Анализ линейных электрических цепей с негармоническими периодическими напряжениями и токами (90
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра теоретической и общей электротехники
Ж.Г. Пискунова
АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С НЕГАРМОНИЧЕСКИМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ТОКАМИ
Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве методических указаний для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлению подготовки 140400.62 Электроэнергетика и электротехника
Оренбург
2012
УДК 621.3.01.(07) ББК 31.211я73
П 34
Рецензент – кандидат технических наук, доцент С.С. Фролов
Пискунова, Ж.Г.
П34 Особенности расчета линейных электрических цепей с негармоническими периодическими напряжениями и токами: методические указания /Ж.Г. Пискунова; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2012. – 44 с.
Методические указания содержат теоретический и практический материал для самостоятельной подготовки по теме «Свойства и методы расчета линейных электрических цепей с негармоническими периодическими токами и напряжениями». Представлены теоретическая часть, особенности методик расчета однофазных и трехфазных цепей с несинусоидальными источниками, приведены задачи и примеры решения задач, а также пример расчета в системе MathCad.
Указания предназначены для студентов направления 140400.62 Электроэнергетика и электротехника всех форм обучения.
УДК 621.3.01(076) ББК 31.211я7
© Пискунова Ж.Г., 2012 © ОГУ, 2012
2
Содержание
Введение……….………………………………………………………….…….……......4 1 Причины возникновения несинусоидальных токов…………………………………5
2Способы представления периодических несинусоидальных величии……………..6
3Действующие и средние значения несинусоидальных величин……………………8
4Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных кривых………......10
5Анализ однофазных линейных электрических цепей несинусоидального тока…12
6Сравнение формы кривых токов и напряжений для идеализированных элементов схемы замещения…………………………………………………….…………………18
7Мощность при несинусоидальных напряжениях и токах. Эквивалентная синусоида……………………….…………………………………………………………
……...21
8Особенности резонансных режимов в цепях при несинусоидальных напряжениях и токах……………………………………….....…………………..................................23
9Высшие гармоники в трехфазных цепях……………………………………...….…24
10Расчет несинусоидального режима в трехфазной электрической цепи..………..26
11Биения и модулированные колебания………………………………………….….35
Список использованных источников……………………………………………...…..40 Приложение А. Пример расчета однофазной цепи при несинусоидальном источнике питания………………………………………………………………
……………..41
3
Введение
Периодическими несинусоидальными токами и напряжениями называют токи и напряжения, изменяющиеся по несинусоидальному закону.
Они возникают при четырех различных режимах работы электрических цепей (и при сочетании этих режимов) [1,2]:
1)когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС (несинусоидальный ток), а все элементы цепи – резистивные, индуктивные и емкостные – линейны, то есть не зависят от тока;
2)если источник ЭДС (источник тока) дает синусоидальную ЭДС (синусоидальный ток), но один или несколько элементов цепи нелинейные;
3)когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС
(несинусоидальный ток), а в состав электрической цепи входят один или несколько нелинейных элементов; 4) если источник ЭДС (тока) дает постоянную или синусоидальную ЭДС
(ток), а один или несколько параметров цепи периодически изменяются во времени.
Для большинства промышленных и бытовых потребителей электрической энергии синусоидальная форма кривой э.д.с. (тока) является наиболее рациональной. Однако применение силовой полупроводниковой техники вносит существенные изменения в форму кривых тока и напряжения в электрических цепях. В ряде устройств автоматики, радиотехники и вычислительной техники, по самому принципу их действия, ЭДС (токи, напряжения) отличны от синусоиды. Причем форма сигнала в различных частях установки может быть различна.
Пренебрежение этими явлениями в силовых установках может привести к появлению дополнительных потерь энергии, вызывающих перегрев токоведущих элементов цепей и, как следствие, снижению срока службы. Изменение в форме кривой тока (напряжения) в устройствах, предназначенных для передачи информации, отражается на ее достоверности. Подобные и другие явления,
4
связанные с наличием несинусоидальных токов исследуются на основе гармонического анализа.
5
1 Причины возникновения несинусоидальных токов
В предыдущих разделах ТОЭ изучались электрические цепи, в которых токи возникали под действием источников синусоидальных ЭДС. На практике зависимости ЭДС и токов от времени всегда в большей или меньшей степени отличны от синусоидальных. Например, в генераторах переменного тока (синхронных генераторах) из-за того, что кривая распределения магнитной индукции вдоль зазора между статором и ротором отличается от синусоиды, наводимые в обмотках ЭДС, хотя и незначительно, но отличаются от синусоидальных. Кроме того, в цепях, содержащих нелинейные элементы, даже при синусоидальных ЭДС источников возникают несинусоидальные токи и напряжения. К таким цепям можно отнести выпрямители. Графики мгновенных значений напряжений в схемах одно- и двухполупериодного выпрямителей изображены на рисунке 1 а, б.
(а) |
(б) |
Рисунок 1 В электронных цепях широкое распространение нашли специальные
генераторы несинусоидальных напряжений, например, генератор линейноизменяющегося напряжения (ГЛИН) и мультивибратор. Благодаря повторяющимся процессам зарядки и разрядки конденсатора, на выходе генератора возникает соответственно напряжение пилообразной или прямоугольной форм (рисунок 2 а,
б).
а) |
б) |
6
Рисунок 2 В основе гармонического анализа линейных электрических цепей лежит
представление несинусоидальных периодических кривых напряжения (тока) в виде тригонометрического ряда Фурье, коэффициенты которого вычисляются как аналитически, так и в MathCAD [3]. Такой подход позволяет использовать принцип наложения (суперпозиции) для расчета мгновенных и действующих напряжений (токов).
Вопрос. Известно, что ЭДС аккумуляторной батареи уменьшается с течением времени. Можно ли зависимость e(t) считать периодической несинусоидальной величиной?
Варианты ответа:
1можно;
2нельзя.
2 Способы представления периодических несинусоидальных величин
Периодическая несинусоидальная функция времени f(t) при любых значениях t удовлетворяет соотношению f(t + T) =f(t) , где T – период колебания – наименьшее время, по истечению которого колебания полностью повторяются.
Наиболее наглядным способом представления несинусоидальных величин являются кривые их мгновенных значений (рисунки 1 и 2), которые можно наблюдать на экране осциллографа. Вторым способом представления периодических несинусоидальных величин является аналитическое разложение функции времени в тригонометрический ряд Фурье. Например, периодическая несинусоидальная ЭДС в общем случае может быть представлена следующим
7
рядом:
e(t) E(0) e(1) e(2) |
... e(k ) ... E(0) |
E(1)m sin( t (1) ) |
(1) |
|
E(2)m sin(2 t (2) ) ... E(k )m sin(k t (k ) ) ... , |
||||
|
||||
где Е(0) – постоянная составляющая; е(1) – первая (основная) гармоническая составляющая, имеющая частоту
ω=2π/Т;
е(2),..., е(k) – высшие гармонические составляющие (гармоники); k – номер гармоники.
Тригонометрический ряд Фурье, как правило, быстро сходится, поэтому для инженерных расчетов количество гармоник ограничивают и учитывают только первые 3-5 гармоник ряда.
Приведем примеры разложения в ряд Фурье некоторых несинусоидальных напряжений.
Напряжение на нагрузочном резисторе однополупериодного выпрямителя (рисунок 1 а) выражается в виде ряда Фурье как
u(t) |
U |
|
|
|
|
cos t |
2 |
|
(2) |
|
max 1 |
2 |
3 |
cos2 t ... . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Напряжение на нагрузочном резисторе двухполупериодного выпрямителя (рисунок 1 б) –
|
2U |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
(3) |
|
u(t) |
|
max 1 |
|
|
cos2 t |
|
|
cos4 t ... . |
||
|
3 |
15 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Напряжение пилообразной формы (рисунок 2 а) –
1 |
|
1 |
|
1 |
|
(4) |
||
u(t) U max |
|
|
|
(sin t |
|
sin 2 t ...) . |
||
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
8
Напряжение прямоугольной формы (рисунок 2 б) –
u(t) |
4U |
|
|
1 |
sin 3 t |
1 |
|
(5) |
|
max sin t |
3 |
5 |
sin 5 t ... . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
По известным разложениям несинусоидальных функций в ряд Фурье нетрудно построить диаграммы амплитудно-частотного и фазо-частотного спектров. На диаграмме амплитудно-частотного спектра по оси ординат откладывают значения постоянной составляющей, амплитуд основной и высших гармоник, по оси абсцисс
– значения частот (рисунок 3). На диаграмме фазо-частотного спектра (рисунок 4) ординаты – значения начальных фаз гармоник, абсциссы – значения частот.
Рисунок 3 |
Рисунок 4 |
3 Действующие и средние значения несинусоидальных величин
Периодическую несинусоидальную величину (например, ток) обычно характеризуют следующими значениями: максимальным (Imax), действующим (I), средним по модулю (Iср.мод) и постоянной составляющей (I(0)). Действующее значение несинусоидального тока определяется его среднеквадратическим значением за период
|
|
1 |
T |
|
|
I |
i(t)2 dt. |
(6) |
|||
T |
|||||
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
||
9
Если ряд Фурье для тока ограничить конечным числом членов
i(t) I(0) I(1)m sin( t (1) ) I(2)m sin(2 t (2) ) ... I(k )m sin(k t (k ) ),
то выражение (6) после интегрирования принимает вид
|
|
I 2 |
I 2 |
I 2 |
|
||||
I |
I(20) |
(1)m |
|
(2)m |
... |
(k )m |
. |
(7 а) |
|
2 |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Так как действующее значение гармонической составляющей I Im/ 
2, то действующее значение несинусоидального тока равно
I |
I(20) I(21) I(22) ... I(2k ) , |
(7 б) |
где I(0) – постоянная составляющая;
I(1), I(2), …,I(3) – действующие значения соответствующих гармоник тока. Аналогичное выражение имеет действующее значение несинусоидального
напряжения
U |
U(20) U(21) ... U(2k ) . |
(8) |
Таким образом, действующее значение несинусоидальной электрической величины равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник и не зависит от начальных фаз гармоник.
Наряду с действующим значением в электротехнике используют понятие среднего по модулю значения функции. Оно, например, для тока выражается интегралом вида
10