Теоретическая механика избранные задачи студенческих олимпиад ПНИПУ

ным плоскостям, связаны нерастяжимой нитью, намотанной на колеса. В некоторый момент времени скорость точки C равна VC ,

а ускорение точки С равно aC .

Найти в этот момент времени ускорение aA точки A.

К задаче К18 К задаче К19

К21 (1997). В механизме движение от ползуна 1 передается шарнирно связанному с ним звену 2, элемент DE которого проходит через втулку 3. Втулка вращается вокруг неподвижной оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. В данный момент времени

AO a , DAO , VA – известна.

Найти угловую скорость 2 звена 2 и расстояние AK до точки

K, расположенной на участке BD звена 2, скорость которой направлена вдоль прямой BD.

К22 (2009). Диск, расположенный в вертикальной плоскости, скатывается по двум нерастяжимым нитям, намотанным на него.

31

занного на рисунке, катки 1 и 2 начинают катиться без проскальзывания по неподвижной горизонтальной плоскости. Проскальзывание доски также отсутствует. Начальное расстояние s, постоянная

скорость доски V и радиусы R2 , r2 известны.

Найти промежуток времени T, через который каток 1 столкнется с катком 2.

К24 (2010). Стержень 1 вращается с угловой скоростью 1 во-

круг неподвижной оси O, перпендикулярной рисунку. Колесо 2 неподвижно. Колесо 3 может вращаться вокруг неподвижной оси O. Колесо 4 соприкасается без проскальзывания с колесами 2 и 3. Из-

вестны отношения радиусов R2 R4 , r4 R3 . Найти угловую скорость 3 колеса 3.

К задаче К23 К задаче К24

К25 (1999). Колесо соприкасается без проскальзывания с рейкой, которая движется с горизонтальной скоростью V . На колесо

32

намотана нить, образующая в данный момент времени угол

В показанном на рисунке положении стержня известен модуль VA

скорости точки A.

Найти в этом положении стержня модуль VB скорости точки B.

К задаче К25 К задаче К26

К27 (2000). Точка A стержня AB движется с известной постоянной скоростью VA . Длина стержня AB . Точка M стержня находится на расстоянии AM 4 от точки A.

Найти модуль aM ускорения точки M как функцию угла , который стержень образует с осью Oy ( 0 2 ).

К28 (2013). Два колеса радиусом R каждое катятся без скольжения по взаимно перпендикулярным плоскостям. Известна угловая скорость 1 первого колеса. Колёса шарнирно соединены

стержнем KM. В показанном на рисунке положении системы

AD DB R .

Найти в этом положении угловую скорость 2 второго колеса.

33

К29 (2001). Диск 2 радиусом R катится со скольжением по горизонтальной плоскости. Стержень 1 соединен с диском 2 шарниром B. Конец A стержня скользит по плоскости. Центр C диска

движется с заданной постоянной скоростью VС . В тот момент вре-

мени, когда точка B занимает показанное на рисунке верхнее положение, стержень образует угол с плоскостью и точка A имеет

скорость VA и ускорение aA .

Найти в этот момент времени угловое ускорение 2 диска.

К30 (2014). Угловая скорость стержня AB AB 2 радсек . Расстояния AC CB 3м. Известно, что величины (модули) скоро-

стей точек A и B одинаковы, но сами эти величины неизвестны. Найти величину VC скорости точки C.

34

ДИНАМИКА

Динамика точки

Д1 (1976). Точка массой m брошена с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью V0 . На точку действует постоянная сила тяжести и сила сопротивления, модуль которой пропорционален квадрату скорости: Fсопр k mV 2 ( k 0 – заданный

коэффициент).

Найти модуль V1 скорости точки в момент падения точки на Землю.

Д2 (2009). Материальная точка массой m находится на гладкой горизонтальной плоскости. На точку действует сила сопротивления

коэффициент. Найти зависимость F(V ) .

Д3 (1977). В доске, образующей угол с горизонтом, просверлен прямолинейный канал. Тяжелая материальная точка A начинает движение в верхнем отверстии канала без начальной скорости.

Найти угол , образуемый каналом с вертикалью, при котором время движения точки в канале будет наименьшим.

Д4 (2011). Горизонтальная трубка с шероховатой внутренней поверхностью вращается вокруг неподвижной вертикальной оси по

закону (t) kt2 , где k 0 – заданная постоянная. Длина отрезка

OA равна r. В трубке находится точка массой m. В начальный момент времени ( t 0 ) точка находится в положении A и неподвижна относительно трубки.

35

Найти, при каких значениях коэффициента трения f между точкой и трубкой точка останется неподвижной относительно трубки при всех t 0 .

Д5 (1980). Точка массой m находится на шероховатой плоскости, образующей угол с горизонтом. Коэффициент трения между

точкой и плоскостью равен f. На точку действует сила Q , направленная по горизонтали вправо; ее модуль Q k m g , где k 0 – заданная постоянная. Начальная скорость точки равна нулю.

Найти проекцию ax ускорения точки на ось x.

Д6 (2012). Неподвижная трубка, изогнутая под прямым углом, расположена в вертикальной плоскости. Длина каждой половины трубки равна . Левая половина заполнена вязкой средой, правая пуста. Материальная точка массой m начинает движение из положения A без начальной скорости. В вязкой среде на точку действует сила сопротивления, пропорциональная квадра-

Д7 (1988). Точка массой m находится на горизонтальной шероховатой плоскости. Коэффициент трения между точкой и плоско-

стью равен f. На точку действует сила Q , направленная под углом

36

0 2 к горизонту; ее модуль Q k t , где k 0 – заданная по-

стоянная. Начальная ( t 0 ) скорость и начальная координата x точки равны нулю.

Найти зависимость x(t) координаты точки от времени до момента отрыва точки от плоскости.

Д8 (2012). Колечко A движется по гладкой горизонтальной прямой Ox по закону xA (t) at22 , где a const 0 . Колечко B

(точка массой m) соединено с колечком A пружиной жесткости c. Длину недеформированной пружины считать равной нулю. В момент времени t 0 колечко B находилось в начале координат и имело скорость, равную нулю.

Найти зависимость x(t) координаты колечка B от времени.

Д9 (1997). Точка массой m движется в вязкой среде вдоль оси x под действием силы сопротивления, модуль которой Fсопр k xV ,

где k 0 – заданный постоянный коэффициент, x – координата точки, V – модуль скорости точки. Силой тяжести пренебречь. Начальные условия (при t 0 ): x 0 , x V0 0 .

Найти закон x(t) движения точки.

Д10 (2013). Материальная точка массой m движется в воздухе. Начальная (абсолютная) скорость точки равна нулю. Воздух дви-

жется вдоль оси x с постоянной скоростью V1 . На точку воздух действует с силой, модуль которой F kVотн2 , где k – заданный коэффициент, Vотн – скорость точки относительно воздуха. Силой тяже-

сти пренебречь.

Найти промежуток времени t1 , через который (абсолютная)

скорость точки станет равной V1 3 .

Д11 (2005). Вертикальный гладкий стержень толкает по гладкому неподвижному желобу точку массой m. Желоб имеет форму

параболы; уравнение параболы: y k x2 ( k const 0 ). Закон по-

37

тяжести пренебречь.

Найти модуль N(t) силы, с которой стержень действует на точку.

Д12 (2013). Материальная точка массой m находится на шероховатой наклонной плоскости. Коэффициент трения зависит от ко-

ординаты: f (x) 1 kx tg , где k 0 – заданная величина. Точка

начинает движение из положения x 0 со скоростью V0 , сонаправ-

ленной с осью x.

Найти путь s, пройденный точкой до остановки, и время t1 движения точки до остановки.

Д13 (2009). Тяжелая материальная точка A находится в неподвижной гладкой трубке. Трубка расположена в вертикальной плоскости и имеет форму окружности радиусом R. Точка начинает движение из положения O c пренебрежимо малой начальной скоростью.

Найти зависимость модуля a ускорения точки от высоты h точки над горизонтальным диаметром BD трубки.

38

Д14 (2014). Две одинаковые материальные точки движутся вдоль оси x. Силой тяжести пренебречь. На каждую точку действует

сила сопротивления среды, модуль которой F kmV 2 , где k 0 –

заданный коэффициент, m – масса точки, V – величина скорости точки. Первая точка начинает движение из начала координат со

скоростью 2V0 , вторая – из положения с координатой x L со скоростью V0 .

Найти промежуток времени t1 до встречи точек.

Динамика твердого тела

Д15 (1974). Тонкий прямолинейный однородный стержень длиной и массой m движется вокруг неподвижной точки O, опираясь свободным концом A на гладкую горизонтальную плоскость. Угол 0 2 задан.

Найти постоянную угловую скорость стержня, при которой давление стержня на плоскость равно нулю.

Д16 (1996). Однородный диск массой m и радиусом r может катиться без проскальзывания по расположенной в вертикальной плоскости неподвижной окружности с центром в точке O и радиусом R. Жесткость пружины равна с. Диск находится в равновесии в показанном на рисунке положении.

Найти период малых колебаний диска.

Д17 (1978). Тонкий однородный стержень AB массой m и длиной 2 падает, скользя концом A по гладкой горизонтальной плоскости. В начальный момент времени стержень занимал вертикальное положение; начальными скоростями точек стержня пренебречь.

Найти модуль реакции N( yC ) плоскости как функцию высоты yC центра масс С стержня над плоскостью.

Д18 (1997). Невесомый стержень AB длиной жестко прикреплен к вертикальному валу под углом . К концу A стержня при-

39

креплен точечный груз массой m. Вал вращается с постоянной угловой скоростью .

Найти момент M B пары сил, действующей на стержень AB в заделке B.

Д19 (1981). Однородный диск 1 массой m и радиусом R жестко скреплен с тонким однородным стержнем 2 массой m и длиной 2R (точка B стержня совпадает с центром диска). Это составное тело начинает движение из показанного на рисунке положения. Начальными скоростями точек тела пренебречь. Диск катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания.

Найти модуль VA скорости точки A в момент ее удара о плоскость.

Д20 (2006). Однородный стержень OAB состоит из двух частей массой m и длиной каждая. Стержень расположен в вертикальной

40