Теоретическая механика избранные задачи студенческих олимпиад ПНИПУ

С14 (2013). Невесомая рама ABDK нагружена заданной силой

Fи находится в равновесии. Размеры: BK , KA 2 , KD 3 . Найти горизонтальную составляющую xA реакции в шарни-

ре A.

С15 (2008). К балке ABH приложены сила F , равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q F и пара сил, момент

которой M F . Силой тяжести пренебречь. Расстояния

AK KB BH .

В какой точке D отрезка AB и под каким углом α следует расположить подвижную опору, чтобы балка находилась в равновесии (в показанном на рисунке положении) и при этом модуль реакции в шарнире A равнялся нулю?

С16 (2014). Невесомый диск радиусом r удерживается в равновесии сферическим шарниром A и нитями 1, 2, 3. На диск действует

заданная сила Q . Эта сила и нить 2 параллельны оси x. Расстояние

BC r2 .

11

Найти величину RA реакции шарнира A.

К задаче С16

Статика системы

С17 (1975). Модули сил F1 F2 F , момент M и расстояния AD , DE EC CK KB BH 2 заданы. Система находится

в равновесии.

Найти модуль RD реакции в шарнире D и момент M A в задел-

ке A.

С18 (1997). Однородный стержень BD весом P жестко соединен с ползуном D, который может скользить без трения по вертикальному стержню AK весом Q. Положение шарнира B задается размерами и h.

Найти реакции xA , yA , xB , yB шарниров A и B при равновесии системы.

С19 (1976). Однородные шероховатые цилиндры 1 и 2 массами m1 и m2 опираются на горизонтальную и вертикальную шерохова-

12

тые плоскости. Прямая, соединяющая центры цилиндров, образует угол 0 2 с горизонтом. Система находится в равновесии.

Найти, в каких пределах могут лежать значения коэффициентов трения: f1 – между цилиндром 1 и горизонтальной плоскостью,

f2 – между цилиндром 2 и вертикальной плоскостью, f – между цилиндрами.

С20 (1999). Вес однородного стержня OA равен P, длина равна . Весом стержня AC пренебречь; длина этого стержня равна 2 ; он опирается на гладкий уступ B; OB . На стержень AC действует постоянная пара сил с моментом M P 2 .

Найти угол , при котором система на-

ходится в равновесии.

С21 (1979). Система, состоящая из n одинаковых однородных горизонтальных стерж- К задаче С19 ней массой m каждый, находится в равновесии.

Стержниукреплены посредствомтросов.

D1B1 A1B1 D2 B2 A2 B2 ... Dn 1Bn 1 An 1Bn 1 k ,

где k – заданный коэффициент. Известно, что существует

13

С22 (2000). Диск может катиться без проскальзывания по неподвижной горизонтальной плоскости. На стержень OA и диск действуют

пары сил с постоянными моментами M1 и M 2 .

На диск действует постоянная сила Q . Сила-

ми тяжести пренебречь. Радиус диска равен R, OA AC , DC b , угол известен.

Найти величину силы Q, при которой механизм находится в равновесиив показанном нарисункеположении.

К задаче С21

С23 (1984). Система расположена в вертикальной плоскости. Однородные стержни OA и АВ имеют массы m1 и m2 соответст-

венно. Угол задан. Точки D и K соединены нитью; OD DA , AK KB . Система находится в равновесии в показанном на рисунке положении.

Найти натяжение T нити DK.

С24 (2002). Колесо 1 радиусом R может катиться без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Стержень 2 шарнирно соединен с колесом 1 и ползуном D. К ползуну D приложена заданная

горизонтальная сила F ; к колесу 1 приложена пара сил, заданный

14

момент которой равен M. Силами тяжести и трением в направляющих ползуна D пренебречь. Углы , , известны. Механизм на-

ходится в равновесии в указанном на рисунке положении. Найти модуль силы Q , приложенной в точке A колеса 1.

С25 (1985). Шероховатая тяжелая однородная балка ОА, закрепленная одним концом в шарнире O, опирается в точке B на тяжелый шероховатый однородный цилиндр, лежащий на неподвижной шероховатой горизонтальной плоскости. Коэффициенты трения между балкой и цилиндром и между плоскостью и цилиндром одинаковы и равны f.

Найти, при каких значениях угла 0 2 система может находиться в равновесии.

С26 (2003). Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Тело 2 образовано жестко соединенными стержнем и колесом. Стержень 3 и колесо 4 жестко не соединены. Тело 2 и колесо 4 соприкасаются без проскальзывания. В точках O, A, B, D – шарниры.

BD 1 ; AB 2 ; радиусы обоих колес равны r; угол известен;

угол OAB прямой. К телам 1, 3, 4 приложены пары сил с моментами M1 , M3 , M4 соответственно. Моменты M3 , M4 известны.

Найти момент M1 , при котором механизм находится в равновесии в показанном на рисунке положении.

С27 (1986). Система расположена в горизонтальной плоскости. Стержень может скользить в муфте, к которой приложена пара сил с заданным постоянным моментом M. Расстояние OB a , угол

15

и жесткость c пружины известны. Система находится в равновесии в показанном на рисунке положении.

Найти деформацию пружины.

С28 (2003). Стержневая система расположена в вертикальной плоскости. Массы однородных стержней 1, 2, 3 равны m1 , m2 , m3

соответственно. Стержень AB и пружина OD горизонтальны; OA OK ; точки A, O, K лежат на одной прямой. Угол известен. Жесткость пружины равна c. Система находится в равновесии в показанном на рисунке положении.

Найти деформацию пружины.

С29 (1988). Точки 1 и 2, связанные нерастяжимой нитью, находятся на сторонах неподвижного гладкого кругового сектора с углом 2 . Сектор расположен в вертикальной плоскости, его нижняя

сторона горизонтальна. Масса точки 1 равна m1 . Система находит-

ся в равновесии.

Найти массу m2 точки 2.

С30 (1988). Механизм, расположенный в вертикальной плоскости, состоит из четырех шарнирно соединенных однородных

стержней и ползуна D. Массы стержней 1 и 3 равны m1 и m3 соот-

ветственно; массами остальных частей механизма пренебречь. Длина OA 1 ; углы и известны; стержень OA вертикален, стер-

жень AB и направляющие ползуна D горизонтальны. К стержню OA

16

приложена пара сил с заданным постоянным моментом M. К точке B приложена заданная горизонтальная сила F . К ползуну D приложена постоянная горизонтальная сила Q . Механизм находится

в равновесии в показанном на рисунке положении. Найти модуль Q силы, приложенной к ползуну D.

CA , соединенных шарнирами. К дугам приложены силы P1 , P2 , P3 ,

имеющие одинаковые модули P. Силами тяжести пренебречь. Система находится в равновесии.

Найти модуль N A реакции в шарнире A.

С32 (2005). Кривошипно-ползунный механизм с присоединенной кулисой расположен в горизонтальной плоскости. В точках O,

O1 – неподвижные вертикальные оси. К стержням 1, 2 и кулисе 3 приложены пары сил, моменты которых равны M1 , M2 , M3 соответственно. AB AD ; DAO BO1O 2 ; AOD 3 . Моменты M2 , M3 известны. Трением пренебречь. Механизм нахо-

дится в равновесии в показанном на рисунке положении. Найти момент M1 .

17

точки 2 равна m2 . Массами блоков и тросов пренебречь. Найти расстояние s от точки до края платформы.

С34 (2005). Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Кривошип 1 шарнирно соединен с ползуном A, который может перемещаться в гладкой прорези кулисы 2. Кулиса может скользить по гладкому, неподвижному, перпендикулярному к ней стержню.

18

Проскальзывание в точках соприкосновения диска 3 с кулисой 2 и диском 4 отсутствует. Длина кривошипа равна , угол между кри-

вошипом и кулисой равен , радиус диска 4 равен R. К кривошипу приложена пара сил, момент которой равен M1 . Влиянием трения

в шарнирах пренебречь.

Найти момент M4 пары сил, приложенной к диску 4, при ко-

тором механизм находится в равновесии в показанном на рисунке положении.

в горизонтальной плоскости. В точках O и D – неподвижные оси. Ползун A шарнирно соединен с кривошипом 1 и может скользить по стержню 3. В точках K и B – шар-

19

нирные соединения. На кривошипы 1 и 2 действуют пары сил, моменты которых

равны M1 и M2 соответственно. На пол-

с горизонтом. Трение между кубами отсутствует.

Найти, при каких значениях отношения масс кубов m 2 m1 система может находиться в равновесии.

С38 (2006). Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, состоит из зубчатых колес 1, 2 и стержней 3, 4, соединенных

шарнирами. Сила F перпендикулярна AB; M – заданный момент пары сил, приложенной к колесу 1, радиус которого равен R;

ADC1 ABC2 2 ; угол задан. Механизм находится в равновесии в показанном на рисунке положении.

Найти модуль силы F .

С39 (2000). Механизм расположен в вертикальной плоскости. По горизонтальному стержню AB может перемещаться ползун D, соединенный шарниром со стержнем OD. Масса ползуна D равна m.

К стержню OD приложена пара сил, момент которой равен M 2 ;

KA LB 1 ; KL AB ; OD 2 ; AKL ; DOE . Массой стержней и трением пренебречь. Механизм находится в равновесии в показанном на рисунке положении.

20