Метод конечных элементов

ричную и ленточную структуры уравнений, обусловленные при­ менением* вариационных принципов и локально определенных координатных функций, что и присуще МКЭ.

Много работ посвящено уменьшению ширины ленты, хотя при нумерации узлов более объективным критерием является миними­ зация вычислений, а не ширины ленты. В этом отношении нуме­ рация, приводящая к системе уравнений вида «небоскреба» (рис.75, а), может оказаться более оптимальной, чем минимальная ширина ленты (рис. 75, б).

Рис. 75

Много модификаций связано с использованием блочной схемы Гаусса. Часть усовершенствований ориентирована непосредствен­ но на тот или иной тип ЭВМ. К ним относится] прием обхода нулей — если в /-м исключаемом уравнении некоторые коэффициенты рав­ ны нулю, то исключение /-го неизвестного из уравнения с номе­ ром, соответствующим нулевым коэффициентам, не происходит. Поскольку ленточная матрица канонических уравнений, как пра­ вило, содержит много нулевых членов внутри ленты, то даже не­ смотря на то что в процессе прямого хода по Гауссу часть из них заполняется, этот прием оказывается достаточно эффективным и в среднем сокращает время решения системы уравнений на 10— 15%.

Другой прием заключается в минимизации количества обраще­ ний к внешней памяти ЭВМ. Это вызвано тем, что время обращения к внешней памяти даже для магнитных барабанов и дисков на 1—2 порядка больше средней продолжительности арифметической опе­ рации в оперативной памяти" ЭВМ (ОЗУ). Время же обращения

к магнитным лентам вообще несоизмеримо с быстродействием ОЗУ

и(особенно для ЭВМ «Минск-32») может длиться несколько минут. Кроме того, большая часть сбойных ситуаций, как правило, воз­ никает именно при обращении к внешним запоминающим устрой­ ствам. Таким образом, минимизация количества обращений к внеш­ ней памяти не только сокращает время решения систем линейных

уравнений, но и улучшает режим работы ЭВМ. Результаты показы­ вают, что количество обращений к внешней памяти можно снизить в несколько раз. К тому же возникает возможность решать систему, когда в ОЗУ помещается хотя бы 2 уравнения, что существенно сни­ жает ограничение на ширину ленты. Так, вычислительные ком­ плексы, описанные далее, могут рассчитывать системы с шириной ленты до 1700.

понентов напряженно-деформированного состояния в этой точке. Это не должно создавать иллюзии, что решение задачи по МКЭ получается в аналитическом виде; основным результатом решения задачи являются дискретные значения узловых перемещений (<7}г или {q}r,c и узловых усилий {R}r. Формулы же (10.8) и (10.9) следует рассматривать как своеобразные интерполяционные выра­ жения. Причем закон интерполяции обусловлен матрицей аппрок­ симирующих функций [и\п т. е. принят на самых ранних этапах расчета,

§ 39. Применение суперэлементов для расчета сложных систем

Если рассчитываемая система слишком громоздка, то иногда оказывается удобным организовать так называемый рекурсивный расчете расчленением всей системы на подсистемы (суперэлементы).

Этот прием может оказаться особенно удачным, когда расчленение на подсистемы происходит естественно, например: в здании из объемных блоков (объемный блок — суперэлемент) или диафрагме высотного здания (рис. 76), собирающейся из отдельных панелей (панель — суперэлемент). Расчет такой системы можно выполнить обычным способом: нанести необходимую расчетную сетку (рис. 76) и рассчитать всю систему целиком. Однако большое количество расчетных узлов, КЭ и неизвестных перемещений может затруд­ нить решение задачи.

Рис. 77

Используя суперэлементы, можно провести расчет поэтапно, существенно снизив на каждом этапе размерность задачи: сначала построить матрицу жесткости для всех типов суперэлементов (в данном, случае для двух типов — рис. 77), затем рассчитать си­ стему, состоящую из суперэлементов (в данном случае система состоит из шести суперэлементов с двенадцатью суперузлами). В результате определятся перемещения суперузлов. 'На заключи­ тельном этапе-рассчитать каждый из шести суперэлементов на за­ данные перемещения суперузлов.

Последовательность расчета системы, набранной из суперэле­ ментов, обычная, с единственным отличием — матрица жесткости и узловые нагрузки определяются в результате расчета. Поскольку суперэлемент сам по себе представляет достаточно сложную систему, то построение матрицы аппроксимирующих функций [и]с (в отли­ чие от [и], для КЭ) осуществляется так: при помощи численного расчета суперэлемента на единичные смещения суперузлов строится матрица влияния перемещений внутренних узлов на единичные смещения суперузлов. Имея такую матрицу влияния и матрицу аппроксимирующих функций для КЭ, входящих в состав суперэле­ мента, можно построить [и]с:

Другая процедура обработки суперэлементов основана на том, что в физическом смысле исключение /-го неизвестного по Гауссу соответствует освобождению от /-й связи. Это приводит к такой схеме построения матрицы жесткости и сведения нагрузки к узло­ вой: для i-го суперэлемента перенумеровываются все внутренние узлы (количество степеней свободы, им соответствующее, обо­ значим /г,), а затем — суперэлементы (количество степеней свободы, соответствующее суперузлам, обозначим ni0); составляются канони­ ческие уравнения для всех щ + ni0 степеней свободы (рис. 78); исключаются nt неизвестные; оставшиеся части матрицы и столб­ цов свободных членов (на рис. 78 они заштрихованы) и образуют искомые матрицы жесткости и столбцы узловых нагрузок.

С точки зрения последней процедуры метод суперэлементнойрекурсии можно трактовать как своеобразный блочный метод Гауо са. Действительно, пусть исследуемый объект расчленен на s су­ перэлементов (рис. 79, а)у которые объединяются в общую систему при помощи п0 суперузлов. Если сначала пронумеровать все п{ внутренние узлы 1-го суперэлемента, затем — все п2 внутренние узлы 2-го суперэлемента и т. д., а потом пронумеровать суперузлы, то система уравнений примет вид, показанный на рис. 79, б.

В такой постановке задачу можно решить двояко: либо соста­ вить полную систему уравнений и решить ее, либо составлять и ре­ шать систему по частям. Во втором способе нужно сначала составить уравнение для 1-го суперэлемента, т. ё. получить Аг\Л1о; Q1 и час­ тично Л0; Q0, и сделать исключение пг неизвестных. Затем проде­ лать то же для остальных суперэлементов. После этого, сложив от­ дельные части А0 и Q0, можно решать полученные уравнения, опре­ деляя перемещения суперузлов, и сделать обратный ход для всей системы.

Если суперэлементы различны, то оба способа идентичны как в отношении количества вычислений, так и в отношении точности

Рис. 79

счета. Если же имеются одинаковые суперэлементы, то количество* вычислений можно существенно сократить, так как, проделав вы­ числения для одного их типа, эти результаты можно использовать для суперэлементов того же типа, даже если относительно общей системы координат они ориентированы по-разному, т. е. эта про­ цедура типична для блочного метода Гаусса.

Суперэлементы в свою очередь можно расчленить на подсистемы (суперэлементы 2-го ранга), развивая этот процесс и организовав своеобразную рекурсию.

§ 40. Существующие вычислительные комплексы

Реализация МКЭ на ЭВМ представляется достаточно удобной, тем более что здесь во многом удается использовать богатей­ ший опыт реализации на ЭВМ методов строительной механики стержневых систем. Этим и объясняется наличие большого количе­ ства программ у нас в стране и за рубежом, основанных на реали­ зации МКЭ.

Условно все имеющиеся программы можно разделить на иссле­ довательские и промышленные. Характерной чертой первых явля­ ется их ориентация на решение узкого, иногда уникального класса

задач. Основными здесь считаются скорость создания.программы и быстрое проведение намеченного численного эксперимента, что, безусловно, идет в ущерб удобству пользования программой. Обре­

ченные работать только у авторов, без притока новых идей, привне­ сенных опытом широкой эксплуатации, эти программы, отслужив свое, быстро отмирают.

Промышленные программы, как правило, отбирают вместе с ти­ пом ЭВМ, на который они ориентированы. До сих пор успешно ■функционирует на ЭВМ «Минск-32» первая отечественная разра­ ботка «МКЭ». Несмотря на ограниченную библиотеку КЭ и ограни­ чения на порядок системы уравнений, эта удобная в пользовании программа обладает большой живучестью и широко распространена.

Отличительные черты промышленных программ: 1) ориентация па широко распространенный тип ЭВМ; 2) сильно развитая сервис­ ная часть, обеспечивающая диагностику ошибок, удобство подго­ товки исходных данных, чтения* результатов счета; работы за пуль­ том ЭВМ; 3) универсальность; 4) быстродействие; 5) модульная структура, обеспечивающая пополнение программы вновь разра­ ботанными блоками или замену устаревших модернизированными. Реализация всех этих принципов значительно увеличивает объем разработки, которую уже можно классифицировать как программ­ ный или вычислительный комплекс.

Основа промышленной разработки — безусловно, ее сервисная часть. Ее создание чрезвычайно трудоемко хотя бы потому, что здесь в основном реализуются логические операции, несвойствен­ ные цифровым ЭВМ. Трудности создания повышенного комфорта растут экспоненциально и часто недооцениваются. В связи с этим при разработке промышленных комплексов необходимо находить приемлемый компромисс между возможностями разработчиков и требованиями минимального сервиса. Противоречивы также тре­ бования универсальности и удобства в эксплуатации, проявляю­ щиеся в появлении дополнительных блоков, с требованиями быстро­ действия. Требования быстродействия в промышленных програм­ мах, как правило, удается удовлетворить за счет записи всей про­ граммы или отдельных, наиболее важных в смысле быстродействия блоков на языках низкого уровня (рабочиекоды, (автокод, язык символического кодирования, ассемблер) и использования спе­ цифических особенностей технического исполнения ЭВМ. Харак­ терна в этом отношении программа «Мираж», разработанная в 1971 г. для ЭВМ «Минск-22»..

«Мираж» реализует МКЭ в перемещениях. Библиотека проце­ дур по составлению матриц жесткости, вычислению напряжений и усилий допускает включение вновь разработанных процедур для различных типов КЭ. Это создает возможности расширять класс решаемых задач и повышать точность их решения. По программе «Мираж», можно рассчитать систему, состоящую из элементов раз­ личной мерности, например: пластину, подпертую ребрами, рамно­ связную систему и т. п. ■

Если система достаточно велика или состоит из набора однотип­ ных частей, программа предоставляет возможность рекурсивного расчета. Он заключается в раздельном расчете отдельных частей конструкции (суперэлементов) с последующим сбхединег ием их В общую систему. Указания по разделению системы на суперэле­ менты приводят в исходных данных. Дальнейшая организация ре­ курсивного расчета проводится автоматически,

Опыт эксплуатации программы показал, что использование су­ перэлементов сокращает объем исходной информации, приводит к более удобному получению результатов счета, сокращает время счета и, что наиболее важно, увеличивает размеры рассматривае­ мых систем. Так, для нерасчлененной системы накладывается ог­ раничение на порядок и ширину ленты системы уравнений (п ^

3500, h ^ 1700). При расчленении же системы на суперэлементы эти ограничения должны соблюдаться только для отдельного эле­ мента .

Исходной информацией служат: данные о структуре системы; номера процедур, характеризующие типы КЭ; жесткостные харак­ теристики; координаты узлов системы; граничные условия; места приложения и величины нагрузок. Координаты' узлов-и ориента­ ция нагрузок могут задаваться как в декартовой, таки в цилиндри­ ческой системах отсчета.

Исходная информация вводится в машину и тотчас же в удобном для чтения виде выдается на печать. Кроме того, перед началом счета пользователь машины получает информацию о прогнозируе­ мом времени решения задачи, необходимом количестве зон рабо­ чих магнитных лент и о наличии формальных ошибок в исходных данных. Если формальные ошибки есть, задача на счет не выхо­ дит .

В программе «Мираж» реализована традиционная схема метода перемещений, что позволяет естественно расчленить вычислитель­ ный комплекс на отдельные блоки: составления канонических урав­ нений; решения линейных уравнений; вычисления усилий и напря­ жений. Имеется также несколько вспомогательных блоков, нали­ чие которых вызвано реализацией’ суперэлементов и требованиями сервиса.

Введенные в машину исходные данные обрабатываются вспомо­ гательным блоком. Этот блок приводит исходную информацию к общему виду (поскольку она может быть задана в различных си­ стемах координат, иметь признаки повторений, учитывающие ре­ гулярность системы и т. п.), вычисляет параметры системы и прогно­

для рекурсивного расчета, производит поиск формальных ошибок, распечатывает исходную информацию и данные о наличии ошибок, прогнозируемом времени счета и т. п.

Если формальных ошибок не обнаружено, то происходят вызов и передача управления блоку составления уравнений. Составля­

ются уравнения по частям, коэффициенты каждой части формиру­ ются путем последовательного просмотра всего списка КЭ системы.

и рассылается по нужным адресам в общую матрицу системы. Для этого вюбираются номера узлов и перемещений, относящихся к данному КЭ, координаты узлов, номер процедуры построения матрицы жесткости и жесткостных характеристик. По номеру про­ цедуры происходят выборка нужной программы из имеющейся биб­ лиотеки и переписывание ее в оперативную память ЭВМ на заброни­ рованное место. На основе выписанной процедуры строится мат­ рица жесткости КЭ в местной системе координат. Г]о координатам узлов КЭ формируется матрица направляющих косинусов, с помо­ щью которой матрица жесткости переводится в общую систему ко­ ординат. На основе перемещений, относящихся к КЭ, вычисляются нужные адреса и элементы матрицы жесткости рассылаются в общую систему. Если следующий КЭ имеет такой же тип жесткости и ту же матрицу направляющих косинусов, то выполняется только про­ цедура рассылки, т. е. полностью используется матрица жесткости предыдущего КЭ в общей системе координат. После просмотра всех КЭ сформированная часть системы уравнений переписывается на магнитные ленты “и начинается формирование следующей части. После формирования последней части происходит образование столбцов свободных членов. Затем исходные данные записываются на внешнюю память ЭВМ, чтобы освободить оперативную память для решения системы уравнений.

Организация блока решения систем линейных уравнений может служить примером увязки алгоритма с техническим исполнением ЭВМ. Оперативная память ЭВМ «Минск-22» расчленена на две части — 2 куба по 4096 слов каждый. Это учтено при построении программы. Так, при составлении уравнений в 1-м кубе всегда на­ ходятся блок составления уравнений и исходные данные, а во 2-м—- часть составляемой матрицы. При решении уравнений в 1-м кубе находятся управляющая программа и группа исключаемых урав­ нений (используется метод группового исключения), а во 2-м— программа решения систем линейных уравненйй и группа уравне­ ний, из которых происходит исключение. Такое полудинамическое распределение памяти, когда заранее известно, в каком кубе располо­ жен определенный массив, хотя положение его в кубе оперативной памяти определяется только в процессе счета, значительно умень­ шает количество операций при вычислении необходимых адресов. Это увеличивает быстродействие программы.

В результате решения системы линейных уравнений вычисляю­ тся перемещения в узлах расчетной схемы. Затем в оперативную память опять помещаются исходные данные, а также блок вычисле­ ния усилий, напряжений и печати результатов. Сначала на печать для каждого узла выдаются относящиеся к нему перемещения от всех нагружений. Затем вычисляются усилия и напряжения с одно­

Рис. 80

строятся матрица жесткости и матрица направляющих косинусов. При помощи последней вектор перемещений переводится в собст­ венную систему координат КЭ. Перемножением полученного век­ тора на матрицу жесткости определяется искомый вектор узловых

усилий, который выдается на печать. Для стержней, имеющих при­ знак дробления, вычисляются и выпечатываются усилия в проме­ жуточных сечениях. Для двумерных и, трехмерных КЭ вычисляются и выпечатываются напряжения в точке, соответствующей центру тяжести. Упрощенная блок-схема вычислительного комплекса «Ми­ раж» представлена на рис. 80.

При наличии суперэлементов схема решения задачи несколько усложняется. Суперэлементы, имеющие одинаковую структуру, объединяются в суперклассы. Указание об этом содержится в ис­ ходной информации. Для каждого суперкласса строится матрица жесткости, и узловых нагрузок. Для этого в оперативную память

Рис. 81

.последовательно считывается исходная информация о каждом клас­ се. Составление матрицы канонических уравнений и столбцов сво­ бодных членов обусловлено наличием супернагрузок, т. е. сил, приложенных к внутренним узлам суперэлемента. Количество су­ пернагрузок не связано с общим количеством нагружений. По отно­ шению к основной части супернагрузки по сути являются местными нагрузками, приложенными не к КЭ, а к суперэлементам. После со­ ставления матрицы и столбцов свободных членов для них выполня­ ется прямой ход метода Гаусса, который осуществляется, однако, не до конца, а до (/г,— /г,0)-го уравнения (п1— общее количество сте­ пеней свободы основных узлов суперэлемента, в которых он стыку­ ется с основной системой). Оставшиеся части матрицы и столбцов свободных членов (на рис. 81 они заштрихованы) и образуют иско­ мые матрицы жесткости и столбцы узловых нагрузок (уравнения, соответствующие перемещениям основных узлов, нумеруются по­ следними).

После того как описанная процедура выполнена для всех супер­ классов, составляются системы канонических уравнений и столбцов свободных членов для основной части. Для обыкновенных КЭ это происходит ранее описанным способом. Если же выделенный эле­ мент является суперэлементом, то для него сначала формируется матрица направляющих,косинусов. Затем с магнитных лент пере­ писывается матрица жесткости для суперкласса, к которому отно­ сится рассматриваемый элемент. Матрица жесткости переводится