Теоретическая механика избранные задачи студенческих олимпиад ПНИПУ

(E –

точка

соприкосновения колес 4 и 2). Наконец, VA 1

и 2

VA VE

r . Учитывая, что в равновесии N a 0 для лю-

бой 1 , получаем

Ответ:

M 2

M1r

.

( R r) sin sin( ) 1

К задаче С39

К задаче С41

С42.

Ответ: M A mg .

С43.

Придадим стержню 3 возможную угловую скорость 3 .

лее

VK 2 3 и VN VE (2 ) VE VK

, откуда

VN 7 3

(V

K

и VN на рисунке показаны не в масштабе). Учитывая, что

в равновесии N a 0 для любой 3 , получаем

Ответ: F M (7 ) .

С44. Ответ: равновесие возможно при f

3 5 .

71

K3. Абсолютная скорость точки V

Vr Ve . Здесь Vr s k t0 ,

V

AB

MB

R(1 k t2 (2 ))

(для

шатуна

C B);

далее

e

OA

0

V

V

Vr2

Ve2 . Абсолютное ускорение

точки

a a r a e a Cor .

Здесь

a r

s k ,

ae aA aMAn aMA ( A – полюс),

aA OA2

R ,

aMAn 2AB AM k 2 OARt0 2 , aMA

AB AM ,

a Cor 2 ABVr 2 OAR k t0 .

Для отыскания AB находим aB

и, требуя, чтобы этот вектор был

направлен вдоль AB, получаем AB 0 . Далее

a

aA aMAn

ar 2

a 2Cor .

Ответ: V

k t0 2

OAR(1 k t02 (2 )) 2 ,

K4.

Ответ: VK .

K5.

На рисунке показано положение колечка при

t t0 . Абсо-

, Ve OA .

лютная скорость колечка V

Vr Ve , где V s 2 r t0

Учитывая,

что Ve V sin , OA 2R sin ,

ctg OC (2R) k 2 ,

получаем

r

Ответ:

.

t0 R 1 k 2 4

К задаче К5

К задаче К7

K7. Абсолютная скорость

точки

M

V

Vr Ve ,

где

Vr s k Rt ,

Ve R k Rt . Модуль

V

Vr2

Ve2 2VrVe cos .

Абсолютное

ускорение точки

M

a a r aen ae a Cor ,

где

ar s kR ,

aen 2R k 2Rt 2 ,

ae R kR ,

aCor 0 . Далее

ax aen ar sin , ay

ae ar cos ,

a ax2

ay2 .

Ответ: V 2k Rt

sin kt 2 4

,

a kR kt 2 sin kt 2 2 2

4sin 4 kt 2

4 .

74

K8. Ответ: Vr 1 2 4 .

K9. Скорость

точки

A V

A Vr Ve ,

где

VA 1 ,

Ve 2 R .

Отсюда

Vr

1

2 ,

2

(

2R) . Ускорение точки A a

A

a n

, где

1

A

aAn 21 . С другой стороны,

aA ar aen ae aCor ,

где

aen 22 R 21 2

(2R) . Проецируя последнее

векторное

уравнение

на

ось

x,

получим

К задаче К9

aAn

2 ar

aen , откуда находим ar .

Ответ: Vr 1

2 , ar

21 1

2 (2R) .

K10. Ответ: VA V (1 cos ) .

Vr s ,

Ve s . Так

K11. Скорость точки M V

Vr Ve , где

как Ve Vr tg , то

s ( ctg ) s . Интегрируя это дифференциаль-

К задаче К11

К задаче К13

K18. Ответ: VB

12 12 22 22 2 1 2 1 2 cos .

K19. На рисунке показано положение механизма при t t0

2 .

Скорость точки A VA 2 1R ; с другой стороны,

V

A VC VAC ,

где

VAC 2 R . Тогда (см. рисунок)

VAC VA

3

2 , VC VA

2 , откуда

находим

2

2 (6t

0

) ,

V

2 R (6

3 t

0

) .

Ускорение

точки

A

C

a

A

a n a ,

где

an 2 2 R ,

a 2

1

R .

С

другой

стороны,

A

A

A

1

A

aA aC aACn

aAC

,

где

aACn

22 R ,

aAC

2 R .

Тогда (см. рису-

нок) aC aACn

aAn

3

2 aA 2 , откуда находим aC .

Ответ: VC 2 R

(6

3 t0 ) ,

aC 3R

(108t02 ) 3

3 2 .

К задаче К19

R

r

aC2

V 2

(R

r ) 2

K20.

Ответ:

aA

1

1

aC

C

1

1

.

2r1

2R2r1

K21.

(скорость

точки

звена

2, совпадающей

Построив VO

К задаче К21

К задаче К23

K23.

Скорость уменьшения расстояния по горизонтали между

точками A и B равна V VA VB V

2 R2 r2

R2 r2 . Это

расстояние

s1 в момент

столкновения

найдем из

треугольника

ABK : s1

2R2 (R2 r2 ) .

Столкновение произойдет через проме-

жуток времени T s s1

V .

Ответ:

T

2 R2

r2

s

2R2 (R2 r2 ) .

r2

V R2

K24.

Ответ: 3 1(1 ) .

K25.

Построив мгновенный центр скоростей колеса, находим

VC

VC

CCV

CCV

,

V

A

V

AC

V

R CC

V

K26.

Ответ: VB 7 13VA .

K27.

Так как yA VA

и yM 3y A

4 , то yM 3VA 4

и yM 0 . Кроме того, так как

y A cos , то

yA sin , откуда

VA

( sin ) . Далее, так как xM 4 sin , то

xM 4 cos VA 4 ctg

78

Ответ: V V

0

1 kV 2

g .

1

0

4w g cos cos(2 ) .

Время будет минимальным, если cos(2 ) 1.

Ответ: 2 .

Д4.

Ответ: при f 2kr g .

Д5.

Уравнение движения точки: m a mg N

Q Fтр .

Про-

ецируя это уравнение на ось y, найдем N mg(cos ksin ) .

Если