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Фх = |
Оfi7 |
|
|
|
1 Я4 |
•м2;w3 = |
141 |
кН |
•м3; |
||
|
— -j?j- кН |
•м2; ф2 = |
- g j- кН |
- g j |
||||||||
|
<р8 = |
9qq |
|
|
ш4 = |
9 17 |
КН •м2; |
0 34 |
|
|
||
|
ig j. кН •мг; |
|
ф4-=~ |
f кН . м2; |
||||||||
|
|
w6 = |
1.16 |
„ |
, |
ф6 = |
|
3,17 |
„ |
|
а |
|
|
|
- g j |
кН |
•м3; |
—- g j ,кп •м2. |
|
|
|||||