Метод конечных элементов
..pdfКЭ (см. гл. 7). В этом случае при относительно тонких слоях при ходим к системам уравнений высокого порядка.
Построим двумерный КЭ, применение которого позволит свести решение задачи к решению системы уравнений со сравнительно небольшим числом неизвестных. При этом используем уточненную модель напряженно-деформированного состояния, которая учиты вает деформации поперечного сдвига. Примем следующие допуще
ния и гипотезы: |
р = |
|
1) |
внешняя нагрузка |
|
= р |
(х, у) направлена по |
нор |
мали 2 к плоскости пластины хОу (рис. 57);
2)слои работают совместно — без отрыва и проскальзывания;
3)материал каждого слоя подчиняется закону Гука в фор
ме (6.33), т. е. okz = 0; |
|
|
|
|
|
|
||
4) |
нормальные перемещения |
|
|
|
|
|||
постоянны |
по толщине пакета |
|
|
|
|
|||
слоев: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У, г) = w(x, у)\ |
|
|
|
|
|
||
5) |
тангенциальные |
переме |
|
|
Ри с. |
57 |
||
щения |
координатной |
поверх |
|
и (х, у) |
|
v (х, у) — 0; |
||
ности |
z =; 0 |
пренебрежимо |
малы: |
|
===0, |
|||
6) приняты во внимание деформации поперечного сдвига: |
||||||||
|
|
yk = |
Ы db (г) . |
k = п |
(г) |
(6.34) |
||
|
|
'** |
дх |
dz * |
У2' |
ду |
dz |
|
|
|
|
||||||
Эти выражения аналогичны соответствующему выражению (6.9) для балки и содержат искомую функцию %= %(х , у) — функцию сдвига, а также заданную функцию нормали г:
|
|
г |
г |
|
|
|
Ь (г) = |
I0 W‘ |
(—5,1EkZ dz) dz■ |
(6,35) |
|
Выражение (6.35) |
для |
(г) установлено в |
классической |
теории, |
|
основанной на гипотезах Кирхгофа, и совпадает с (6.12) для |
балки, |
||||
в котором bk = 1. |
В (6.35) 6i — расстояние, |
определяющее поло |
|||
жение координатной поверхности 2 = 0, для которого справедлива формула (6.7) при bk = 1.
Принятые гипотезы приводят к таким соотношениям напряжен* * но-деформированного состояния для 6-го слоя пластины:
тангенциальные перемещения
“к(х, У, г) = — - J r z + "§* ^*(z); vk(x, у > z) = - - ^ - z + - ^ ^ ( z ) ;
i l l
компоненты деформаций в плоскостях, параллельных хОу,
k |
G . d) |
|
_ . с . дх < % ( * ) |
|
|
*z |
к дх |
dz |
’ уг - k ду |
dz |
‘ |
Таким образом, компоненты напряженно-деформированного состоя ния выражены через, искомые функции .координатной поверхности w = w (х,.у) и х = х (*> У)- Тем самым трехмерная задача сведена кдвумерной.
Как и для многослойной балки, введем обобщенное линейное перемещение г"
|
|
w = сг% |
|
(6.39) |
— аналог прогиба — сдвиговый прогиб. Здесь и далее |
||||
|
*Т — D12/Dn ‘, |
с2 — D2 2 /D1 2 ', |
^/-5 — Drs/Drs; |
|
П |
a k |
|
П |
a k |
= E |
f 7 z r r FrkF skdr, DrS= |
Y |
( l £ * 7 FfitFtkdz-, (6.40) |
|
h=l |
ak_ t |
|
k = l |
ak_ t |
|
r, s = 1, |
2; F lk =* 2; |
F2k = —ф*(г). |
|
Векторы деформаций (e) и напряжений (а) запишем в сле дующем виде:
Г*х |
|
\ м х |
■> |
|
*ху |
|
ъ |
1 |
|
|
м ху |
|
||
X , |
>; |
м х |
(6.41) |
|
Ку |
1®-} 1 ж , |
|||
^усу |
|
|
|
|
ф * |
|
Я * |
|
|
<Ру |
J |
. Qy |
1 |
|
где ях = |
|
|
|
|
|
d2w |
|
|
d2w |
|
- |
|
g. |
||
|
д х * |
; * и |
|
|
|
= - |
-Щ $ - |
кривизны изгиба |
|||||||
в направлениях ху у |
и смешанная кривизна |
соответственно; ях |
|||||||||||||
|
d2w |
|
~ |
|
|
d2w |
|
~~ |
д г и> |
— |
кривизны |
сдвига — |
|||
"Лёг |
’ |
%У = |
|
д у Т |
* |
%ХУ = |
д х д у |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
аналоги |
кривизны |
изгиба; |
ер* = |
, |
еру = |
— |
сдвиговые |
углы |
|||||||
поворота — аналоги углов поворота нормали ер* = |
dw и epff = |
dw ; |
|||||||||||||
|
е, |
|
|
|
|
ь , |
|
|
|
5, |
|
|
|
|
|
М* *= |
\ о* 2 |
dz; |
Му = |
1" |
ahzdz\ Мху= |
j |
т* z dz — изгибающие и |
||||||||
|
- 5 , |
|
|
|
|
- о , |
|
|
|
- г , |
|
|
|
|
|
крутящий моменты |
(интегральные |
характеристики напряжений); |
|||||||||||||
|
5, |
|
|
|
|
|
|
о,- |
|
|
' |
5а |
|
|
|
Л?* ащ J |
|
|
|
|
УЙ„ = |
J okyqk (z) dz- |
Мху = |
J -ixy%(z) d z - |
|||||||
|
— 5t |
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
“ 5 * |
|
_ |
обобщенные |
моменты |
высшего |
порядка — сдвиговые-, |
Q* = |
|||||||||||
р |
|
d tp * ( г ) |
dz’ |
_ |
=* |
р |
t d tp * ( Z) |
|
„ |
„ |
|
|
|
||
=* J rx z~d T |
|
\ |
T*2—— |
dz — обобщенные поперечные |
|||||||||||
—Ч |
|
|
|
|
|
'—?‘i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
силы высшего |
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Компоненты векторов напряжений и деформаций связаны сле |
|||||||||||||||
дующими соотношениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
М х = |
D n [{ях + Ц ц Х ^ ) + |
( * * + |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Му =■ Du ККу "Ь Hiix*) Ч- {ку + |
Ий2^)1» |
|
|
|||||||||
|
|
_ |
МХу == 2Du [(1 |
MX'li)xtу Ч " (1 |
|
М12) x |
^i/]> |
|
|||||||
|
|
•Л^д: ^ |
Du |
(ях Ч- Р-12ку) Ч~ ^2 (?^д? Ч~ |
|
|
{6.42) |
||||||||
|
|
|
|
= |
Z?ix [Сх |
-(г И-хг^х) "Ь ^2 (^# Ч~ И22^х)1» |
|
||||||||
|
|
■^*1/ = |
2Z?xi [^i (1 — М-12) |
у Ч~ ^2 0 |
^22) ^*ху]> |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Q* ** ^пФх> Qi/ “ |
Оцфг/* |
|
|
|
||||||
С учетом выражений (6.41) получаем |
функционал |
полной по |
|||||||||||||
тенциальной энергии пластины: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
П e |
Т 1 И 7- [or] dQ — j* pw dQ = Y |
j |
M*x* + |
+ |
М*„и*у — |
||||||||||
— ~ |
(M*x* + |
М„хв + |
Мхукху) + -^.(Q*q>* + |
Q,<p,)] dS — |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
— §§pw dS; |
|
|
|
|
(6.43) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
Отнесем область S к части пластины — континиуму, харак теристики которого по толщине заданы и обобщены рассмотренной
здесь моделью. Эту часть будем считать областью КЭ. Тогда при ходим к схеме расчета, дискретной в плоскости пластины и конти нуальной по ее толщине,— дискретно-континуальной расчетной схеме.
§ 23Г Прямоугольный КЭ многослойной пластины
Отметим подобие группы слагаемых, содержащих кривизны изгиба х и сдвига к, между собой в функционале (6.43) и о соот ветствующей группой в функционале (5.4) для однородной пла стины, изгибаемой согласно гипотезам Кирхгофа. Отметим и ана
логию в выражении моментов М и М через кривизны, а также кри визн х и х через независимые перемещения ши й. Все эти анало гии дают возможность независимой, но подобной, аппроксимации перемещений w и w по области КЭ с использованием известных 'аппроксимирующих функций для КЭ однородной пластины (см. гл. 5).
Построим прямоугольный КЭ, подобный элементу Клафа. Для аппроксимации перемещений w (х , у) и w (х, у) примем одинако вые полиномы (5.5). Количество членов полинома обусловливает наличие в узле КЭ трех степеней свободы, соответствующих каж дому из перемещений w и w. Таким образом, в п-м узле КЭ назна чим 2 независимые группы степеней свободы — изгибную и сдви говую, которые представим векторами перемещений:
(6.44)
Каждую из этих групп можно охарактеризовать рис. 45. Общее число степеней свободы в узле — 6, а для КЭ — 24. Аппроксими
рующие |
функции, которые выражают перемещения w(x, у) и |
W (х , у ) |
в явном виде через узловые перемещения (степени свободы), |
одинаковы и имеют вид (5.7). |
|
Коэффициенты матрицы жесткости определяются из общего вы ражения
которое с учетом соотношений (6.41) принимает‘вид
« ья
Ь ч — i 1 |
+ М у пу!уп + М х у пк ’хуп |
о о
где а и b — размеры КЭ. |
При этом индексами |
i, / = 1 -f- 12 |
ну |
|
меруют степени |
свободы, |
отвечающие векторам |
{дп} ( п = 1-*-4), |
|
а индексами i, |
} — 13 -i- 24— степени свободы, |
отвечающие |
век |
|
торам {qn}. |
|
|
|
|
Определим, |
например, |
коэффициент £15.15, т. |
е. узловой |
мо |
мент МУ1 от угла поворота фй = 1. Аппроксимирующая функция, которая соответствует степени свободы ср^,, согласно (5.15), имеет вид
откуда о учетом выражений (6.42) для компонентов векторов (6.41) получаем
|
|
|
|
= |
хх =0-, |
|
|
|
|
хУ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ух = |
— |
|
|
i _ 4 * |
, |
|
|
|
|
|
1 |
Ь “Г ь2 |
|
|||
|
Мх = |
|
Му ^ |
D\\Xy\ МХу = 2Z?n (1 |
Р12) |
|
||
AljP |
■^11^’2И'22^,Г/» |
== |
D \\С%Ху1 |
N i Xy |
2 ^ 2 ^ 1 1 (1 |
^ 22) ^'Ху |
||
|
|
|
Qx = |
О ц ФQy=х ; Dutyy. |
|
|
|
|
|
Тогда, согласно |
(6.45), |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
д. ъ |
|
|
|
|
|
|
|
/^15,16 |
с |
(My&y |
МХуХХу |
0.хУх |
Qyyy)dxdy |
|
|
|
|
1 о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
-^$М-М)(1М)Г+ |
|
|||||
|
+ 2 c , ( l - f e ) [ - i - ( l - ¥ + ^ ) ] a + [ - f |
( l - f ) 7 |
+ |
|||||
“ Т Г (с> Т [ т S« + 1? <1 — I1» )] + Ь,аЬ + 1 ® ) -
Матрицу жесткости сокращенно можно представить в виде
Щ = Iki) |
[А,] |
[£2] |
[A .I ’ |
Здесь подматрица [£х] отвечает состоянию изгиба и совпадает с мат рицей жесткости однородной пластины (табл. 9), в элементах кото рой следует принять D = £>1Х, р = рц. Подматрица [£2], которая
определяет взаимовлияние состояний изгиба и сдвига, имеет та кой же вид, но ц = 1Ца. Подматрица [k3] отвечает состоянию сдвига. Для нее вместо коэффициентов ktj (табл. 9) имеем
* |
* = |
Т Г ( Й + “ " ) |
{ё = |
1 + |
12> |
8 ^ / + 1 2 >’ |
( 6 -4 6 ) |
где для |
k (i |
принимаем D = |
Dn , |
р = |
р22, а слагаемые ац |
такие: |
|
Система уравнений равновесия
(6.47)
содержит векторы узловых перемещений и сил (реакций)
мт
Ы |
1R,) |
|
|
{Яз\ |
|
|
|
Ы |
|
(6.48) |
|
{Яг\ ; {* ) = |
(0) |
||
|
|||
{Яг) |
10} |
|
|
|
(0) |
|
ш10}
Приведение местной нагрузки к узловой рассмотрено в § 16. Различные случаи закрепления контура можно моделировать, задавая определенные условия для узловых перемещений. Выде лим внешние связи, которые моделируются условиями для пере
мещений {qn} изгибной группы (край х = const): |
|
||||
1) |
жесткая заделка: w = 0; фх = |
0; фу = |
0; |
|
|
2) |
шарнирное |
опирание: w = 0; |
(рхф Ь) |
ф,, = |
0;- |
3) |
свободный |
край: тф0\ ф^^О; ф^т^О. |
_ |
||
Условия для перемещений сдвиговой группы (<7„) позволяют моделировать условия на торцах плиты (внутренние связи):
1) |
|
абсолютно |
жесткая |
диафрагма: w — 0; фя = 0; ф4,= 0; |
|||
2) |
|
диафрагма, |
жесткая |
в |
плоскости |
торца и гибкая из плос |
|
кости: |
оу= 0 ; <рх ф 0 ; |
ф„ = |
0; |
|
|||
3) |
|
диафрагма, |
гибкая в плоскости торца и абсолютно жесткая |
||||
из плоскости: т Ф 0; |
Ф * = 0 ; ф^^ О ; |
_ |
|||||
4) |
торец свободен |
от связей: т ф 0, |
фя=/=0, ф^^О. |
||||
Решив систему (6.47), определяем узловые перемещения и функ ции w (х, у), w (х, у). Затем, согласно соотношениям' § 22, можно найти все компоненты напряженно-деформированного сбстояния
влюбой точке А (х, у, г) пластины.
§24. Примеры расчета многослойных балок
ипластин
Пример 13. Рассмотрим балку на двух |
опорах, |
нагруж енную |
силой |
по |
|||||||||||||||||
средине |
(рис. |
58). |
Строение балки |
по |
высоте |
сечения |
оговорим |
в дальней |
|||||||||||||
шем. Определить прогиб и нормальные напряжения в сечении под силой. |
|
||||||||||||||||||||
Разделим |
балку |
на'два |
КЭ. И спользуя |
симметрию, |
запишем следующие- |
||||||||||||||||
условия |
на |
концах |
КЭ: |
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
при х =» 0 |
и х = |
21 перемещения до* = Wi = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
при х = |
I углы |
поворота Фа == фа =* |
|
что |
направлена |
она |
так |
же, |
как |
||||||||||||
У зловая |
сила |
Р2 = |
Р /2 |
(предполагаем , |
|||||||||||||||||
и ось z). Векторы |
(6 .30) для узловых перемещений |
и сил принимают вид |
|
||||||||||||||||||
|
Ф1 |
|
|
|
|
|
' 0 |
' |
/ |
1 |
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
= |
w2 |
|
|
|
|
|
Р /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
|
|
; |
{R} = |
|
0 |
|
/ |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
Ф1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
Щ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
^ |
|
i-a/z |
|
|
l-a/2 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7 |
|
|
|||||||
| уравнений |
(6 .29) |
|
>удет такой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 m |
6 |
|
|
. |
4 |
- |
|
6 - |
|
0; |
|
|
|
|
|
Рис. |
58 |
|
|
|
|
-7 Ф1 — |
ja ш2 + |
— |
ф! — |
Ja-tti2= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
6 |
,1 2 |
|
6 - |
, |
12- |
|
Р |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
/2 |
Ф1 + |
7Fwi ~~ 71 Ф1 + |
l a w» = |
2Dn ; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
m |
|
6 |
|
. 1 |
(4сг |
, 2Л |
- |
|
1' / 6с2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
ТФ 1 - 7 2 ^ |
|
|
|
+ т з ] ф х - - ( у + f o ) ^ = 0: |
|
|
|
|||||||||||||
- |
/2 |
|
|
I |
1 ^ |
|
|
1 /б с 2 . |
1 Л - |
(, 12са1 |
, 6 |
) |
- |
л |
|
|
|||||
Ф1 + |
|
|
|
|
^ |
+ То] Ф1 + |
— у-р- |
+ jjj-J |
= °, |
|
|
|
|||||||||
И спользуя |
соотнош ениес\ ^ |
г2 |
(§ |
20), |
решаем |
систем у, |
С |
учетом того что |
||||||||||||||||
I = |
а!2, |
получаем |
такие |
результаты : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Ф1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.49) |
|||
Для |
нормальных |
напряжений |
в |
сечении |
под |
силой |
из выражений |
(6 .1 4 ), |
(6 .19), |
|||||||||||||||
(6 .2 5) |
и |
(6 .49) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
k |
Ра |
г. |
( l + |
, 6 a [ 1 + ^ i 2 ] ) . |
|
|
|
|
(6.501 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 " Т Е Г * * ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Д л я однородной |
изотропной балки сечениемb X |
ft при р, = |
0 ,3 из выражений |
|||||||||||||||||||||
(6 .1 8 ), |
(6 .2 2 ), |
(6 .4 9 ), |
(6 .50) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
С - О -£ /2 . 6 ; |
|
.,-0,26/.*; |
|
|
|
~Р а2 |
(l + |
1.387 5J) ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
_ |
Ра3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"шах — 48E J, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь множители в скобках учитывают поправку |
|
за счет |
поперечного сдвига |
|||||||||||||||||||||
к расчёту, |
основанному |
|
на |
гипотезе |
плоских сечений. В табл. 14 приведены |
|||||||||||||||||||
результаты расчета при различных значенияха |
и |
сравнение |
их |
с |
вычисл |
|||||||||||||||||||
ниями по формуле С* П. Тимошенко |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ра8 |
1 |
+ |
2 ,8 5 - |
- |
0,84 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 EJ, |
аз |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
Таблица 14 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hf CMЕкМПа А |
|
|
|
|
|
|
48E J U |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
а |
|
|
“'max |
РсР |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,045 TW 3 L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1,02 |
90 |
0,22 |
|
|
МКЭ |
С. П. Тимо |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шенко |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,31 |
|
1,28 |
|
|||
|
Пример 14. Для трехслойной балки, сече |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
1,17 |
|
1,16 |
|
|||||||||||||||||
ние которой |
показано |
на рис. 59, а схема отве |
|
5 |
|
1,11 |
|
1,11 |
|
|||||||||||||||
чает рис. 58, найти наибольшие прогибы и нор |
|
8 |
|
1,04 |
|
|
1,04 |
|||||||||||||||||
мальные напряжения |
приа = |
18ft, |
f t = |
1,78ft, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Р = |
75Н . |
|
|
(6.18) |
|
и |
(6.12) |
|
имеем |
Dn = |
|
387 |
кН |
•сгм2;== 4 7,8 |
см2; |
|||||||||
|
По |
|
формулам |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
J |
= |
— |
23,28 |
см3. |
Подставив |
эти |
значения |
в |
|
(6.49) |
и |
(6 .5 0), |
получим |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Р а 8 |
= 0 ,0 7 3 |
см; |
а |
1,23 |
PExah |
4 6 ,2 |
МПа. |
|
|
|||||||||
|
“'шах = 2(27 4 8 £ Г 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 D, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Д ля |
рассмотренной трехслойной |
балки прогиб |
в 2,2 7 |
раза, |
а |
нормальное |
|||||||||||||||||
напряжение в 1,23 раза больше, чем дает |
расчет на основе гипотезы |
плоских |
||||||||||||||||||||||
сечений. Д ля |
сравнения |
приведем экспериментальное |
значение |
прогиба дан |
||||||||||||||||||||
ной |
балки: |
wmax |
= 0 ,0 7 0 |
см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример |
15. Т рехсл ойная пластина |
с трансверсально-изотропны м |
запол |
||||||||||||||||||||
нителем, шарнирно закрепленная |
по |
контуру, |
находится |
под |
равномерн |
|||||||||||||||||||
распределенной |
нагрузкойр = |
10 Н /см2. |
Даны: |
схема |
в плане |
(рис. |
60, а), |
||||||||||
и сечение, (рис. 60,б). Найти наибольший |
прогиб. |
симметрию, |
запишем, |
||||||||||||||
П ластина |
расчленена |
на |
четыре |
КЭ. |
И спользуя |
||||||||||||
условия |
для |
|
узловых перемещений: |
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|||||
|
при х *= 0, |
у = |
а |
перемещения Wi = |
|
cp |
= w 1= |
<р^ = |
0; |
|
|
||||||
|
при |
х = |
а , у = |
а |
перемещения срх> |
= |
ф^2 = ф*а = ф^а = 0; |
|
|
||||||||
|
при |
х = |
а; |
г/'=2а |
перемещения w3 = |
ф*а = w3 = ф^ = |
0; |
|
|
||||||||
при |
* = |
0, у —2а |
|
|
4* |
|
|
|
|
|
_ |
_ |
_ |
= 0. |
|
||
перемещения w4 = |
ф^ = (ру4 = w4 = |
ф^ == ф^ |
|
||||||||||||||
1 |
2 |
<5 tuuriii |
К hkcM екмпа |
GkМПа Мк |
|||
1 |
0,1 . 6,8-Ю* |
26150 |
0,3 |
||||
4 |
3 |
|
2 |
1,5 |
4800 |
380 |
0,3 |
2а*27,бвсм |
|
|
|
|
|
|
|
уа
|
Рис. |
60 |
|
|
У зловая |
нагрузка включает в себя моменты краевых узлов |
М= |
—= |
|
= 1,105 |
кН • см и сосредоточенную |
силуR2 = 0 ,4 7 9 кН , |
Векторы |
(6 .4 8) |
узловы х |
перемещений и сил принимают вид |
|
|
|
|
г ф * / |
|
|
|
|
и>г |
р* |
|
|
ч Wbl______
w2
. V
Коэффициенты матрицы ж есткостиkii
*- о? |
м», |
г* |
|
II |
о > |
. |
|
|
0 |
. 0 ,
найдены по табл. 9 и по формуле
(6 .4 6 ). |
При |
этом учтено, что |
П О окН |
• см; |
C i= 17,44с2см2;=17,48 см2; |
||
M-ff = |
|if2 = |
<22И =* 0 ,3 . |
Матрица |
ж есткости |
системы приведена |
в табл. 15. |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 15 |
|
1681,24 |
— 171,03 |
0 |
1681,24 |
— 171.03 |
0 |
||
|
|
60,98 |
171,03 |
- 1 7 1 ,0 3 |
60,98 |
171,03 |
|
|
|
|
1681.24 |
|
0 |
171,03 |
1681,24 |
Симметрично |
|
2340,4 |
— 173,49 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
116,67 |
173,49 |
|
|
|
|
|
|
|
2340,4 |
. В |
результате реш ения |
системы (6*47) получаем, что прогиб |
в узле2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
“ ’шах ” °>3 5 6 мм- |
|
|
|
|
|
|
Расчет |
был |
проведен такж е при числе КЭ вдоль каждой стороны, |
равном |
|||||||||
4 ; 6; |
8 . В табл. |
16 дано сравнение результатов М КЭ с данными |
аналитических |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
Прогиб, |
мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
МКЭ при сетке |
|
Аналитическое решение |
|
||||||
2 X 2 |
|
4 X 4 |
|
6 x 6 |
8 X 8 |
по гипоте |
по Рейсснепо |
техниче |
||||
|
|
зам § 2 2 |
|
РУ |
ской теории |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0,356 |
|
0,319 |
|
0, 311 |
0 ,3 0 8 |
0 ,3 0 5 ' |
|
0,316 |
|
0 ,2 16 |
||
решений |
на основе: |
гипотез, описанны х в § 2 2, |
теории |
Р ейсснера |
(гипотеза |
|||||||
прямой) |
и |
по технической |
теории (гипотеза прямой нормали). |
Н аблю дается |
||||||||
сводимость |
результатов численного |
решения, |
к |
аналитическому. |
Техниче |
|||||||
ская теори я к расчету рассмотренной |
пластины |
неприменима. |
|
|
||||||||
Отметим некоторые общие и частные случаи использования |
ко |
|||||||||||
нечных элементов, |
построенных для многослойных балок |
и |
пла |
|||||||||
стин. Наиболее общим следует считать такой случай, когда балка по длине или пластина в плане имеют области с различным строе нием. Такие области можно выделять дискретной аппроксимацией переменных характеристик. Тогда каждой области будут отвечать КЭ, для которых матрица жесткости содержит свои (различные для выделенных частей) параметры Dц, ci, сл и т. д. В этом случае, однако, все части балки или пластины должны быть объединены общей нейтральной поверхностью 2 = 0. Такое условие выполня ется, например, при симметричном вдоль оси г строении.
Частный случай применения рассмотренных КЭ — для высо ких однородных балок (пример 13) или пластин средней толщины, на напряженно-деформированное состояние которых влияют де формации поперечного сдвига.
Если в функционалах (6.23), (6.43) и формулах коэффициентов матрицы жесткости (6.27), (6.45) считать q = оо (это имеет место,
когда сдвиг.не учитывают: G*-»- оо), то получаются соответственно матрицы жесткости технической теории изгиба балок и пластин.