Теоретическая механика избранные задачи студенческих олимпиад ПНИПУ

направлении оси

x

и m ax mg sin Q cos f N . Если же

mg x Qx

f N , то точка останется неподвижной и ax 0 .

(1

f k)sin (k f )cos ,

если

f ,

Ответ: ax g

f k)sin (k f )cos ,

если f ,

(1

0

если

f ,

но, момент отрыва точки от плоскости tотр mg

k sin . Проецируя

уравнение движения точки на ось x, найдем:

m ax kt cos Fтр .

До тех

пор пока

kt cos f N

(при

0 t t1 , где

t1 fmg

k

cos f sin tотр ),

ax 0 .

При

t1 t tотр

m ax kt cos f N , откуда ax fg t1 t t1 . Таким образом,

0,

если

0 t t

,

1

x

t t1 ,

если

t1 t

tотр.

fg t1

0,

если

0 t t1,

Ответ: x(t)

t1

3

,

если

t1 t tотр,

fg (6t1) t

где t1 fmg k

cos f sin .

Д8. Ответ:

x(t) (ma c)cos(

c m t) at 2 2 ma c .

Д9. Уравнение

движения

точки

в

проекции

на

ось

x:

m dV dt k xV . Учитывая, что

dV dt VdV dx ,

разделяя пере-

менные и интегрируя, найдем

скорость точки как функцию x:

V V0 k x2 (2m) . Далее, dx dt V0 k x2

(2m) . Разделяя пере-

менные и интегрируя,

найдем: arth x

x1 t t1 ,

где

x1

2mV0

k

(расстояние, которое точка пройдет до остановки), t1

2m (kV0 ) .

Ответ: x(t) x1 th t t1 , где

x1

2mV0

k , t1

2m (kV0 ) .

Д10. Ответ: t1 m (2kV1) .

Д11. Уравнение движения точки:

m a N

N1 . Проецируя это

уравнение на оси x и y, найдем mx N N1 sin ,

my N1 cos .

Учитывая, что x u t ,

y k x2 ku 2t 2 ,

tg y 2 k x 2 ku t и ис-

ключая N1 , получим

Ответ: N(t) 4m k 2u3t .

Д12. Ответ: s V0

kg sin ;

t1 ( 2)

kg sin .

Д13. Модуль ускорения точки a

a2

a2

. Уравнение дви-

n

. Проецируя это уравнение на ось

,

жения точки m a m g N

найдем a g sin g

1 h R 2 . Далее, an V 2 R . Найдем V 2

из закона сохранения полной энергии: mV 2

2 mgh mgR . Отсюда

V 2 2g(R h) ,

следовательно, an 2g 1 h R . После преобразо-

ваний получаем

Ответ: a(h) g

1 h R 5 3h R .

82

К задаче Д13

К задаче Д15

К задаче Д17

Д15. Перейдем в систему

отсчета, связанную со стержнем.

Д16. Ответ: 2

2g

8c m

.

3(R r)

3(1 (1 2r R)2 )

V

C

y

C

, V

CC y

2 y2 .

C

V

C

C

С учетом этих соотношений находим

y2

6g

1 yC 1 yC2

2

.

C

4 3 y2

2

C

y

2

, найдем

y

как функцию

y

C

; подставляя результат в выражение

C

C

для N, получим

Ответ:

N( yC ) mg

1 3 1 yC

2

.

4 3 yC2

2 2

Д18. Ответ: M B m sin ( 2 cos g) .

Д19. Согласно закону сохранения полной энергии

T нач Пнач

T кон T кон Пкон

2

1

2

2

равной нулю). Здесь T нач 0 , П2нач mghDнач

2mgR

(высота от-

считывается

от

уровня

плоскости),

T кон mV 2

2 J 2

2 ,

1

B

1

T2кон mVD2

2 J 2 2 2 ,

П2кон mghDкон mgR 2 . Учитывая,

что

J1 mR2 2 ,

J2 m 2R 2 12,

VB BCV R,

VD DCV R ,

находим

18

17 g

R . Далее, VA ACV R

3 .

Ответ: VA

54 17 gR .

Д20. Ответ: max

(3g

(5 ))( 10 1) .

Д21. Стержень с колечками можно рассматривать как твердое

тело массой

m m1 2m 2 ; центр масс C этого тела – в середине

стержня, момент

инерции

JCz m1 2

12 2m 2 2 2 . Согласно

закону сохранения полной энергии

84

чения угла

A

B

C

A

B

x

C

(x

x

)

2

2

sin

, y

(y

y

)

2

2

cos

.

,

3

Поэтому

VC2 xC2

yC2

( 2

4) 2 (1 8sin2 ) ,

hC yC 3 2 cos .

Находя

из

закона

сохранения

энергии

и

учитывая,

что

VA yA 2 sin ,

6 , получим

Ответ: VA

9(2

3)g (m1 2m 2 )

.

5m1 12m 2

Д22. Ответ:

n

R 02 (1 f 2 )

.

8 g f (1 f )

К задаче Д19

К задаче Д21

К задаче Д23

Д23. Согласно теореме о движении центра масс, в поло-

жении, когда сторона

AB горизонтальна, 3m aCn N y 3mg ,

3m aC N x . Здесь aCn 2

3 , aC

3 0 (так как в дан-

где Tнач 0 ,

Пнач

3mg 2

(высота отсчитывается от уровня

оси O ), Tкон J z 2 2 ,

Пкон

3mg . Учитывая, что

J z 2m 2 3 m 2 12 m 3 2 2

Д25. Дифференциальные уравнения

дви-

жения диска:

m dVCx dt mg sin Fтр , 0 N mg cos ,

mR2 2 d dt FтрR .

К задаче Д25

Кроме того (до момента

прекращения

про-

скальзывания), Fтр f N .

Интегрируя уравне-

mAz R ин r

2 Fупрr 0 .

Учитывая, что Fупр с( 0 ) cr 2

и R ин m 2 CO m 2r 2 , по-

лучаем

Ответ: c m .

К задаче Д27

К задаче Д29

Д29. Дифференциальные уравнения движения диска:

m aC x m g sin T ,

mR2

2 TR

(T – сила натяжения нити). Кроме того, дифференцируя по времени

кинематическое соотношение

VAx VCx

R (A – точка сопри-

косновения диска с плоскостью),

получаем a aCx

R . Из по-

лученных уравнений находим aCx и aC

aCx

.

Ответ: aC

a 2g sin

3 .

Д30. Ответ:

(g r)ctg .

Д31. Дифференциальное

уравнение

вращательного

движения

стержня: J

z

z

m

2

2

3 . Дифференцируя по време-

M ( ) , где J

ни равенство

CB tg ,

получим

u cos2 ,

откуда

u cos2 .

Дифференцируя по времени последнее равенство

и подставляя

из него же, найдем 2 u 2 sin cos3 .

Ответ: M ( ) 8mu 2

3 sin cos3 .

Д32. Ответ:

2F0 (mR) .

Д33. Кинетическая энергия системы

T J 2

2 m V 2

2 J

2

2

2 B 2 2 ,

1 1

2

C 2

2

3

где J1 m1R12 2 ,

J2 m2R22 2 ,

1 2 3 R1 , VC2 3 , 2 3 R2 ,

R1 R2 , B 2 2m1 3m 2

2 2J1 2

R12 2 3m 2

2m1 .

Сумма мощностей внешних сил N e

M 3 3 M1 1 Q 3 , где

Q M 3 2 R1 M1 . Из теоремы об изменении кинетической энер-

гии следует, что 3 Q B . Так как

1

3 k , то R1 k 2 . Да-

лее, m 2 m1 R22 R12

R1 1 2 . Окончательно получаем

Ответ: 3

M 3

k M1

.

J1k 2

1 3(k 2)2 16

88

кость равны нулю и

при t 0 система была неподвижна, то при

t

0 центр масс С системы остается неподвиж-

ным. Так как AB R const , то точки A и B опи-

сывают окружности радиусами R 2 с центром в

C и в каждый момент времени имеют равные по

модулю и противоположно направленные скоро-

сти. Тогда VB VBr VBe Vr VA R VA ( –

К задаче Д35

угловая скорость диска), откуда (2VA Vr ) R .

Далее, моменты внешних сил относительно лю-

Ответ: VA (t) Vr (t)

4 .

Д36. Ответ: при f

3 17 .

Д37. Добавив к силам, действующим на

систему,

д’Аламберовы

ин ,

силы инерции F

r

ин , F

ин

, получим уравновешенную систему

F

e

Cor

сил. Уравнения равновесия:

mx mgRsin Frин 3R 2 sin

Feин 3R 2 Rcos YB 3R 0 ,

my FCorин 3R 2 R cos X B 3R 0 .

Учитывая, что Fин mu2

R, F ин m 2Rsin ,

r

e

К задаче Д37

Fин

2m ucos , из этих уравнений получаем

Cor

89

Ответ: Vr (x)

m1a2

m 2b2 x2 b2

0 .

m1a2 m 2 x2

Д40.

Ответ:

2m 2

(T (J m 2 )) .

Д41.

Уравнение

поступательного

движения

груза

Ответ: s

2m31g 3R2

.

3k 2 m1 m2 2

Д42.

Ответ: нить не будет провисать при 2 Rr .

Д43.

Согласно закону сохранения количества движения

m1V1 m2 (V2e V2r cos ) 0 ,