Теоретическая механика избранные задачи студенческих олимпиад ПНИПУ

Найти момент M1 пары сил, приложенной к стержню KA .

С40 (2007). Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, состоит из рейки 1, колеса 2 радиусом R и стержня 3. Рейка может двигаться в гладких направляющих, колесо соприкасается с рейкой без проскальзывания в точке B, стержень шарнирно соединен с точкой A на ободе колеса. Угол известен. На колесо действует пара сил, момент которой равен M.

Найти модуль силы F , которую нужно приложить к рейке параллельно направляющим, чтобы механизм находился в равновесии в показанном на рисунке положении.

С41 (2001). Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Длина стержня 1 OA . Радиусы зубчатых колес 2 и 4 равны r и R соответственно. Углы: AOD ; ACB ; стержень 3 па-

раллелен прямой OD. К стержню 1 приложена пара сил с моментом M1 . Механизм находится в равновесии в показанном на рисунке

положении.

Найти момент M 2 пары сил, приложенной к колесу 2.

С42 (2009). Система расположена в вертикальной плоскости. Горизонтальные стержни AB и BD соединены шарниром B. В точке D прикреплен трос, другой конец которого прикреплен к непод-

21

Найти, при каких значениях f коэффициента трения между стержнями и плоскостью, такое равновесие возможно.

мать брусок, чтобы в показанном на рисунке положении система оставалась в равновесии (цилиндр не приподнимался над полом)?

в вертикальной плоскости и находятся в равновесии. Найти момент MC в скользящем соединении стержней.

23

КИНЕМАТИКА

Кинематика составного движения точки

К1 (1976). Диск радиусом R вращается вокруг своего диаметра

так, что в каждый момент времени 2 0 ( – модуль угловой скорости, – модуль углового ускорения). По окружности диска движется точка M ; модуль (переменной) относительной скорости

точки Vr R .

Найти угол для тех положений точки M, в которых абсолютное ускорение этой точки лежит в плоскости диска.

К2 (2008). Концы стержня AB шарнирно соединены с ползунами A и B. Ползуны перемещаются по двум неподвижным направ-

ляющим, угол между которыми равен 2 . Вдоль стержня от A к B

движется колечко M. В некоторый момент времени колечко совпадает с точкой K стержня, абсолютная скорость которой имеет минимальное значение при данном положении стержня. В этот мо-

мент времени скорость колечка относительно стержня V1 3u , скорость ползуна VB 2u , угол 3 .

Найти абсолютную скорость VM колечка в данный момент времени.

К3 (1985). Кривошип OA длиной R вращается с постоянной угловой скоростью OA . По шатуну AB длиной скользит колечко M

по закону AM s k t 2 2 , где k 0 – заданная величина. В момент времени t0 кривошип занимает правое горизонтальное положение.

Найти модуль V абсолютной скорости и модуль a абсолютного ускорения колечка в этот момент времени.

К4 (2009). Стержни OA и DB, вращающиеся вокруг перпендикулярных рисунку неподвижных осей O и D, соединены прямоугольной крестовиной, скользящей по каждому из стержней. Угловая скорость стержня OA равна , расстояние DO . В некоторый момент времени BDO .

24

Найти модуль VK скорости центра K крестовины в этот момент времени.

перпендикулярной плоскости рисунка. Известно, что

где t0 , k – заданные величины.

Найти угловую скорость стержня 2 в момент времени t t0 .

К6 (2010). Стержень OAB вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси O, перпендикулярной рисунку. Нерастяжимая нить привязана к неподвижной опоре, перекинута через бло-

25

ки и привязана к ползуну D. Размеры OA 2 , AB ; радиусы блоков равны R. В некоторый момент времени участки 1 и 2 нити перпендикулярны стержню и параллельны направляющим ползуна D.

Найти модуль VD скорости ползуна D в этот момент времени.

К7 (1990). Кривошип OA длиной R вращается вокруг неподвижной оси O, перпендикулярной плоскости рисунка, по закону

(t) k t 2 2 , где k 0 – заданная величина. По

стержню AB, сохраняющему вертикальное поло-

жение, движется точка M по закону

К8 (2011). Стержень 1 вращается с угловой скоростью 1 .

Ползун A может скользить по стержню 2. Колечко K может скользить как по стержню 2, так и по неподвижному стержню 3. Расстоя-

ния OA OD ; OB 2 .

Найти скорость Vr колечка K относительно стержня 2 в пока-

стержня постоянна. Точка А стержня движется в прямолинейной прорези креста. В показанном на рисунке положении механизма расстояние O2 A R .

Найти в этом положении механизма модуль Vr скорости и модуль ar ускорения точки A относительно креста.

К10 (2011). Колечко K движется вдоль прямой L с постоянной

скоростью V . Через колечко продета нить, привязанная одним концом к неподвижной точке O, а другим концом – к ползуну A, движущемуся вдоль прямой L. В некоторый момент времени участок KO нити образует угол с прямой L.

Найти скорость VA ползуна A в этот момент времени.

К11 (2007). Диск вращается вокруг неподвижной оси O с постоянной угловой скоростью . По радиусу диска движется точка M так, что ее абсолютная скорость составляет постоянный угол с отрезком OM. В начальный момент времени s s0 .

Найти закон s (t) движения точки относительно диска.

К12 (2012). Стержень OA вращается с угловой скоростью ; ползун скользит по стержню BD. Расстояния OA OB , BA (в показанном на рисунке положении механизма).

27

В этом положении построить мгновенный центр скоростей P ползуна и найти расстояние AP.

К13 (2008). Колечко M соединяет прямолинейный вертикальный стержень NO и стержень ABD, имеющий форму дуги параболы. Стержень NO неподвижен; стержень ABD скользит по неподвижной горизонтальной плоскости по закону s(t) OC ut , где u const 0 . Рас-

стояния BC 1 , AC CD 2 .

Найти модуль VM абсолютной скорости колечка M в момент времени t1 2 (3u) .

К задаче К12 К задаче К13

К14 (2013). Куб с длиной ребра вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью . Вдоль желоба движет-

ся точка M по закону OM s(t) 2(2 sin t)4 .

28

Найти абсолютную скорость V точки M в момент времени t1 (2 ) .

Кинематика плоского движения твердого тела и системы

К15 (1993). Диск радиусом R катится с проскальзыванием по неподвижной плоскости. В некоторый момент времени известны

VC , aC ; известно также, что aB 0 , и задано направление поворота диска (величина не задана).

Найти в этот момент времени модули VA и VD скоростей точек A и D.

К16 (1999). Стержень AB длиной шарнирно соединен с ползунами A и B. Ползун A перемещается по неподвижным прямолинейным направляющим. Ползун B перемещается вдоль неподвижной

окружности радиусом R с постоянной по модулю скоростью VB .

Найти те положения ползуна B, при которых угловая скоростьAB стержня AB равна нулю, и в этих положениях найти угловое

ускорение AB стержня AB и ускорение aA ползуна A.

29

К17 (1995). Длины стержней OA AB . В показанном на рисунке положении механизма DOA OAB 2 , BDO ;

скорость VD и угловая скорость OA известны.

Найти в этом положении модуль VB скорости точки B.

К18 (2000). Стержни OA, OC шарнирного параллелограмма вращаются с угловыми скоростями 1 , 2 . Длины стержней

OA 1 , OC 2 . В некоторый момент времени стержни образуют угол .

Найти модуль VB скорости точки B в этот момент времени.

К19 (1996). Стержень 1 длиной 2R вращается вокруг перпендикулярной рисунку неподвижной оси O по закону

1(t) 3 sin t3t0 ,

где t0 0 – заданная величина. Конец A стержня шарнирно соеди-

нен с диском 2 радиусом R, который может скользить по неподвижным прямолинейным направляющим.

Найти модуль VC скорости и модуль aC ускорения центра C диска в момент времени t t0 2 .

К20 (2002). Ступенчатое колесо 1 с радиусами R1 , r1 и колесо 2 радиусом R2 , катящиеся без проскальзывания по горизонталь-

30