Теоретическая механика избранные задачи студенческих олимпиад ПНИПУ

Д49 (1999). В узкий паз однородного диска массой m1 вставлен однородный стержень AB массой m 2 , длина которого равна

радиусу диска. Конец A стержня закреплен в центре O диска, и диск вращается с угловой скоростью 0 вокруг вертикальной оси z, пер-

пендикулярной плоскости диска. Затем конец A освобождается от закрепления, и стержень начинает двигаться вдоль паза. Трением пренебречь.

Найти угловую скорость 1 диска в тот момент времени, когда расстояние OA будет равно половине радиуса диска.

Д50 (2011). Колесо 2 и двойное колесо 3 катятся без проскальзывания по бруску 1, скользящему вдоль гладких направляющих. Колесо 3 также катится без проскальзывания по неподвижной гори-

зонтальной плоскости. Масса бруска равна m1 , масса колеса 2 (однородный диск) равна m2 , радиус равен r2 . Радиусы колеса 3 равны R3 и r3 . Массами колеса 3 и соединяющего центры колес

стержня пренебречь. На колесо 2 действует пара сил с заданным постоянным моментом M.

Найти ускорение a1 бруска.

Д51 (2000). Призма 1 массой m1 может скользить по гладкой

горизонтальной плоскости; угол известен. Горизонтальная пружина жесткости с соединяет призму с неподвижной опорой. По

51

призме может катиться без проскальзывания однородный цилиндр 2 массой m 2 . Нить, намотанная на цилиндр, перекинута через неве-

сомый блок 3 и прикреплена к неподвижной опоре. Один участок нити параллелен соответствующей грани призмы, другой – горизонтален.

Найти период колебаний системы.

Д52 (2012). Горизонтальный однородный диск массой m и радиусом R может свободно вращаться вокруг вертикальной оси z.

В момент времени t 0 угловая скорость диска равна 0 . Матери-

альная точка K (самоходный механизм) массой m движется относительно диска по закону x ut , y ut2 , где оси x и y связаны

с диском, u – заданная величина.

Найти угловую скорость 1 диска в момент времени t R(2u) .

Д53 (2002). Груз 1 скользит по гладкой плоскости, образующей заданный угол с горизонтом. Блок 2 (однородный диск) шарнирно соединен с подставкой 3, стоящей на шероховатой горизонтальной плоскости. Масса груза 1 равна m1 ; масса блока 2 равна m2 ;

массой подставки пренебречь. K блоку 2 приложена пара сил, постоянный момент M которой подобран так, что груз 1 имеет заданное постоянное ускорение a1 .

52

Найти минимальный коэффициент трения fmin между под-

ставкой и плоскостью, при котором подставка может оставаться неподвижной (ширина подставки достаточна, чтобы исключить ее опрокидывание).

Д54 (2012). Призма 1 массой m1 лежит на гладкой горизон-

тальной плоскости. С призмой шарнирно соединен однородный стержень 2 длиной и массой m2 . Система начинает движение из

состояния покоя, когда стержень перпендикулярен наклонной грани призмы. Угол известен.

Найти расстояние s, на которое переместится призма, когда стержень упадет на призму.

Д55 (2003). Горизонтальная квадратная платформа может вращаться без трения вокруг неподвижной вертикальной оси z, проходящей через одну из вершин квадрата. Длина стороны квадрата равна a; момент инерции платформы относительно оси z равен J z .

Вдоль стороны платформы расположен гладкий желоб, по которому может скользить точка массой m. Точка прикреплена к пружине, другой конец которой прикреплен к вершине платформы. Жесткость пружины равна c, естественная длина равна a. В начальный момент времени система неподвижна и длина пружины равна a2 .

Найти угловую скорость платформы в тот момент времени, когда длина пружины будет равна a.

Д56 (2012). Стержень 1 массой m1 лежит на двух невесомых катках. Блок 2 – однородный диск массой m2 и радиусом R. К нити, прикрепленной к центру катка и перекинутой через блок, приложе-

53

на постоянная сила F . Проскальзывание между стержнем и катками и между катками и горизонтальной плоскостью отсутствует.

Найти ускорение a1 стержня 1.

Д57 (2005). Через блок 3 (однородный диск) массой m3 пере-

кинут канат. Блок может вращаться без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси O. Канат относительно блока не скользит. К одному концу каната прикреплен груз 2 массой m2 . Другой конец

каната пропущен через отверстие в грузе 1. Груз 1 имеет массу m1

и может скользить с трением относительно каната. Массой каната пренебречь. Известно, что абсолютное ускорение груза 1 равно нулю.

Найти модуль a2 абсолютного ускорения груза 2.

К задаче Д58

Д58 (2013). Доска массой m1 скользит по гладкой горизонтальной плоскости с заданным постоянным ускорением a1 . На доску

действует сила F(t) . По доске движется точка (самоходный механизм) массой m2 по закону s(t) Asin k t ( C1 – центр масс доски).

Найти проекцию Fx (t) силы F(t) на ось x.

54

Д59 (2005). Механическая система состоит из однородной прямоугольной вертикальной пластины 1 массой m1 и точки D мас-

сой m2 . Пластина перемещается по шероховатой горизонтальной плоскости; коэффициент трения равен f. С1 – центр масс пластины. Точка D движется (под действием внутренних сил) по круговому желобу радиусом R и с центром С1 . Угол AC1D меняется по законуkt , где k – заданная постоянная. Обозначим через x1 координату точки С1 . В начальный момент времени ( t 0) x1 0 и x1 V0 0 .

Найти закон движения x1(t) пластины до ее остановки, считая, что пластина не отрывается от плоскости ( b const ).

жащий на нем однородный стержень массой m2 и длиной могут

вращаться вокруг неподвижной оси. На конце стержня закреплена невесомая точка K (самоходный механизм). В начальный момент времени диск и стержень неподвижны. Затем точка K начинает (за счет внутренних сил в системе) двигаться по диску с постоянной по модулю относительной скоростью u .

Найти угловую скорость , с которой начнет вращаться диск.

Д61 (2006). Механизм расположен в вертикальной плоскости. Кривошип 1 и шатун 2 – однородные стержни массой m и длиной каждый. Масса ползуна 3 равна m. Механизм начинает движение из

55

состояния покоя, когда 0 – заданная величина ( 0 2 ). Трением пренебречь.

Найти горизонтальную составляющую X A реакции цилиндрического шарнира A в момент времени, когда угол станет равным нулю.

К задаче Д61 К задаче Д62

Д62 (2013). Грузы 1 и 2 массами соответственно m1 и m2 –

шероховатые. Плоскость также шероховатая. Коэффициент трения между грузом 1 и плоскостью и коэффициент трения между грузами равны f. Массой блока пренебречь. К грузу 1 приложена задан-

ная постоянная сила F , под действием которой система приходит в движение.

Найти ускорение a1 груза 1.

Д63 (2006). Трос прикреплен к плите 1, перекинут через блок 2 и намотан на блок 3, установленный на плите. К блоку 3 приложена пара сил с заданным постоянным моментом M. Масса плиты равна m1 ; блоки 2 и 3 –

однородные цилиндры массами m2 и m3 соответственно; радиус блока 3 равен R. Мас-

Д64 (2014). Масса груза 1 равна m; масса точки 2, прикрепленной к ободу колеса радиусом r, равна m2 . Массами остальных час-

тей конструкции пренебречь. Призма находится на гладкой плоско-

56

сти. Система начинает движение из состояния покоя из показанного на рисунке положения.

Найти расстояние s, на которое переместится призма, когда груз 1 пройдет расстояние L вдоль вертикальной грани призмы.

Д65 (2009). Механизм расположен в горизонтальной плоскости. В показанном на рисунке положении стержень OA имеет угловую скорость 1 и угловое ускорение 1 ; к этому стержню прило-

жена (переменная) пара сил. Масса однородного стержня OA равна m 1 , масса ползуна B равна m 2 , массой стержня AB пренебречь.

Длина стержня OA равна R.

Найти момент M пары сил в этом положении механизма.

Д66 (2014). Колёса (однородные диски) 1 и 2 катятся без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Колесо 1 имеет массу

m1 и радиус r, колесо 2 имеет массу m2 и радиус r2 , массой кор-

57

Ответы и решения

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

СТАТИКА

С1. Уравнения равновесия плиты:

Fx xB T cos cos 0 ,

Fy mg sin yA yB T cos sin 0 ,

Fz mg cos z A zB T sin 0 ,

mx mg cos BD2 T sin BD 0 ,

my mg cos DH2 z A DH T sin DK 0 ,

mz mg sin DH2 y A DH 0 .

К задаче С1

С2. Ответ: T mg 6 .

58

С3. При равновесии бруса mAB (mg) mAB (T ) 0 . Для вычисления моментов введем систему координат Ax yz и учтем, что

mAB mx cos my cos mz cos ,

где , , – углы, образуемые прямой AB с осями x, y, z. Так как

Ответ: T mg4 .

К задаче С3

С4. Ответ: при m M 2 .

С5. Искомое множество значений определяется из требования совместности уравнений равновесия стержня и неравенств, выражающих закон Кулона и условие прилегания точки A к плоскости. Уравнения равновесия стержня:

mx mga2 Nr cos Fтрz a 0 , mz Nr sin Fтрxa 0 .

Уравнение my 0 , как легко убедиться, является следствием

Несложный алгебраический расчет показывает, что при far 1 эта

Замечание: если к закону Кулона добавить требование, что сила трения направлена в сторону, противоположную той, куда действующие на тело силы стремятся его сдвинуть, то можно показать, что ответ изменится, а именно, стержень тогда может находиться

в равновесии при 0 arctg far .

С6. Ответ: F 5mg ; силу следует приложить в одной из двух точек пересечения окружности диска и прямой, проходящей через центр диска и центр масс C системы точек A1 , A2 ; сила направлена

60