Теоретическая механика избранные задачи студенческих олимпиад ПНИПУ

Tнач Пнач Tкон Пкон ,

где Tнач 0 , Пнач m2 gH (высота отсчитывается от уровня неподвижной плоскости; потенциальная энергия призмы не меняется и ее можно считать равной нулю), Tкон m1V12 2 m2V22 2 , Пкон 0 .

Учитывая, что V22 V22r V22e 2V2rV2e cos и исключая V2r , получим

К задаче Д43 К задаче Д47 К задаче Д51

Д47. Согласно теореме об изменении кинетической энергии

91

скорость точки A в виде VA VAr VAe , где VA 1 , VAe V2 . То-

Д49. Согласно закону сохранения кинетического момента

m1R2 2 m 2 2 3 0 m1R2 2 m 2 2 12 m 2 OC 2 1 ,

где R – радиус диска, R – длина стержня, С – центр масс стержня. Здесь использована теорема Гюйгенса–Штейнера для стержня и учтено, что относительное движение стержня не вносит вклад в кинетический момент относительно оси z. В указанный в условии задачи момент времени OC R .

Ответ: 1 m1 2m 2 3 0 . m1 13m 2 6

Д51. Выберем в качестве обобщенной координаты системы перемещение x призмы; в положении равновесия x 0 . Кинетическая энергия системы

T m1V12 2 m2VC2 2 JCz 22 2 .

Учитывая, что

B m1 m2 118 cos .

П const cx2 2 ( ст таково, что слагаемое, пропорциональное x, обращается в нуль). Период колебаний 2 Bc .

Ответ: 2 m1 m2 118 cos c .

Д52. Ответ: 1 8 0 13.

внешним силам, действующим на систему, силу инерции F ин m1a1

и пару сил инерции, момент которой M ин m2 R22 2 2 . Проекции

главноговектора полученной системы сил на оси x и y равны нулю:

Fтр m1a1 cos N1 sin 0 ,

N3 m2 g m1g N1 cos m1a1 sin 0 .

Отсюда, с учетом того что N1 m1g cos , находим Fтр и N3 . Далее, должно выполняться неравенство Fтр f N3 . Приведя его к виду f fmin , получаем

93

Подставляя в последнее равенство полученные выше выражения для Vr , Ve и затем подставляя V 2 в закон сохранения полной энергии, находим

(m1 m2 )aC N (m1 m2 )g Fтр .

94

Проецируя это уравнение на оси x, y и учитывая, что (при движении

Подставляя два последних равенства в выражение, содержащее

ренцируя последнее равенство дважды по времени и полагая 0 ,1 , получим xC 4 3 21 ; таким образом, X A 4m 21 .

Д62. Ответ: a1 F (m1 3m2 ) fg . m1 m2

К задаче Д57 К задаче Д63

где Q 2M R (m1 m3 )g . Из теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме (или из уравнения Лагранжа) следует, что a 1x QB ; a 1 a 1x .

Ответ: a 1 2M R (m1 m3 )g . m1 m2 2 3m3

Д64. Ответ: s (r3)(1 cos(Lr)) .

96

Д65. Уравнение вращательного движения стержня OA:

m1R2 3 1 M N1R 2 .

Уравнение поступательного движения ползуна B: m2aB N1 2 . Из этих уравнений следует, что M m1R2 3 1 Rm2aB . Найдем aB (кинематическая часть задачи). Так как стержень AB совершает

К задаче Д65

Ответ: M m1 1 3 m2 1 21 R2 .

Д66. Ответ: 1 4 M (3(m1 m2 )r 2 ) .

97

Список литературы

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

1.Березина С.Г., Пушкарев А.Э. Задачи олимпиад Удмуртии по теоретической механике 2000–2004 гг. с ответами и решениями. – Ижевск.: Изд-во ИжГТУ, 2005. – 80 с.

2.Березкин Е.Н. Решение задач по теоретической механике. –

М.: Изд-во МГУ, 1973. – Ч. 1. – 92 с.

3.Березкин Е.Н. Решение задач по теоретической механике. –

М.: Изд-во МГУ, 1974. – Ч. 2. – 136 с.

4.Березова О.А., Друшляк Г.Е., Солодовников Р.В. Теоретиче-

ская механика: сб. задач. – Киев.: Вища школа, 1980. – 400 с.

5.Будник Ф.Г., Зингерман Ю.М., Селенский Е.И. Сборник за-

дач по теоретической механике. – М.: Высшая школа, 1987. – 176 с.

6.Кирсанов М.Н. Решебник. Теоретическая механика. – М.:

Физматлит, 2002. – 384 с.

7.Методические указания по решению нестандартных задач механики / сост. А.Н. Борисова, А.А. Рыков. – Новосибирск: Изд-во Новосибир. электротехн. ин-та, 1989. – 48 с.

8.Механика. Научные исследования и учебно-методические разработки: междунар. сб. науч. тр. / под ред. А.О. Шима-

новского. – Гомель: БелГУТ, 2007. – Вып. 1. – 107 с.

9.Механика. Научные исследования и учебно-методические разработки: междунар. сб. науч. тр. / под ред. А.О. Шима-

новского. – Гомель: БелГУТ, 2008. – Вып. 2. – 148 с.

10.Механика. Теория, задачи, учебно-методические разработки: сб. науч. тр. / под ред. А.О. Шимановского. – Гомель:

БелГУТ, 2006. – 144 с.

11.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механи-

ке. – М.: Наука, 1981. – 480 с.

12.Попов А.И. Творческие задачи динамики. – Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2012. – 80 с.

98

13.Попов А.И. Теоретическая механика. – Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2010. – 188 с.

14.ПоповА.И. Механика. Решение творческих задач динамики. – Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2009. – 88 с.

15.Попов А.И. Механика. Решение творческих профессиональных задач. – Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2007. – Ч. 2. – 80 с.

16.Попов В.И., Тышкевич В.А., Шумский М.П. Сборник олим-

пиадных задач по теоретической механике. Часть 1: Статика и кинематика. – Тамбов: Изд-во ТИХМа, 1992. – 104 с.

17.Попов В.И., Тышкевич В.А., Шумский М.П. Сборник олим-

пиадных задач по теоретической механике. Часть 2: Динамика. – Тамбов: Изд-во ТИХМа, 1992. – 124 с.

18.Сборник задач по теоретической механике / Н.А. Бражни-

ченко [и др.]. – М.: Высшая школа, 1974. – 520 с.

19. Сборник задач по теоретической механике / под ред.

К.С. Колесникова. – М.: Наука, 1989. – 448 с.

20.Сборник конкурсных задач олимпиад по теоретической механике / под ред. А.В. Чигарева. – Минск: Тэхналогiя, 2000. – 281 с.

21.Сборник олимпиадных задач по теоретической механике. Часть 1: Статика / А.И. Попов [и др.]. – Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2006. – 96 с.

99

Учебное издание

Воронович Нелли Александровна, Осипенко Михаил Анатольевич

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Избранные задачи студенческих олимпиад ПНИПУ

Издание второе, дополненное и исправленное

Корректор Е.М. Сторожева

Подписано в печать 11.12.2014. Формат 90×60/90. Усл.печ.л. 6,25. Тираж 100 экз. Заказ № 232/2014.

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета Адрес: 614000, г. Пермь, Комсомольскийпроспект, 29, к. 113.

тел.: (342) 219-80-33