Демонстрационный курс лекций по начертательной геометрии Модуль 1. То
.pdf
Способы задания плоскости
1 2
|
|
С |
В |
|
|
m |
|
|
|
|
||||
А2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
В2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
С1В |
|
|
1 |
|
|
m |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
А1 |
1 |
|
|
|
|
В1 |
1 |
|
|
|
||
(А,В,С) (В,m)
3 |
n2 |
|
|
m2 2 |
|
m n
1 1 1
(n m)
4
m2 2
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
m |
1 |
|
1 |
||
(n m)
На комплексном чертеже плоскость можно задать: 1) проекциями трех
точек, не лежащих на одной прямой; 2) проекциями прямой и точки, взятой вне этой прямой; 3) проекциями двух пересекающихся прямых; 4) проекциями двух параллельных прямых;
Способы задания плоскости
5 |
|
С |
|
2 |
В |
А2 |
2 |
2 |
С1
А1 1 В1
( АВС)
След плоскости – это линия ее пересечения с
6соответствующей плоскостью проекций
|
П2 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
2 |
|
х |
||
x |
|
|
x |
|||
|
|
х |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
y y |
|
||
1 - горизонтальный след2 - фронтальный след3 - профильный след
x , y , z - точки схода следов
2
1
( 1 , 2)
5) проекциями плоской фигурой; 6) следами плоскости. Все способы позволяют выделить из множества точек пространства точки, принадлежащие данной плоскости. Способ задания плоскости указывают в круглых скобках
Положение плоскости относительно плоскостей проекций
Плоскость общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций
Плоскость частного положения перпендикулярна или параллельна одной из плоскостей проекций
Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей |
|
||
проекций, называется проецирующей плоскостью: |
|
|
|
Горизонтально проецирующая плоскость |
|
|
|
П1 |
|
|
|
Фронтально проецирующая плоскость |
П2 |
||
Профильно проецирующая плоскость |
П |
||
Плоскость, параллельная плоскости проекций, назы- |
3 |
||
вается плоскостью уровня (дважды проецирующей): |
|
||
Горизонтальная плоскость |
П1 |
|
|
Фронтальная плоскость |
П2 |
|
|
Профильная плоскость |
П3 |
|
|
Горизонтально проецирующая плоскость ( П1)
Пространственная картина
z
П2
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
y
Комплексный чертеж
2 |
В2 |
|
|
|
|||
x |
А |
|
|
C2 |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хА1 В |
|
C |
|
|
||
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Горизонтальная проекция плоскости вырождается в прямую (след), на
П1 проекции трех произвольных точек плоскости лежат на горизонтальном следе плоскости 1 . Углы наклона данной плоскости к фронтальной ( ) и профильной ( ) плоскостям проекций на П1 не искажаются
Фронтально проецирующая плоскость ( П2)
Пространственная картина
z
П2
x |
|
z |
х |
|
|
|
|
y
Комплексный чертеж
|
|
В |
|
C |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
А |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
||
х |
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
В |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
1 |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Фронтальная проекция плоскости вырождается в прямую (след). На П2
проекции трех произвольных точек плоскости лежат на фронтальном следе плоскости 2 . Углы наклона данной плоскости к горизонталь-ной ( ) и профильной ( ) плоскостям проекций на П2 не искажаются
Профильно проецирующая плоскость ( П3)
Пространственная картина
z
П2
2 |
z |
x
3
|
1 |
y |
|
|
y
Комплексный чертеж
|
2 |
|
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|||||
|
А |
А |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
В2 |
|
|
|
|
|
В3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
3y3 |
||||
|
|
|
А |
|
|
2 |
|
|
y |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
В |
|
1 |
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
y |
y1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Профильная проекция плоскости вырождается в прямую (след). На П3
проекции трех произвольных точек плоскости лежат на профильном следе плоскости 3 . Углы наклона данной плоскости к горизонталь-ной ( ) и фронтальной ( ) плоскостям проекций на П3 не искажаются
Горизонтальная плоскость уровня ( П1)
Пространственная картина |
Комплексный чертеж |
|||||
П2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
В |
C |
|
|
|
2 |
||||
2 |
z |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
н.в. |
x |
|
В1 |
|
|||||
|
|||||
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
А1 
н.в. C1
y
В силу параллельности следы (фронтальный 2 и профильный 3 ) плоскости будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая плоскость , проецируется в натуральную величину
на горизонтальную плоскость проекций
Фронтальная плоскость уровня ( П2)
Пространственная картина
z
П2
x н.в. 3
1 |
y |
y
Комплексный чертеж
н.в.
А2 
C2
В2
x
1 А1 
В1 C1
В силу параллельности следы (горизонтальный 1 и профильный 3 ) плоскости будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая плоскость , изображается в натуральную величину
на фронтальной плоскости проекций
Профильная плоскость уровня ( П3) |
||||||||
Пространственная картина |
Комплексный чертеж |
|
||||||
|
П2 |
|
z |
|
2 |
z |
В3 н.в. |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
В2 |
|
|||
x |
|
y |
|
|
C2 |
|
C3 |
|
|
|
x |
А2 |
|
А3 |
|
||
|
|
|
|
|
y3 |
|||
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
В11 |
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
y1 |
|
||
|
|
|
y |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
В силу параллельности следы (горизонтальный 1 |
и фронтальный 2 ) |
|||||||
плоскости будут параллельны соответствующим осям координат. |
|
|||||||
Фигура, задающая плоскость , проецируется в натуральную величину |
||||||||
на профильную плоскость проекций |
|
|
|
|
|
|||
Принадлежность прямой плоскости
1 |
а2 |
1 |
m2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
n2 |
|
|
22 |
|
21
n1
а1 11 m1
1
(n m) (1 m) ; (2 n)
а (1 2) а
2 |
1 |
|
b2 |
|
||
2 |
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
m2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n1 |
|
m |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
||||
|
|
|
||||
|
(n m)b1 |
|||||
|
(1 m) ; |
1 b |
||||
b n b
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит:
1)через две точки этой плоскости;
2)через одну точку плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости