Теория пластичности

пации механической энергии, f (σ) – функция, определяющая поверхность текучести, р– неопределенный множитель Лагранжа) непосредственно следует ассоциированный закон пластического течения.

4.12. Внешняя поверхность бесконечно длинной трубы, имеющей внутренний радиус a и внешний радиус b, закреплена, к внутренней приложена касательная нагрузка τ, параллельная оси трубы. При какой величине τ упругое деформирование станет невозможным?

Вкаком месте трубы начнется развитие пластических деформаций?

5.Теория упругопластических процессов А.А. Ильюшина

5.1. 2) Проверить справедливость равенства э э= 23 e : e для случая

связи компонент векторов деформаций и компонент девиатора тензора деформаций в виде (5.3).

5.2. 2) Доказать взаимообратность матриц преобразований компонент девиатора тензора деформаций (напряжений) в компоненты векторов деформаций (напряжений), и обратно: (5.2) ↔ (5.4), (5.3) ↔ (5.5).

5.3. 2) Определить параметры кривизны и кручения в терминах компонент девиатора тензора малых деформаций.

5.4. Проверить (при необходимости – определить условия) выполнение аксиом Нолла для определяющих соотношений теории

УПП (5.17) – (5.29).

5.5.Для изотропного полого шара из упругоидеально-пласти- ческого материала, на который действует монотонно возрастающее внутреннее давление p, найти эволюцию полей напряжений, деформаций и перемещений при использовании соотношений теории малых упругопластических деформаций.

5.6.Получить решение задачи простого сдвига для упруго- идеально-пластического тела по соотношениям теории малых упругопластических деформаций.

5.7.См. упр. 5.6 – аналогичное задание для упругопластического материала с линейным и степенным изотропным упрочнением.

381

5.8. Траектория деформации – равномерное движение по окружности радиусом R, критерий пластичности выполняется. Полагая материал упруго-идеально-пластическим и используя соотношения для траектории малой кривизны ТУПП, получить зависимость Σ(s) ,

рассматривая установившееся состояние ( s → ∞ , согласно принципу затухания памяти предыстория НДС до момента выхода вектора деформации на окружность может быть отброшена). Каким должен быть радиус R, чтобы мощность напряжений при s → ∞ была нулевой?

5.9.См. упр. 5.8 – аналогичное задание для упругопластического материала с линейным и степенным изотропным упрочнением.

5.10.См. упр. 5.8 – аналогичное задание для упругоидеальнопластического материала при использовании соотношений для траекторий средней кривизны в форме (5.20).

5.11.См. упр. 5.8 – аналогичное задание для упругопластического материала с линейным и степенным изотропным упрочнением при использовании соотношений для траекторий средней кривизны

вформе (5.20).

5.12.Траектория деформации OABС изображена на рис. 3.

На участке ОА происходило упругое деформирование, в точке А выполнен критерий пластичности. Принимая материал упругоидеаль- но-пластическим, определить Σ(s) , используя соответствующие соот-

ношения теории УПП.

382

5.13. Траектория деформации после установления (согласно принципу затухания памяти предыстория НДС до момента выхода вектора деформации на указанную траекторию может быть отброшена) – квадрат со стороной L , при этом критерий пластичности выполняется. Принимая материал упруго-идеально-пластическим, определить Σ(s) , используя соответствующие соотношения теории УПП.

5.14.См. упр. 5.13 – аналогичное задание для упругопластического материала с линейным и степенным изотропным упрочнением.

5.15.Траектория деформации после установления – правильный n-угольник, вписанный в окружность радиусом R. Принимая материал упруго-идеально-пластическим, определить Σ(s) , используя

соответствующие соотношения теории УПП. Получается ли при n → ∞ результат решения задачи (5.8) или (5.10) и при каком R?

5.16.См. упр. 5.15 – аналогичное задание для упругопластического материала с линейным и степенным изотропным упрочнением.

5.17.Принимая гипотезу компланарности, найти вид коэффици-

5.18.Бесконечно длинная труба, имеющая внутренний радиус a и внешний радиус b, находится под действием постоянного внеш-

него давления pb и монотонно возрастающего внутреннего давления pa. Найти эволюцию полей напряжений, деформаций и перемещений при использовании соотношений теории УПП.

5.19.Цельный цилиндр радиусом R монотонно закручивается. Найти эволюцию полей напряжений, деформаций и перемещений при использовании соотношений теории УПП. Для упрощения решения принять, что при деформировании искажений поперечного сечения цилиндра не происходит (принимаются гипотезы «плоских сечений» и «прямых радиусов»).

5.20.Внешняя поверхность бесконечно длинной трубы, имеющей внутренний радиус a и внешний радиус b, закреплена, к внутренней по-

383

верхности приложена монотонно возрастающая касательная нагрузка, параллельная оси трубы. Найти эволюцию полей напряжений, деформаций и перемещений при использовании соотношений теории УПП.

5.21. Исследовать, согласуются ли соотношения для траекторий различных кривизн (например, сводятся ли соотношения для средней кривизны, примененные для траектории деформации малой кривизны, к соотношениям теории малой кривизны).

6. Некоторые модификации теории пластического течения

6.1.Проверить (при необходимости – определить условия) выполнение аксиом Нолла для определяющих соотношений одноповерхностных ТПТ с кинематическим упрочнением.

6.2.Проверить выполнение постулатов Драккера и Ильюшина, принципов максимума Мазинга и Циглера для определяющих соотношений одноповерхностных ТПТ с кинематическим упрочнением.

6.3.Для изотропного полого шара из упругопластического материала, на который действует возрастающее внутреннее давление p, найти поля напряжений, деформаций и перемещений при использовании соотношений ТПТ с различными законами кинематического упрочнения (см. табл. 6.1.); провести сравнительный анализ полученных результатов.

6.4.Получить решение задачи простого сдвига для упруго- идеально-пластического тела по соотношениям ТПТ.

6.5.См. упр. 6.4 – аналогичное задание для упругопластического материала с линейным и степенным изотропным упрочнением.

6.6.См. упр. 6.4 – аналогичное задание для упругопластического

материала с различными законами кинематического упрочнения (см. табл. 6.1.); провести сравнительный анализ результатов.

6.7. Траектория деформации – луч, начальное состояние – естественное. Полагая материал упругоидеально-пластическим, определить траекторию вектора напряжений Σ и траекторию вектора оста-

384

точных микронапряжений ρ для одноповерхностных ТПТ с различными законами кинематического упрочнения (см. табл. 6.1).

6.8.См. упр. 6.7 – аналогичное задание для двухповерхност-

ной ТПТ в форме (6.19), (6.20), (6.22).

6.9.См. упр. 6.7 – аналогичное задание для двухповерхност-

ной ТПТ в форме (6.19), (6.20), (6.23).

6.10.Траектория деформации представляет собой циклическое движение по отрезку (например, циклический процесс растяжения – сжатия). Полагая материал упругоидеально-пластическим, определить траекторию вектора напряжений Σ и траекторию вектора остаточных микронапряжений ρ для одноповерхностных ТПТ с различными законами упрочнения (см. табл. 6.1).

6.11.См. упр. 6.10 – аналогичное задание для двухповерхностной ТПТ в форме (6.19), (6.20), (6.22). Позволяет ли модель описать эффект Баушингера?

6.12.См. упр. 6.10 – аналогичное задание для двухповерхностной ТПТ в форме (6.19), (6.20), (6.23). Позволяет ли модель описать эффект Баушингера?

6.13.Траектория деформации (после установления, см. упр. 5.8) – квадрат со стороной L, критерий пластичности выполнен. Полагая материал упругоидеально-пластическим, определить траекторию вектора напряжений Σ и траекторию вектора остаточных микронапряжений ρ для одноповерхностных ТПТ с различными законами упрочнения (см. табл. 6.1).

6.14.Траектория деформации (после установления, см. упр. 5.8) – окружность радиусом R, критерий пластичности выполнен. Полагая материал упругоидеально-пластическим, определить траекторию вектора напряжений Σ и траекторию вектора остаточных микронапряжений ρ для одноповерхностных ТПТ с различными законами упрочнения (см. табл. 6.1).

6.15.См. упр. 6.14 – аналогичное задание для двухповерхност-

ной ТПТ в форме (6.19), (6.20), (6.22).

6.16.См. упр. 6.14 – аналогичное задание для двухповерхност-

ной ТПТ в форме (6.19), (6.20), (6.23).

385

6.17.Построить структурные модели упругопластического материала, соответствующие гипотезам Фойгта и Рейсса.

6.18.Рассмотреть одноосное растяжение при использовании модели Кренера, провести качественный анализ результатов.

6.19.Цельный цилиндр радиусом R монотонно закручивается. Найти эволюцию полей напряжений, деформаций и перемещений при использовании соотношений одноповерхностной ТПТ. Для упрощения решения принять, что при деформировании искажений поперечного сечения цилиндра не происходит (принимаются гипотезы «плоских сечений» и «прямых радиусов»).

6.20.Внешняя поверхность бесконечно длинной трубы, имеющей внутренний радиус a и внешний радиус b, закреплена, к внутренней поверхности приложена монотонно возрастающая касательная нагрузка, параллельная оси трубы. Найти эволюцию полей напряжений, деформаций и перемещений при использовании соотношений одноповерхностной ТПТ.

7.Теории вязкопластичности

7.1.Полагая, что в случае одноосного растяжения d = ε ( ε – компонента тензора малых деформаций), проинтегрировать уравнения модели Максвелла (7.1) и получить зависимость σ – ε. Для выбранного модельного материала построить графики и провести анализ результатов для случая постоянного напряжения (ползучесть), постоянной деформации (релаксация напряжений), мгновенной разгрузки, медленного снятия нагрузки.

7.2.Аналогично упр. 7.1 выполнить задание для модели Кельвина – Фойгта (7.2).

7.3.Модифицировать модель Максвелла заменой линейновязкого элемента на нелинейно-вязкий, описываемый соотношением

σ= η dт (η, т – константы материала). Используя несколько различных схем интегрирования (явная и неявная схемы Эйлера, схемы Рунге – Кутта), провести анализ результатов аналогично упр. 7.1.

386

7.4.Аналогично упр. 7.3 выполнить задание для модели Кельвина – Фойгта (7.2).

7.5.Рассмотрите одномассовую колебательную систему, в которой пружина заменена моделью Максвелла, получите аналитическое решение, проведите его качественный анализ (оцените поведение системы в зависимости от соотношения коэффициента вязкости

имодуля упругости).

7.6.Аналогичноупр. 7.5 выполнитьзаданиедлямоделиКельвина.

7.7.Используя структурную схему рис. 7.2, в) получить «одноосное» ОС для модели Пойнтинга – Томсона, провести его анализ аналогично упр. 7.1.

7.8.Аналогичноупр. упр. 7.7 выполнитьзаданиедлямоделиЗинера.

7.9.Аналогично упр. упр. 7.7 выполнить задание для модели Олдройда.

7.10.Осуществить обобщение моделей Пойнтинга – Томсона, Зинера и Олдройда на трехмерный случай.

7.11.Для изотропного полого шара, на который действует монотонно возрастающее внутреннее давление p, найти эволюцию полей напряжений, деформаций и перемещений при использовании для описания поведения материала различных вязкопластических (упруговязкопластических) соотношений.

7.12.Получить решение задачи простого сдвига при использовании различных вязкопластических (упруговязкопластических) соотношений.

7.13.Цельный цилиндр радиусом R монотонно закручивается. Найти эволюцию полей напряжений, деформаций и перемещений при использовании различных вязкопластических (упруговязкопластических) соотношений. Для упрощения решения принять, что при деформировании искажений поперечного сечения цилиндра не происходит (принимаются гипотезы «плоских сечений» и «прямых радиусов»).

7.14.Внешняя поверхность бесконечно длинной трубы, имеющей внутренний радиус a и внешний радиус b, закреплена, к внутренней поверхности приложена монотонно возрастающая касательная нагрузка, параллельная оси трубы. Найти эволюцию полей на-

387

пряжений, деформаций и перемещений при использовании различных вязкопластических (упруговязкопластических) соотношений.

7.15.Траектория деформации представляет собой циклическое движение по отрезку (например, циклический процесс растяжения – сжатия). Определить траекторию вектора напряжений Σ при использовании различных вязкопластических (упруговязкопластических) определяющих соотношений, варьируя скорость деформации.

7.16.Траектория деформации – квадрат со стороной L, критерий пластичности выполнен. Определить траекторию вектора напряжений Σ при использовании различных вязкопластических (упруговязкопластических) определяющих соотношений, варьируя скорость деформации.

7.17.Траектория деформации – окружность радиусом R, критерий пластичности выполнен. Определить траекторию вектора напряжений Σ при использовании различных вязкопластических (упруговязкопластических) определяющих соотношений, варьируя скорость деформации.

7.18.Предложить обобщение различных вязкопластических (упруговязкопластических) определяющих соотношений на случай геометрической нелинейности, позволяющее обеспечить выполнение принципа индифферентности. Исследовать предложенные модели (например, решением задач простого сдвига, кручения цилиндра).

7.19.Используя соотношения наследственной вязкоупругости (7.3) – (7.4), подобрать ядра релаксации и ползучести таким образом, чтобы из указанных соотношений следовали одноосные ОС моделей Максвелла и Кельвина – Фойгта.

7.20.Предложить обобщения ОС (7.3) – (7.4) на случаи упругоанизотропного – наследственно изотропного и полностью анизотропного материала.

7.21.Получить аналитическое решение для одноосной модели Шведова (7.6), построить и проанализировать зависимости σ – ε при различных сочетаниях модулей упругости и коэффициента вязкости.

7.22.Модифицировать модель Шведова заменой линейно-вязкого элемента на нелинейно-вязкий, описываемый соотношением σ = η dт (η, т– константы материала) и линейно-упругого элемента с модулем Е2 на нелинейно-упругий с законом σ = Е εn. Используя несколько раз-

388

личных схем интегрирования (явная и неявная схемы Эйлера, схемы Рунге – Кутта), провести анализ результатов аналогично упр. 7.21.

7.23.Модифицировать модель Шведова введением линейного и нелинейного законов упрочнения, получить аналитически и/или численнозависимостиσ– εдляразличныххарактеристикзаконаупрочнения.

7.24.Получить обобщение одноосной модели Бингама (7.8) на трехмерный случай.

7.25.Используя структурную схему (см. рис. 7.4, а), получить самостоятельно ОС модели Исаева – Фэна (7.9).

7.26.Получить и проанализировать аналитическое решение (7.9) для заданных постоянных значений напряжений (меньших и превышающих предел текучести) и заданных значениях постоянных скоростей деформации.

7.27.Получить и проанализировать численное решение (7.9) для произвольно заданной программы жесткого (кинематического) и мягкого (силового) нагружений.

7.28.Используя структурную схему (см. рис. 7.4, б), получить самостоятельно ОС модели Пузрина – Хаулсбая (7.10).

7.29.Аналогично упр. 7.26 выполнить задание для ОС (7.10).

7.30.Аналогично упр. 7.27 выполнить задание для модели (7.10).

7.31.С использованием структурной схемы (см. рис. 7.4, в) самостоятельно вывести соотношение (7.11).

7.32.Аналогично упр. 7.26 выполнить задание для ОС (7.11).

7.33.Аналогично упр. 7.27 выполнить задание для модели (7.11).

7.34.Получить ОС, применимые для трехмерного случая, для моделей Исаева – Фэна (7.9), Пузрина – Хаулсбая (7.10) и Сарамито (7.11).

8.Эндохронная теория пластичности

8.1.Проверить (при необходимости – определить условия) выполнение аксиом Нолла для определяющих соотношений ЭТП.

8.2.Проверить выполнение постулатов Драккера и Ильюшина, принципов максимума Мазинга и Циглера для определяющих соотношений одноповерхностных ТПТ с кинематическим упрочнением.

389

8.3.Предложить обобщение соотношений ЭТП с целью учета анизотропии упругих свойств, исследовать предложенную модель.

8.4.Показать, что (8.12), (8.13) можно представить в форме

(8.1) с ядром J ( z ) = E e−α z и внутренним временем, определенным согласно (8.13).

8.5.Показать, что при χ = 1 соотношения ЭТП сводятся к соотношениям ТПТ.

8.6.Траектория деформации – луч. Определить траекторию вектора напряжений Σ, используя (8.12) – (8.13) при различных постоян-

ных значениях параметра χ .

8.7.См. упр. 8.6 – аналогичное задание при χ = χ (s) = 1–e–s.

8.8.Траектория деформации – окружность радиусом R. Определить траекторию вектора напряжений Σ, используя (7.12) – (7.13)

при различных постоянных значениях параметра χ .

8.9.См. упр. 8.8 – аналогичное задание при χ = χ (s) = 1–e–s.

8.10.Траектория деформации (после установления) – правильный n-угольник, вписанный в окружность радиусом R. Определить траекторию вектора напряжений Σ, используя (8.12) – (8.13) при раз-

личных постоянных значениях параметра χ .

8.11.См. упр. 8.10 – аналогичное задание при χ = χ (s) = 1–e–s.

8.12.Траектория деформации – циклическая по отрезку. Определить траекторию вектора напряжений Σ, используя (8.12) – (8.13)

при различных постоянных значениях параметра χ .

8.13.Для изотропного полого шара из упругоидеально-пласти- ческого материала, на который действует возрастающее внутреннее давление p, найти поля напряжений, деформаций и перемещений при использовании соотношений ЭТП при различных уровнях давления.

8.14.Получить решение задачи простого сдвига для упруго- идеально-пластического тела по соотношениям ЭТП.

8.15.См. упр. 8.14 – аналогичное задание для изотропно упрочняющегося тела с линейным и степенным законами упрочнения.

8.16.Предложить обобщение соотношений ЭТП на геометрически нелинейный случай, исследовать предложенную модель.

390