Анализ оптимальных структур композитных стержней (120
..pdfCopyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
• КЛТР однонаправленного материала в направлении армиро-
вания α1 = 0,2·10−6 K−1;
• КЛТР однонаправленного материала в поперечном направлении α2 = 30·10−6 K−1;
•коэффициент поглощения энергии однонаправленного материала в направлении армирования ψ1 = 0,53 %;
•коэффициент поглощения энергии однонаправленного материала в поперечном направлении ψ2 = 2,92 %;
•коэффициент поглощения энергии однонаправленного материала при сдвиге ψ6 = 3,57 %;
•плотность однонаправленного материала ρ = 1500 кг/м3;
•предел прочности однонаправленного материала при растяжении вдоль волокон F1+ = 700 МПа;
•предел прочности однонаправленного материала при сжатии вдоль волокон F1− = 600 МПа;
•предел прочности однонаправленного материала при растяжении в поперечном направлении F2+ = 27 МПа;
•предел прочности однонаправленного материала при сжатии
впоперечном направлении F2− = 184 МПа;
•предел прочности однонаправленного материала при сдвиге
F12 = 55 МПа.
П р и м е ч а н и я: 1. Расчеты проводить по формулам для тонкостенного стержня.
2.При нагружении стержня необратимое деформирование не допускается.
3.При расчетах следует принимать коэффициент местной (оболочечной) устойчивости k = 0,3.
Результаты решения
1.Продольная жесткость определяется по формуле
EF = 2πRhEx,
где Ex = gxx − gxy2 /gyy.
Для перекрестно армированной структуры
gxx = g11 cos4 ϕ + g22 sin4 ϕ + (2g12 + 4g66)sin2 gxy = (g11 + g22 − 4g66)sin2 ϕ cos2 ϕ + g12 sin4 gyy = g11 sin4 ϕ + g22 cos4 ϕ + (2g12 + 4g66)sin2
где ϕ — угол армирования;
ϕcos2 ϕ;
ϕ+ cos4 ϕ ;
ϕcos2 ϕ,
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
g11 = |
E1 |
; |
g22 = |
E2 |
; g12 |
= ν12g22; g66 = G12. |
1 − ν12 ν21 |
1 − ν12 ν21 |
График продольной жесткости стержня приведен на рис. 11. Зона выполнения требований по жесткости затемнен. Допустимый диапазон значений угла по продольной жесткости: 0◦ ...37,5◦.
Рис. 11. Пример построения графика продольной жесткости композитного стержня
2. Продольный КЛТР любого ортотропного пакета определяет-
ся по формуле αx = (βx − νxy βy)/Ex.
Величина Ex определяется по формулам, приведенным в п. 1,
νxy = gxy/gyy.
Для перекрестно армированного материала
βx = β1 cos2 ϕ + β2 sin2 ϕ,
где
βy = β1 sin2 ϕ + β2 cos2 ϕ;
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
β1 = g11α1 + g12α2; β2 = g12α1 + g22α2.
График продольного КЛТР перекрестно армированного стержня из заданного материала приведен на рис. 12. Зона выполнения требований по продольному КЛТР показана затемнением. Допустимый диапазон значений угла по продольному КЛТР:
0◦ ...47,6◦.
Рис. 12. Пример построения графика продольного КЛТР композитного стержня
3. Низшая частота крутильных колебаний рассчитывается по формуле
f1(кр) = 2 |
|
2 |
πML xy |
, |
|||
|
1 |
|
RhG |
|
|
||
где M = 2πRhLρ; Gxy = gss.
Для перекрестно армированной структуры
gss = (g11 + g22 − 2g12)sin2 ϕ cos2 ϕ + g66 sin2 ϕ − cos2 ϕ 2.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
График низшей частоты крутильных колебаний перекрестно армированного стержня из заданного материала приведен на рис. 13. Зона выполнения требований по низшей частоте крутильных колебаний затемнена.
Рис. 13. Пример построения графика низшей частоты крутильных колебаний композитного стержня
Допустимый диапазон значений угла по низшей частоте крутильных колебаний стержня: 15◦ ...75◦.
4. Коэффициент диссипации при изгибных колебаниях на низшей собственной частоте определяется по формуле
|
ψxEI |
L ϑ,x2 dx + ψsGF |
L |
(ϑ − w,x)2 dx |
|||
ψ(изг) = |
L |
L |
|
|
, |
||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
EI |
|
ϑ,x2 dx + GF |
(ϑ − w,x)2 dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
где w(x) — прогиб стержня; ϑ(x) — угол поворота сечения в соответствии с гипотезой Тимошенко; EI и GF — изгибная и сдвиговая жесткости стержня,
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ψx |
n |
pxx(i) |
= E1x i=1 |
||
|
|
|
− 2pxy(i)νxy + pyy(i)νxy2 |
h˜i; ψs = |
1 n |
Gxy i=1 pss(i) h˜i, |
||
|
|
|
где
p(xxi) = p(11i) cos4 ϕi + p(22i) sin4 ϕi + 2p(12i) + 4p(66i) sin2 ϕi cos2 ϕi;
(i) |
(i) |
(i) |
(i) |
4sin2 |
|
(i) |
|
ϕi +2cos4 |
ϕi ; |
|
p(xyi) |
= (pi)11 |
+4p22 |
− 4(pi)66 |
ϕi cos(i2) |
ϕi +(pi)12 sin2 |
4 |
||||
pyy |
= p11 sin ϕi + p22 cos |
ϕi + p12 |
+ 4p66 |
sin |
ϕi cos ϕi; |
ϕi 2 ; |
||||
pss(i) |
= p11(i) + p22(i) − 2p12(i) sin2 |
ϕi cos2 |
ϕi + p66(i) sin2 |
ϕi − cos2 |
||||||
p(11i) = ψ(1i)g11(i); p(22i) = ψ(2i)g22(i);
p(12i) = 1/2 ψ(1i) + ψ(2i) g12(i); p(66i) = ψ(6i)g66(i);
EI = πR3hEx, GF = πRhGxy.
Для перекрестно армированного стержня
π2EI
ψ(1изг) = ψx + ψs L2GF .
1 +
График коэффициента диссипации при изгибных колебаниях на низшей собственной частоте приведен на рис. 14. Зона, соответствующая выполнению требований к коэффициенту диссипации при изгибных колебаниях на низшей собственной частоте, затемнена.
Допустимый диапазон значений угла по коэффициенту диссипации при изгибных колебаниях на низшей собственной частоте:
27,5◦ ...90◦.
5. Прочность при нагрузке осевого сжатия N = 70кН рассчитывается по первому разрушению материала следующим образом:
•вычисляются средние напряжения при действующей нагрузке
σ(0)x = −N/2πRh; σ(0)y = 0; τ(0)xy = 0;
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 14. Пример построения графика коэффициента диссипации при изгибных колебаниях композитного стержня на низшей собственной частоте
• определяются начальные деформации пакета
ε(0) |
= σx(0) − νxy σy(0) |
; |
ε(0) |
= σy(0) − νyxσx(0) |
; |
γ(0) |
= τxy(0) |
; |
|
x |
Ex |
|
y |
Ey |
|
xy |
|
Gxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• вычисляются деформации отдельных слоев
ε(0)1i = ε(0)x cos2 ϕi + ε(0)y sin2 ϕi + γ(0)xy cos ϕi sin ϕi;
ε(0)2i = ε(0)x sin2 ϕi + ε(0)y cos2 ϕi − γ(0)xy cos ϕi sin ϕi;
γ(0)12i = − ε(0)x − ε(0)y sin2ϕi + γ(0)xy cos2ϕi;
• определяются напряжения в слоях пакета при заданной осевой силе
σ(0) |
= g(i)ε(0) |
+g(i)ε(0) |
; |
σ(0) |
= g(i)ε(0) |
+g(i)ε(0) |
; |
τ(0) |
= g(i)γ(0) |
; |
1i |
11 1i |
12 2i |
|
2i |
12 1i |
22 2i |
|
12i |
66 12i |
|
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
• используется критерий прочности в виде
где
σ(1i)
σ(2i)
|
i |
|
|
(i) |
|
(i) |
|
|
|
|
||
|
σ1 |
|
σ2 |
|
(i) |
|
||||||
|
|
|
σ1i |
|
σ2i |
|
|
|
||||
|
|
|
τ12i |
|||||||||
Pпр = min min |
|
|
(0) |
, |
|
(0) |
, |
F12 |
|
, |
||
|
(0) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ! |
F1(i)−, если σ(0)i < 0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
F(i)+, если σ1(0) |
> 0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2(i)−, если σ2(0)i |
< 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=F2(i)+, если σ(0) > 0.
2i
График запаса прочности для перекрестно армированного стержня из заданного материала при нагрузке осевого сжатия 70 кН приведен на рис. 15. Зона выполнения требований по прочности показана затемнением. Допустимый диапазон значений угла по прочности: 0◦ ...90◦.
6. Предельная нагрузка по устойчивости стержня (общая) рассчитывается по формуле
π2EI
Nкр = L2 1 + π2EI . L2GF
График запаса общей устойчивости при нагрузке осевого сжатия N = 70кН приведен на рис. 16.
Допустимый диапазон значений угла по общей устойчивости:
0◦ ...57◦.
7. Величина запаса по устойчивости оболочки (местная устойчивость) при нагрузке осевого сжатия N = 70кН рассчитывается по следующему алгоритму.
7.1. Определяются мембранные и изгибные жесткости стенки оболочки с перекрестно армированной структурой:
Bxx = gxxh; Bxy = gxyh; Byy = gyyh; Bss = gssh;
Dxx = |
gxxh3 |
; Dxy = |
gxyh3 |
; Dyy = |
gyyh3 |
; Dss = |
gssh3 |
. |
|
|
|
|
|||||
12 |
12 |
12 |
12 |
|
||||
Смешанные (мембранно-изгибные) жесткости равны нулю.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 15. Пример построения графика запаса прочности композитного стержня
7.2. Вычисляется критическая нагрузка осесимметричной потери устойчивости при осевом сжатии по формуле
Nкр(ос) = 4π DxxEyh.
Запас по осесимметричной устойчивости определяется отно-
шением
Pпред(ос) = kNкр(ос)/N,
где k — заданный коэффициент местной устойчивости. 7.3. Рассчитывается неосесимметричная устойчивость.
7.3.1. Производится перебор целочисленных значений числа полуволн в осевом направлении (m = 1,2,3,...) и числа волн по окружности (n = 2,3,4,...). Верхняя граница перебора по параметру n равна 30,
m = π 4 |
|
|
|
|
|
DxxR2 . |
|||
|
L |
|
Eyh |
|
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 16. Пример построения графика запаса общей устойчивости композитного стержня
7.3.2. Вычисляются для каждой пары m и n следующие вели-
чины: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= λ2 |
B |
+ λ2 B |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11 |
|
m |
|
|
xx |
|
|
n |
ss |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a12 = a21 = λmλn (Bxy + Bss); |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a |
= λ2 |
B |
+ λ2 |
B |
ss |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22 |
|
n |
|
|
yy |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
a13 |
= a31 |
|
= −λm |
λm2 Cxx + λn2 (Cxy + 2Css) + R |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bxy |
|
|
|
a23 |
= a32 |
|
= −λn |
λn2Cyy + λm2 (Cxy + 2Css) + R |
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Byy |
|
|
||
a |
= |
Byy |
+ λ4 D |
xx |
+ 2λ2 |
λ2D + λ4D |
yy |
+ 4λ2 |
λ2D ; |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
33 |
|
R2 |
|
m |
|
|
m |
n xy |
n |
|
|
m |
|
n |
ss |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b |
= λ2 |
|
|
N |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
33 |
|
m 2πR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где λm = mπ/L; λn = n/R.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.3.3. Рассчитывается собственное значение параметра нагрузки Pmn из условия
Det |
a21 |
a22 |
a23 |
|
= 0. |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 −b33 Pmn |
|
|
7.3.4. Определяется величина запаса местной устойчивости (неосесимметричные формы):
P(неос) |
= |
k |
min |
{ |
P |
. |
пред |
|
· m,n |
mn} |
|
Рис. 17. Пример построения графика запаса местной устойчивости композитного стержня
График запаса местной устойчивости при нагрузке осевого сжатия N = 70кН приведен на рис. 17. На графике показаны величины запаса как по осесимметричной, так и по неосесимметричной устойчивости.
40