Метод конечных элементов

Запишем еще (1.100) через составляющие напряжений, или через функцию напряжений:

t/m== ^ Л [ ( о х + о ,) 2 — 2(1 — =

- £ Ш ( 3 + $ ) ■ - > < ' + - > [ £ 5 ? - е т < ‘‘ 4 М ' - и ч

определенные множители в процессе минимизации, можно добиться того, чтобы ряд w (а , у) в целом удовлетворил граничным условиям, хотя отдельные функции (а , у) этому удовлетворять не будут.

Преимущество метода Рэлея—Ритца состоит в относительной простоте и в получении при этом хорошйх результатов. Пластины могут быть разных очертаний, толщины и т. п., но процедура ре­ шения всегда связана с вычислением определенных интегралов и решением систем уравнений. Трудность в методе Рэлея — Ритца, как, впрочем, и в других энергетических методах,— это выбрать подходящие аппроксимирующие функции, что уже было отмечено.

Метод Рэлея — Ритца имеет самую тесную связь с методом ко­ нечных элементов. Этот последний трактуется как своеобразный метод Ритца, где аппроксимирующие функции выбираются локально (в пределах элемента), а не по всей области определения (см. гл. 2).

16р0а4 ___________ 1

Если — =±= 1,5,. а 1=( 0 ,3 , то в центре пластины прогиб

Более точное значение

§3. Метод Бубнова — Галеркина

Вметоде Бубнова — Галеркина нашел свое дальнейшее обоб­ щение и упрощение принцип виртуальной работы. Метод прило­ жим кйк к линейным, так и к нелинейным задачам, к задачам ко­ лебаний и устойчивости и к другим задачам техники, строительной механика, теории упругости, математической физики, если только определено разрешающее уравнение.

и бw. Хотя составляющие перемещений и, у, w и взаимосвязаны,

сать непосредственно, без определения потенциальной энергии си­ стемы:

v V

В строгом смысле вариационное уравнение (1.105) справедливо только тогда, когда функции перемещений и, v, w — точные реше­ ния задачи. Однако, как и в методе Рэлея — Ритца, здесь точное решение заменяется приближенным — в форме

Этот тригонометрический ряд удовлетворяет геометрическим граничным усло.

ВИЯМ

« Я - t e k - 0i w s s -

Удержим только один член ряда(tn = n = 1). Тогда

w (*■^ = Сп т ( ! —cos-ir) (l ~'COST^).

2ядЛ 2я*Л

+ И - c o s — j cos

Подставив этот оператор в уравнение (1 .1 1 4 ), получим следующее уравнение:

Глава 2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ {МКЭ)

§ 4. Основные положения МКЭ

Метод конечных элементов (МКЭ) является вариационным. Это означает, что основные.разрешающие уравнения могут быть получены непосредственно из вариационного принципа Лагранжа. Наиболее важные теоретические проблемы МКЭ, в первую очередь

проблема сходимости решений к точному, успешно решены или решаются с -ю-.-пщью вариационных принципов.

Исторически возникновение МКЭ связано с идеей положения хорошо разработанных процедур для расчета статически неопреде­ лимых стержневых систем к решению дву- и трехмерных задач теории упругости. Еще в 1933 г. известный ученый в области стро: ительной механики профессор И. М- Рабинович высказал мь!сль о возможности и эффективности использования методов строитель­ ной механики стержневых систем в теории упругости. Осуществле­ ние этой идеи неотделимо от развития высокоэффективной вычис­ лительной техники. Электронные вычислительные машины неизме­ римо'расширили возможности прямых методов теории упругости.

континуальных систем. На первом этапе расчета

статически неопределимой стержневой системы образуют основную систему. Применительно к методу перемещений такая система по­ лучается в результате расчленения исходного объекта расчета на отдельные элементы, для которых известны соотношения между перемещениями защемленных концов и реакциями в дополнитель­ ных связях — так называемыми усилиями и моментами защемления. Совершенно очевидно, что эта операция имеет характер дискрети­ зации расчетной схемы стержневой системы, т. е. расчленения на отдельные элементы конечных размеров. Можно сказать, что метод перемещений рассматривает конечный элемент (КЭ) изгибаемого стержня с двумя узлами. Каждому из узлов придается одна степень свободы — угол поворота концевого сечения.

f Расчет по МКЭ также начинается с дискретизации расчетной схемы. Однако объекты теории упругости "(двуили трехмерные области) расчленяют уже на КЭ соответствующей статической при­ роды. Для двумерных областей наиболее часто применяют треуголь­ ные или прямоугольные КЭ, а для массивных тел — КЭ в форме тетраэдра или параллелепипеда.

Пусть область расчетной схемы двумерна, т. е. все ее характе­ ристики зависят от двух координат (рис. 17). Каждый КЭ этой об­ ласти сохраняет все физические и геометрические свойства исход­ ной среды. На границе области заданы граничные условия, т. е компоненты сил или перемещений.

Классический подход к задаче о напряженно-деформированном состоянии области Q предполагает анализ бесконечно малого эле­ мента этой области. Разрешающие уравнения.будут дифференциаль­ ными и в частных производных, если рассматривается двуили трех­ мерная область. Решение дифференциальных уравнений в замкну­ той форме возможно далеко не.всегда. В технике используются раз­ личные методы приближенного решения дифференциальных урав­ нений (см. гл. 1).

I Мет<4д МКЭ предусматривает иной подход: рассматривается эле­ мент конечных размеров, что означает переход от системы с беско­ нечным числом параметров напряженно-деформированного состоя­ ния к системе с конечным числом параметров. Основная система

для расчетной схемы двумерной области й представляет собой сово­ купность конечного числа элементов конечных размеров (рис. 17). КЭ соединены в общих точках — узлах. Узел расчетной схемы может быть общим для нескольких КЭ области й. Узлам расчет­ ной схемы придаются дополнительные связи, число которых опре­ деляется особенностями рассматриваемой задачи^ Например, для плоской задачи теории упругости можно ограничиться двумя свя­ зями, исключающими линейные перемещения в плоскости. По­ этому и отдельному КЭ области Й следует придать по две связи в кажтом узле (рис. 18, а). По аналогии со стержневыми системами вводятся понятия о реакциях в дополнительно наложенных Связях

чество узлов может быть больше числа вершин прямоугольника, но всегда остается конечнымJ Узловые реакции в дополнительных свя­ зях и узловые перемещения определяются*компонентами в приня­ той системе координат (рис. 18, а). В каждом узле имеют место два компонента узлового перемещения — иу v (рис. 18, в). В упругой стадии деформирования между реакциями в дополнительных свя­