Анализ оптимальных структур композитных стержней (120

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

А.А. Смердов

АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРУКТУР КОМПОЗИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Методические указания к выполнению домашнего задания

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2011

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 624.04 ББК 38.112 C50

Рецензент Б.С. Сарбаев

Смердов А.А.

C50 Анализ оптимальных структур композитных стержней : метод. указания к выполнению домашнего задания / А.А. Смердов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 42, [2] с. : ил.

Рассмотрены анализ оптимальных перекрестно армированных структур композитных стержней и выбор оптимальных параметров структуры исходя из требований к свойствам конструкции. Изложены теоретические основы решения задачи оптимального проектирования, методика выполнения домашнего задания и примеры его выполнения.

Для студентов 5-го и 6-го курсов факультета «Cпециальное машиностроение» МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Рекомендовано Учебно-методической комиссией факультета СМ МГТУ им. Н.Э. Баумана.

УДК 624.04 ББК 38.112

Учебное издание

Смердов Андрей Анатольевич

АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРУКТУР КОМПОЗИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Редактор О.М. Королева Корректор Е.В. Авалова

Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 25.07.2011. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,56. Тираж 100 экз. Изд. № 154.

Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ВВЕДЕНИЕ

Целью настоящего домашнего задания является отработка навыков проектных расчетов композитных элементов конструкций, к свойствам (характеристикам) которых предъявляются различные требования.

В процессе выполнения домашнего задания и подготовки его к защите необходимо усвоить такие основные понятия, как управление свойствами композитных структур, жесткостные характеристики, термоупругие характеристики, динамические и диссипативные характеристики, прочность, общая и местная устойчивость, а также научиться ставить и решать задачи исследования композитных элементов конструкций.

Задание заключается в определении параметров армирования композитных стержней с заданными свойствами.

Исходными данными домашнего задания являются размеры стержня, характеристики однонаправленного материала, из которого изготовлен стержень, тип структуры армирования, а также несколько требований к свойствам проектируемой конструкции.

Стержень имеет тонкостенное трубчатое сечение; радиус, длина и толщина стенки задаются.

Характеристики однонаправленного композита задаются в его естественной системе координат [1], продольная ось которой связана с направлением армирующих волокон, а поперечная направлена по нормали к ним в касательной плоскости.

Тип структуры армирования — перекрестно армированный материал, который характеризуется одним варьируемым параметром: углом ориентации слоев относительно продольной оси стержня (углам армирования). Необходимо выбрать диапазон допустимых

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

углов армирования так, чтобы обеспечить значения нескольких характеристик конструкции на уровне не ниже заданных.

Требования предъявляются к нескольким характеристикам конструкции. В каждом варианте задания устанавливается по одному требованию из каждой группы свойств:

•жесткостные характеристики (продольная жесткость, крутильная жесткость, изгибная жесткость);

•характеристики термического деформирования (коэффициент линейного термического расширения в направлении оси стержня, смещения торца стержня при заданном изменении температуры);

•динамические характеристики (низшие частоты продольных, крутильных и изгибных собственных колебаний);

•характеристики демпфирования (коэффициенты диссипации при продольных и крутильных колебаниях, коэффициенты диссипации и мощности диссипации при изгибных колебаниях на низшей частоте).

Кроме того, во всех вариантах задания установлено требование обеспечения несущей способности при заданной нагрузке. Это требование включает в себя три условия, суть которых заключается в том, что заданное значение нагрузки не должно превышать:

•предельного значения по критерию прочности композитного материала (композита);

•предельного значения по критерию общей (стержневой) устойчивости;

• предельного значения по критерию местной (оболочечной) устойчивости, включая осесимметричные и неосесимметричные формы потери устойчивости.

Каждое из исследуемых свойств может быть записано в виде функции от единственного варьируемого параметра — угла армирования. При выполнении задания следует построить графики всех требуемых функций и по этим графикам выбрать допустимые диапазоны значения углов армирования, исходя из каждого требования. Пересечение всех выбранных диапазонов даст ответ к домашнему заданию: допустимый диапазон изменения углов армирования, обеспечивающий выполнение всех требований к композитной конструкции.

Все расчеты проводятся по формулам для тонкостенного стержня.

4

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Прочность композита рассчитывается по первому разрушению [1, 2]. Это означает, что при нагружении стержня необратимое деформирование не допускается.

Алгоритмы расчета характеристик армированных трубчатых стержней приведены в разд. 1. Там же представлены типичные графики свойств в зависимости от структурных параметров; подобные графики должны быть построены каждым студентом при выполнении домашнего задания.

В разделе 2 описана методика выполнения и оформления домашнего задания, а в разделе 3 приведен пример его выполнения.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1.ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

1.1.Объект проектирования

Схема объекта проектирования показана на рис. 1. Стержень радиусом R, длиной L и толщиной h выполнен в виде тонкостенной трубы и закреплен по торцам (при расчете могут быть приняты граничные условия свободного опирания). Труба образована намоткой одного семейства перекрестно армированных слоев. Конструкция нагружена осевой сжимающей силой N. Считается, что заданное значение N соответствует расчетной нагрузке, определенной с уче-

том коэффициента безопасности [2].

ции. Всего в пакете содержится n различных слоев. Каждый слой представляет собой однонаправленный материал, свойства которого считаются заданными, — монослой [2], показанный на рис. 2, б. Считается, что свойства монослоя не изменяются при изменении структурных параметров многослойного пакета. Этими структурными параметрами являются толщины отдельных слоев hi и углы их ориентации ϕi.

На рис. 2, б показаны две системы координат: система координат конструкции x, y, в которой ось x направлена по образующей

6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 2. Многослойный пакет (а) и его слои в различных системах координат (б); ортотропный перекрестно армированный слой (в)

цилиндра, а ось y — по касательной к окружности поперечного сечения, и система координат однонаправленного слоя 1i, 2i (естественная система координат слоя), где i — номер текущего слоя. Оси естественной системы координат однонаправленного слоя 1i и 2i направлены по направлению армирующих волокон и по нормали к слою в его плоскости. Угол ϕi между осью x и осью 1i определяет ориентацию i-го слоя в системе координат пакета.

Обычно в конструкциях используют ортотропные материалы [2], для которых оси координат x, y являются осями симметрии. Такие материалы содержат перекрестно армированные слои,

вкоторых половина волокон ориентирована под углом +ϕi к направлению оси x, а вторая половина — под углом −ϕi (рис. 2, в). Перекрестно армированные слои образуются, например, при спиральной намотке однонаправленной ленты. Если многослойный материал получен выкладкой однонаправленных слоев, то в ка-

честве перекрестно армированного слоя может быть принята пара слоев с углами +ϕi и −ϕi, расположенных рядом (если число слоев

впакете достаточно велико). Каждый слой пакета характеризует-

ся толщиной . Относительные толщины ˜ представляют собой hi hi

отношение толщины данного слоя к толщине пакета. Во всех формулах, приведенных в указаниях, верхним индексом i обозначены характеристики i-го слоя; символы без верхнего индекса обозначают свойства многослойного пакета.

Одной из самых популярных композитных структур является

перекрестно армированная структура, для которой n = 1 (одна группа слоев с одинаковым углом армирования). Для такой структуры имеется единственный варьируемый параметр — угол ±ϕ.

7

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Большим преимуществом перекрестно армированной структуры является то, что решение задачи выбора оптимальных параметров и исследования возможностей компромиссного сочетания требований, предъявляемых к структуре, может быть получено методами параметрического анализа [3].

1.2. Жесткостные характеристики

Основными жесткостными характеристиками трубчатого стержня являются:

•продольная жесткость (или жесткость при растяжениисжатии) EF;

•крутильная жесткость GIp;

•изгибная жесткость EI;

•сдвиговая жесткость GF.

Для расчета этих характеристик тонкостенного стержня необходимо определить четыре технические константы упругости многослойного ортотропного материала (пакета): Ex, Ey, Gxy и νxy (Exνyx = Ey νxy). Для этого нужно знать технические кон-

E1(i)ν(21i) = E2(i)ν(12i) .

Сначала по известным значениям технических констант жесткости вычисляются коэффициенты матрицы жесткости каждого слоя в его естественной системе координат:

Затем определяются коэффициенты матриц жесткости слоев в

8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

системе координат многослойного материала:

gxx(i) = g11(i) cos4 ϕi + g22(i) sin4 ϕi + 2g12(i) + 4g66(i) sin2 ϕi cos2 ϕi;

gss(i) = g11(i) + g22(i) − 2g12(i) sin2 ϕi cos2 ϕi+

+ g66(i) sin2 ϕi − cos2 ϕi 2.

Следующий шаг — вычисление коэффициентов матрицы жесткости многослойного ортотропного пакета:

Следует подчеркнуть, что формулы (2)—(4) справедливы только для многослойных ортотропных пакетов; если в пакете имеются слои общего вида (см. рис. 2, б), следует использовать более общие зависимости [2].

Формулы для расчета характеристик перекрестно армированных материалов могут быть получены как частный случай алгорит-

ма (1)—(4), в котором отсутствует суммирование (3): = 1, ˜ = 1. n h1

9

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Требования к продольной, крутильной и изгибной жесткости устанавливаются в домашнем задании; сдвиговая жесткость необходима для расчета устойчивости и частот собственных колебаний конструкции.

Как следует из формул (5)—(7), при заданных размерах трубчатого стержня продольная и изгибная жесткости пропорциональны продольному модулю упругости материала стержня, а крутильная жесткость — модулю сдвига. Типичные графики изменения соответствующих величин перекрестно армированных материалов показаны на рис. 3.

Рис. 3. Типичные зависимости жесткостных характеристик перекрестно армированных стержней из углепластика от угла армирования:

а — продольной и изгибной жесткости; б — крутильной жесткости

10