Анализ оптимальных структур композитных стержней (120

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где коэффициенты матрицы жесткости каждого слоя в его естественной системе координат находятся по формулам (1);

5) используется критерий прочности для монослоя (24). Поскольку напряжения в слоях, как и средние напряжения в пакете, пропорциональны значению параметра нагрузки, предельное значение этого параметра показывает, во сколько раз необходимо увеличить напряжения (28) для того, чтобы в одном из слоев выполнилось в виде равенства одно из условий (24):

Если в формулу (25) подставить расчетное значение силы N, то величина Pпр, определенная согласно (29), имеет смысл коэффициента запаса прочности. Требование сохранения прочности при заданной нагрузке N трансформируется в требование

Типичный график прочности перекрестно армированного стержня приведен на рис. 9, а. График состоит из четырех ясно различимых участков, соответствующих различным механизмам разрушения, согласно критерию (24):

21

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 9. Типичные зависимости прочности (а) и общей устойчивости (б) перекрестно армированных стержней из углепластика от угла армирования

•при малых углах армирования разрушение происходит вследствие достижения предела прочности при сжатии в направлении армирования;

•при увеличении угла армирования механизмом первого разрушения является растяжение поперек волокон (для некоторых материалов этот участок может отсутствовать);

•при дальнейшем увеличении угла армирования первое разрушение происходит от сдвига;

•заключительная часть графика соответствует первому разрушению от сжатия поперек волокон.

1.6.2. Устойчивость стержня

Устойчивость стержня, нагруженного осевой сжимающей силой (общая устойчивость), оценивается с использованием гипотезы Тимошенко, которая обеспечивает учет поперечного сдвига при закритическом изгибе стержня [3]. Формула для расчета критической нагрузки Nкр при граничных условиях, показанных на рис. 1,

где EI и GF — жесткости стержня согласно (7) и (8).

22

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Требование сохранения несущей способности при заданной нагрузке N сводится к условию

Типичный график запаса общей устойчивости (см. (32), (33)), для перекрестно армированного стержня приведен на рис. 9, б.

1.6.3. Устойчивость оболочки

Тонкостенный трубчатый стержень способен терять устойчивость не только по стержневым формам (когда ось его искривляется, а поперечные сечения остаются недеформированными), но и как цилиндрическая оболочка (т. е. с сохранением прямолинейной оси и искажением геометрии сечений). Такие формы относятся к

местной устойчивости конструкции.

Для однородных изотропных оболочек оценка критической нагрузки ведется по формулам, выведенным из рассмотрения осесимметричных форм потери устойчивости. Для таких оболочек критические нагрузки осесимметричной и неосесимметричной потери устойчивости совпадают [3]. Однако для анизотропных конструкций осесимметричная и неосесимметричная потери устойчивости наступают при разных нагрузках, причем в зависимости от структуры армирования наиболее опасной может быть как одна, так и другая потеря. Нижеследующие формулы справедливы для оболочек, торцы которых подкреплены шпангоутами.

Для расчета на устойчивость композитной оболочки необходимо знать технические константы жесткости материала каждого

слоя: E1(i), E2(i), G(12i), ν(12i) E1(i)ν(21i) = E2(i)ν(12i) . Предваритель-

но должны быть рассчитаны по формулам (1), (2) коэффициенты матрицы жесткости каждого слоя и определены мембранные, смешанные и изгибные жесткости стенки оболочки:

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ты внутренней и внешней поверхностей i-го слоя, отсчитываемые от координатной поверхности оболочки [2]. Положение координатной поверхности зависит от структуры многослойного пакета. Если эта структура симметрична относительно срединной поверхности (как, например, рассматриваемая в домашнем задании перекрестно армированная структура), то координатная поверхность выбирается совпадающей с серединной поверхностью оболочки. В этом случае все смешанные жесткости (35) оказываются равными нулю. Для перекрестно армированной структуры зависимости (34) и (36) упрощаются:

24

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Критическая нагрузка осесимметричной потери устойчивости при осевом сжатии описывается простой формулой [3]

в которой величина E определяется согласно (4).

Критическое значение числа полуволн в осевом направлении, соответствующего осесимметричной потери устойчивости, может

− xx

Для симметричных относительно срединной поверхности (в частности, перекрестно армированных) структур выражение (40)

При вычислениях значениe величины m0 должно быть округлено до ближайшего целого числа.

Требование сохранения несущей способности при заданной нагрузке N при учете только осесимметричных форм потери устойчивости сводится к условию

где k — коэффициент устойчивости, значениe которого задается в домашнем задании.

При учете неосесимметричных форм потери устойчивости заранее указать наиболее опасную форму невозможно. В этом случае необходимо составить алгоритм, осуществляющий перебор целочисленных значений числа полуволн в осевом направлении (m = 1,2,3,...) и числа волн по окружности (n = 2, 3, 4, . . . ).

Для каждой пары параметров волнообразования m и n вычисляется собственное значение параметра нагрузки Pmn по формуле

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Величина p в последнем выражении (44) представляет собой значение давления, действующего на боковую поверхность оболочки (в домашнем задании p = 0). В формулы (44) подставляются положительные значения сжимающей силы N и внешнего давления p.

Формула (43) получена на основе теории пологих оболочек [3] и справедлива в тех случаях, когда число волн по окружности достаточно велико (это условие обычно выполняется для тонкостенных оболочек).

Перебор параметров волнообразования должен производиться

восевом направлении по крайней мере до значения m0 (см. (40) или (41)). Что касается числа n, то обычно достаточно 20—30 волн

вокружном направлении.

Предельное значение параметра нагрузки по критерию местной устойчивости (неосесимметричные формы)

где k — коэффициент устойчивости, значениe которого задается в домашнем задании.

По смыслу величина Pпред(неос) из (46) представляет собой запас устойчивости по отношению к действующим нагрузкам. Требова-

26

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ние сохранения несущей способности при учете неосесимметричных форм потери устойчивости сводится к условию

Типичные графики устойчивости перекрестно армированных стержней приведены на рис. 10. График рис. 10, а показывает только осесимметричные формы, что соответствует по формуле (39). На графике рис. 10, б показаны все формы: как осесимметричные, так и неосесимметричные (учет осесимметричных форм может быть проведен и непосредственно в рассмотренном выше алгоритме, если начинать перебор значений по параметру n не со значения 2, а с 0). Видно, что середина графика рис. 10, б соответствует осесимметричной потере устойчивости, тогда как при уменьшении или увеличении угла армирования конструкция теряет устойчивость по неосесимметричным формам.

Рис. 10. Типичные зависимости осесимметричной устойчивости оболочки (а) и устойчивости с учетом всех форм (б) для перекрестно армированных стержней из углепластика от угла армирования

Если при построении графика вместо плавной кривой, аналогичной кривой на рис. 10, б получаются резкие скачки, то это означает, что при переборе было учтено недостаточное число волн по оси или в окружном направлении.

27

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

По итогам решения домашнего задания оформляется отчет, который включает в себя номер варианта и исходные данные, а также необходимые формулы, графики и результаты вычислений в соответствии с алгоритмом, приведенным ниже. Пример оформления приведен в разд. 3.

Оформленное домашнее задание представляется на защиту, во время которой студент должен быть готов ответить на вопросы по материалу, приведенному в разд. 1.

Исходными данными задачи являются:

•радиус тонкостенного стержня R;

•длина стержня L;

•толщина стенки стержня h;

•характеристики однонаправленного композита, из которого

состоит стержень:

◦модуль упругости однонаправленного материала в направлении армирования E1;

◦модуль упругости однонаправленного материала в поперечном направлении E2;

◦модуль сдвига однонаправленного материала G12;

◦коэффициент Пуассона однонаправленного материала ν12;

◦КЛТР однонаправленного материала в направлении армирования α1;

◦КЛТР однонаправленного материала в поперечном направлении α2;

◦коэффициент поглощения энергии однонаправленного материала в направлении армирования ψ1;

◦коэффициент поглощения энергии однонаправленного материала в поперечном направлении ψ2;

◦коэффициент поглощения энергии однонаправленного материала при сдвиге ψ6;

◦плотность однонаправленного материала ρ;

◦предел прочности однонаправленного материала при растяжении вдоль волокон F1+;

◦предел прочности однонаправленного материала при сжатии вдоль волокон F1−;

◦предел прочности однонаправленного материала при растяжении в поперечном направлении F2+;

28

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

◦предел прочности однонаправленного материала при сжатии в поперечном направлении F2−;

◦предел прочности однонаправленного материала при сдвиге

F12;

•значение коэффициента местной (оболочечной) устойчивости k;

•наименьшее допустимое значение одной из трех жесткостных характеристик стержня (EF, GIp или EI);

•наибольшее допустимое значение одной из характеристик термического деформирования (продольный КЛТР αx или продольное перемещение торцов при нагреве на заданную величину

T− uL);

•наименьшее допустимое значение одной из трех частот соб-

•наименьшее допустимое значение одной из четырех характеристик демпфирования стержня ψx, ψs, ψ(1изг) или q1(изг) ;

•значениe осевой сжимающей нагрузки, при которой должна быть обеспечена несущая способность конструкции.

Кроме того, задано, что стержень должен быть образован намоткой одного семейства перекрестно армированных слоев (т. е. имеет перекрестно армированную структуру) и является тонкостенным. При нагружении стержня необратимое деформирование не допускается. При расчете местной устойчивости используется теория пологих оболочек.

Необходимо определить диапазон допустимых значений угла армирования, исходя из требований, предъявляемых к конструкции.

При выполнении домашнего задания рекомендуется такая последовательность действий:

1) построить графики всех характеристик, к которым предъявляются требования. Для построения использовать зависимости

(1)—(46) и привести их в отчете. Для контроля правильности построения использовать рис. 2—10. Рекомендуется строить графики с использованием системы MathCAD или любой другой системы программирования. Точность графиков должна быть достаточной для корректного определения структурных параметров (в системе

29

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

MathCAD рекомендуется использовать не менее 40—50 точек для построения каждой линии);

2)отметить на графиках требуемые значения каждой характеристики и соответствующие им структурные параметры (углы армирования). При необходимости уточнить значения структурных параметров численным расчетом (необходимая точность — не менее 0,5◦);

3)записать допустимые диапазоны значений угла армирования, исходя из каждого требования к конструкции;

4)определить допустимый диапазон значений угла армирования с учетом всей совокупности предъявляемых к конструкции требований.

3.ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

Исходные данные. Проектируется цилиндрический трубчатый стержень из углепластика, длиной L = 1,8 м и радиусом R = 75 мм. Стержень должен быть образован намоткой одного семейства перекрестно армированных слоев и иметь толщину h = 1,6 мм. Определить диапазон допустимых значений угла намотки, исходя из предъявляемых к конструкции требований:

•продольная жесткость стержня — не менее 20 МН;

•продольный КЛТР не более 5 · 10−6 K−1;

•низшая частота крутильных колебаний не менее 800 Гц;

•коэффициент диссипации при изгибных колебаниях на низшей собственной частоте — не менее 1,8 %;

•необходимость обеспечения несущей способности при нагрузке осевого сжатия — 70 кН.

При расчетах надо использовать следующие характеристики однонаправленного углепластика:

•модуль упругости однонаправленного материала в направлении армирования E1 = 140 ГПа;

•модуль упругости однонаправленного материала в поперечном направлении E2 = 9,6 ГПа;

•модуль сдвига однонаправленного материала G12 = 4,6 ГПа;

•коэффициент Пуассона однонаправленного материала ν12 =

=0,3;

30