Метод конечных элементов

/СХ2 постоянны, т. е. оболочка имеет геометрию 2-го порядка. Если геометрия оболочки более высокого порядка и кривизны Ki, /<о> /Си представляют собой, функции от х и //, то, вычисляя интеграл, с этими величинами нужно обращаться не как с константами, а как

сфункциями.

§30. Использование плоских КЭ для расчета оболочки

В§ 29 рассмотрен криволинейный КЭ оболочки, поверхность которого в принципе соответствует поверхности всей рассматривае­ мой в каждом конкретном случае оболочки. Построенная по мето­ дике этого параграфа матрица жесткости имеет большой недоста­ ток — наличие жестких-смещений. Это означает, что если придать такому КЭ перемещения, моделирующие его перенос в простран­ стве (например, wl = w2 = w3 = w4 — (, а все остальные степени свободы равны нулю), то в нем возникнут некоторые напряжения, что противоречит физическому смыслу. Появление .этого эффекта (который, кстати, может возникнуть при неудачном Еыборе ап­ проксимирующих функций и для более простых элементов).суще­ ственно снижает точность расчета, а иногда может привести и к от­ сутствию сходимости решения. Устранение этого эффекта может быть проведено за счет определенной обработки полученной матри­ цы жесткости, что приводит к нарушению симметрии матрицы жест­ кости, совместности элементов, полноты аппроксимирующих функ­ ций. Таким образом, проблема построения КЭдля оболочки двоякой кривизны очень сложна и до сих пор не имеет приемлемого решения.

Сточки зрения физического смысла для расчета оболочек двоя­ кой кривизны целесообразно использовать плоские КЭ. В этом случае КЭ оболочки можно получить простой комбинацией конеч­ ных элементов для плоского напряженного состояния и для изгиба пластины с удовлетворением всех необходимых требований. Гео­

сходимость МКЭ в этом случае будет обеспечена. Погрешность же, обусловленная тем, что в пределах одного КЭ не учитываются осо­ бенности геометрии оболочки (так, мембранные и изгибные группы усилий и деформаций не зависят друг от друга), по-видимому, соиз­ мерима с погрешностями, которые вносятся при учете геометрии оболочки в масштабе одного КЭ эффектом жесткого смещения, а при его устранении нарушением других требований.

Назначая расчетную схему оболочки, нужно следить за тем, чтобы плоские КЭ вписывались в геометрию оболочки. Поэтому для развертывающихся на плоскость поверхностей (цилиндрические по­ верхности) можно использовать прямоугольные КЭ, а при нераз-

.вертывающихся поверхностях (поверхности двоякой кривизны) — треугольные КЭ.

вать КЭ плоской оболочки, расчетные узлы которых расположить в уровне срединной поверхности плиты (рис. 64, в), а вместо КЭ балоч­ ного стержня использовать КЭ стержня, работающего не только на изгиб и кручение, но и на продольные деформации. Причем такой стержень на абсолютно жестких вставках, ортогональных к оси стержня и имеющих длину ус<подвесить к расчетным узлам, распо­ ложенным на срединной поверхности плиты. В этом случае при до­ статочно густом дроблении плиты на КЭ между ребрами (рис. 65) эффект включения плиты на продольные деформации вблизи ребер (т. е. эффект перемещения нейтральной оси изгиба по области си-

Рис. 66

стемы) будет учитываться. Такой прием требует значительного увеличения количества степеней свободы, так как помимо увеличе­ ния густоты сетки увеличивается количество степеней свобод в узле — до 5 (3 линейных перемещения и 2 угла поворота) по срав­

введением нового КЭ(рис. 66). (На рис. 64 такой КЭ в общей схеме заштрихован). Однако для построения матрицы жесткости такого КЭ необходимо заранее назначить функцию местоположения нейт­ ральной поверхности этого КЭ (на рис. 66 ее примерное положение обозначено жирной линией). Конечно, неправильное ее назначение может привестщк значительным погрешностям, однако в этом случае могут помочь опытные данные и данные численных экспериментов.

При расчете плит, подпертых структурами (пространственными шпренгелями), можно рекомендовать приведенный уже прием, когда для плиты используются КЭ плоской оболочки, а элементы структур (пространственных шпренгелей) моделируются шарнир­ ными стержнями.

§ 32. Пластина на упругом основании

При построении КЗ, моделирующих работу плиты на упругом основании, используем методику расчета фундамента на упругом основании с учетом сжимающих и сдвигающих усилий в грунте. Такая методика дает возможность учесть.работу грунта, лежащего за пределами конструкции. Потенциальная энергия системы в этом случае

с конструкцией; П3 — потенциальная энергия упругого основания, лежащего за пределами конструкции.

где схи с2 — жесткости основания соответственно на сжатие и сдвиг; i — 2; 3; wt — (х9у) — функции упругой осадки основания по области упругого основания Q;.

Рассмотрим применение МКЭ для расчета плит и ленточных фундаментов в соответствии с приведенными предпосылками. Рас­ чет прямоугольной плиты можно выполнить, имея 3 типа КЭ (рис. 67). Первый тип — прямоугольный КЭ, моделирующий работу собственно конструкции и упругого основания, контактирующего

Первый член выражения (9.3) включает в себя потенциальную энер­ гию элемента плиты:

Однако этот полином не удовлетворяет условиям совместности по перемещениям на линии соединения 1-го и 2-го типов КЭ плиты на упругом основании. Д л я обеспечения совместности в каждом узле принимаем 2 степени свободы, а в качестве аппроксимирующего полинома берем выражение

Матрица жесткости, основанная на аппроксимации полиномом (9.7), приведена в табл. 20.