Анализ и расчет электротехнических устройств с использованием линий с распределенными параметрами (96
..pdf
Следует построить графики этих зависимостей (рис. 5).
Рис. 5. Частотные зависимости амплитуды и фазы волнового сопротивления:
а– амплитудная характеристика волнового сопротивления;
б– фазовая характеристика волнового сопротивления
3.ОПИСАНИЕ ВХОДНОГО СИГНАЛА
3.1. Импульсный сигнал
Сигнал называется импульсным, если он отличен от нуля на конечном интервале времени. На вход линии подается простейший импульсный сигнал – одиночный прямоугольный импульс (рис. 6). Аналитически он описывается так:
e(t) = Em [1(t) −1(t −τ)] , |
(6) |
11
где 1(t) – единичная функция. Для ее описания использована
функция |
единичного включения (функция Хевисайда): 1(t) = |
|
1, если t ≥ 0 |
. |
|
= |
|
|
0, если t < 0 |
|
|
Рис. 6. Одиночный импульсный сигнал
Спектральную плотность сигнала (6) определяют по формуле
F(ω) = ∞∫e(t)exp(− jωt)dt =Em ∫τ exp(− jωt)dt . |
(7) |
|
0 |
0 |
|
Интеграл (7) может быть вычислен, поэтому спектральную плотность считают заданной в аналитическом виде.
3.2. Периодический сигнал
Другим типом входного сигнала является периодическая последовательность одиночных прямоугольных импульсов, описанных в разд. 3.1. Периодический сигнал (рис. 7) может быть представлен
k =∞
следующим образом: eT (t) = ∑e0 (t −kT ). Его спектральное пред-
k =−∞
ставление (дискретный комплексный спектр) есть последователь-
ность спектральных компонент {As }s=0,±1,±2... . Они |
являются коэф- |
||||
фициентами ряда Фурье для периодического сигнала |
|||||
s=∞ |
|
2π |
|
|
|
eT (t) = ∑ As exp( jωst), |
ωs = k |
= k2πf . |
(8) |
||
|
|||||
s=−∞ |
|
T |
|
||
12
0
Рис. 7. Периодический импульсный сигнал
Спектральные компоненты ряда (8) вычисляют по известным формулам
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
A = |
|
|
∫T |
e |
(t)exp(− jω |
t)dt = |
|
E(ω |
). |
(9) |
||
|
|
|
||||||||||
s |
T |
|
T |
s |
|
T |
s |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как сигнал представлен четной функцией времени, спектральные компоненты (9) вещественны.
Спектральные компоненты { As }s=0, ±1, ±2... могут быть вычислены
при известной спектральной плотности и поэтому считаются известными в аналитическом виде.
4. ПОЛОСКОВАЯ ЛИНИЯ КАК ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
Любая длинная линия представляет собой четырехполюсник: к входной паре полюсов подключается источник напряжения (в общем случае – любой активный двухполюсник), а к выходной паре полюсов подключена нагрузка.
Предполагая, что входной сигнал гармонический, для четырехполюсника вводят понятие коэффициента передачи по напряже-
i
нию Ku = Ui 2 как отношение комплексной амплитуды на выходе к
U1
комплексной амплитуде на входе. В случае согласованной нагрузки коэффициент передачи называют характеристическим передаточным коэффициентом H. Для любого четырехполюсника он
равен K (ω) = e−γl , где γ – характеристический коэффициент передачи, l – длина линии. В частном случае согласованной по нагруз-
13
|
|
i |
ке длинной линии комплексная амплитуда на выходе U зависит от |
||
i |
i |
i |
комплексной амплитуды на входе E : |
U = e−γl E. Следовательно, |
|
для согласованной длинной линии характеристический передаточный коэффициент носит название передаточной функции длинной
линии: K (ω) = e−α(ω)l e− jβ(ω)l . Коэффициенты ослабления и фазы
можно рассчитать только численно с использованием компьютера, поэтому и передаточная функция должна быть включена в общий алгоритм вычислений.
5. ОПИСАНИЕ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА
5.1. При импульсном входном сигнале
Выходной сигнал любого четырехполюсника определяется как непрерывная суперпозиция гармоник c помощью прямого преобразования Фурье
u(t) = |
1 |
∞∫ K (ω)F(ω)exp( jωt)dω. |
(10) |
|
|||
|
2π−∞ |
|
|
Амплитуды гармоник определяются спектральной плотностью выходного сигнала (10). Эта плотность естественным образом представляет собой спектральную плотность входного сигнала, умноженную на передаточный коэффициент четырехполюсника:
F(ω)вых = K (ω)Fвх (ω).
Наибольший интерес представляет не реальный выходной сигнал, а его отклонение от идеального (ожидаемого) выходного сигнала, т. е. от сигнала e0 (t). Это отклонение позволяет оценить
качество передачи через длинную линию. Значение отклонения определяют по формуле
δu(t −l / v) =u(t) −e0 (t −l / v) =ua (t −l / v) −e0 (t −l / v), |
(11) |
||
где |
|
||
ua (t) = |
1 |
∞∫Ka (ω)F(ω)cos(ωt)dω, Ka (ω) = e−α(ω)l . |
(12) |
π |
|||
0 |
|
||
14
В формулах (11) и (12) учтено, что в реальной линии β(ω)l = ωl / v. Это условие называется отсутствием фазовой дис-
персии (фазовая скорость не зависит от частоты).
Аналитический расчет целесообразно провести и во временной области с использованием преобразования Лапласа. Передаточная
характеристика цепи имеет вид K( jω) = e−γl . При малых значениях γ = α+ jβ характеристику можно представить в виде
e−γl = |
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
||
1 |
+αl |
+ jωβотнl |
|
||||||||
тогда |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
K (s) = |
|
|
, |
|
(13) |
||||||
1 +αl + sβl |
|
||||||||||
а изображение выходного сигнала |
|
|
|
|
|
||||||
U (s) = |
|
|
|
1 |
|
(1 |
−e−sτ ). |
(14) |
|||
s(1 +αl + sβотн ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
При расчетах следует сравнить результаты, полученные с помощью преобразования Фурье (10) и Лапласа (14).
5.2. При периодическом входном сигнале
Если входной сигнал периодический, то периодическим (с тем же периодом) является и выходной сигнал. Следовательно, его можно представить в виде суммы гармоник кратных частот (в виде ряда Фурье)
s=∞ |
|
uT (t) = ∑Bs exp( jωst). |
(15) |
s=−∞
Каждая гармоника входного сигнала (15) распространяется через длинную линию независимо от других гармоник, и ее амплитуда умножается на коэффициент передачи линии на частоте данной гармоники:
Bs = K (ωs ) As .
Зная выражения для As и K (ωs ) = Ka (ωs )e− jωs L
v (при отсутствии фазовой дисперсии), получим
15
k =∞ |
|
uT (t) = ∑ Ka (ωs ) Ak e− jωs L ve jωst =uT ,а (t −l / v). |
(16) |
k=−∞
Всилу четности слагаемых относительно s выражение (16) можно записать в виде
s=∞
uT ,a (t) = ∑ Ka (kω ) A(kω )cos(kωk t +βk l).
k =0
Оценкой качества работы линии является отклонение выходного сигнала от идеально прошедшего входного, т. е.
δuT (t −l / v) =uT ,а (t −l / v) −eT (t −l / v). |
(17) |
Отклонение (17) имеет период Т, поэтому его достаточно анализировать в пределах одного периода.
6. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ПЭВМ
При выполнении расчетов необходимо использовать только введенные выше обозначения и единицы измерений.
6.1. Расчет коэффициента ослабления и коэффициента фазы
Ввести универсальные постоянные ε0 , μ0 . Рассчитать ско-
рость распространения сигнала в вакууме.
Ввести геометрические параметры линии и параметры материалов (свойства диэлектрика и проводника). По ним рассчитать первичные параметры линии: погонные емкость, индуктивность, проводимость и сопротивление.
Построить зависимости погонных параметров (сопротивления и проводимости) от частоты: R0 = f1 (ω) и G0 = f2 (ω).
Дискретность частоты связать с длительностью импульса ω= 0,1/ τ. Частотный диапазон выбрать расчетом [0; 10 / τ ].
Выбранные дискретность частоты и диапазон ее изменения сохранять при построении всех графиков частотных зависимостей.
Вычислить и построить графики для амплитуды и фазы волнового сопротивления (см. рис. 5, а, б):
16
Z (ω)В = 4 |
(R (ω))2 +(ωL )2 |
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
(G |
|
(ω)2 + |
(ωC )2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
G0 (ω) |
− |
|
R0 (ω) |
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
ωL |
|
|
|
||||||||
ψ(ω) = |
|
arctg |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
. |
|||
2 |
|
|
|
|
|
R0 (ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
+ |
|
+ |
|
G0 (ω) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ωL |
|
|
|
ωC |
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Волновое сопротивление в широком диапазоне частот является практически постоянной вещественной величиной.
Вводят формулы для коэффициентов ослабления и фазы. По ним строят графики, показанные на рис. 8, а, б. График коэффициента фазы нужно нормировать, чтобы проверить условие независимости фазовой скорости от частоты.
а |
б |
Рис. 8. Зависимости коэффициентов затухания и фазы от частоты:
а– амплитудно-частотная характеристика коэффициента затухания полосковой линии;
б– фазочастотная характеристика полосковой линии
Все необходимые формулы для проведения расчетов даны в соответствующих разделах. Следует привести вычисления и построить графики амплитуды и фазы волнового сопротивления.
6.2. Алгоритмы вычисления отклонений выходного сигнала от входного
Импульсный входной сигнал. Входной импульсный сигнал целесообразно представлять в виде
17
2 N Δω
e0 (t) = 2π ∫0 E(ω)cos(ωt)dω.
В этой формуле учтена четность спектральной плотности E(ω). Бесконечный предел интегрирования заменен конечной ве-
личиной NΔω, где N = 100.
Выходной сигнал имеет спектральное представление аналогичного вида
1 NΔω
ua (t) = π ∫0 Ka (ω)E(ω)cos(ωt)dω.
В передаточной функции длинной линии учтена только амплитудная составляющая, т. е. предполагается, что фазовая дисперсия отсутствует и фазовая составляющая передаточной функции приводит только к запаздыванию сигнала.
Отклонение выходного сигнала от входного определяют по формуле
δu(t) =ua (t) −e0 (t).
График входного сигнала соответствует приближенной спектральной плотности и позволяет на графике отклонения выходного сигнала выделить погрешности этого приближения.
Периодический входной сигнал. Приближенный расчет с учетом конечного числа гармоник проводят по формулам:
|
|
|
|
|
S = 15; s = 0...S; |
|
||||||||
ω |
|
= s |
2π |
; A |
= |
2 |
τ 2 |
e |
(t)cos(ω |
t)dt; |
||||
s |
|
|
−∫τ 2 |
|||||||||||
|
|
T |
s |
|
T |
0 |
|
|
s |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
1 |
τ 2 |
|
||
eT (t) = ∑ As |
cos(ωst) + |
e0 (t)dt. |
||||||||||||
T |
||||||||||||||
|
|
|
s=1 |
|
|
|
|
|
|
−∫τ 2 |
|
|||
Спектральное представление входного сигнала позволяет записать спектральное представление выходного сигнала, используя передаточную функцию длинной линии:
18
s |
|
1 |
τ 2 |
|
uT ,a (t) = ∑ Ka (ωs ) As cos(ωst) + |
e0 (t)dt, |
|||
T |
||||
s=1 |
|
−τ∫2 |
||
Aвых = AвхK (ω), |
ϕ= ψвых −ψвх. |
|||
Здесь учтена независимость фазовой скорости от частоты. Отклонение выходного сигнала от входного определяется так
δuT (t) =uTa (t) −eT (t).
Построение графиков требует проведения дискретизации времени в единицах t, т. е. использование дискретного времени
p t. Здесь следует выбрать диапазон целых чисел:
p= −(Kq +1)N2 (Kq +1)N2 .
Всоответствии с приведенным алгоритмом строят графики
(рис. 9).
Рис. 9. Приближенное представление входного импульсного сигнала в виде конечной суммы гармоник
График входного сигнала необходим, чтобы показать роль погрешности спектрального представления и выделить на ее фоне небольшое отклонение, вносимое длинной линией.
7.CОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
1.Задание
Полный текст задания по вариантам, исходные данные в числовом виде.
19
2. Полосковая линия передачи как длинная линия
Чертеж полосковой линии, эквивалентная схема звена длинной линии, первичные и вторичные параметры длинной линии.
3. Длинная линия как четырехполюсник
Передаточная функция длинной линии, условие неискаженной передачи, условие отсутствия фазовых искажений (отсутствия фазовой дисперсии).
4. Описание входного сигнала
Импульсный и периодический сигналы, их математическое описание во временном и спектральном представлении, приближение для ЭВМ, графики.
5. Описание выходного сигнала
Реакция на импульсный и периодический входные сигналы (общность и различие), спектральное представление выходного сигнала, приближение для ЭВМ.
6. Оценка качества передачи полосковой линии
Оценки качества передачи, отклонений выходных сигналов относительно входных во временной области, графики отклонений.
7. Выводы
Выводы по работе должны быть обоснованы специальными расчетами. Они должны включать:
–оценку искажений сигналов при их передаче в полосковой линии, а также анализ факторов, их вызывающих;
–частотные зависимости вторичных параметров в виде графи-
ков;
–отличие передаточной функции длинной линии от передаточной функции сосредоточенного четырехполюсника, роль согласованной нагрузки, влияние свойств линии на передачу импульсных сигналов, оценка пригодности полосковой линии для передачи тактовых импульсов в ЭВМ, оценка полезности проделанной работы, рекомендации по коррекции текста методики.
Эти вопросы обязательны для рассмотрения в работе. В остальном на содержание разделов никаких ограничений не накладывается (оно должно включать текст, формулы с их описанием, рисунки, графики). Качество написания пояснительной записки входит в итоговую оценку работы.
20