Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Раздел «Термодинамика» (96

Подставив (2.21) в (2.20), получим

CV = i1(νν1 ++i2νν2) R.

2 1 2

В соответствии с формулой Майера (2.13) теплоемкость

Cp =CV + R,

Подставив числовые значения, получим γ =1, 48 .

2.4. При каких значениях показателя политропы n идеальный газ при сжатии нагревается, а при каких – охлаждается?

Решение. Из уравнения политропы (2.14), записанного в виде pV n =α,

где α – постоянная, и уравнения Клапейрона–Менделеева

pV = νRT

исключим давление p:

αV 1−n = νRT ,

откуда

T = ναR V1−n .

При 1 – n < 0, т. е. при n > 1, температура является убывающей функцией объема V: при сжатии температура газа возрастает.

При n < 1 температура газа при сжатии уменьшается.

2.5. Не используя формулу (2.15), определите молярную теплоемкость идеального газа в политропном процессе pV 3 = const, если известна его молярная теплоемкость CV .

Решение. По определению, молярная теплоемкость вещества

C = νδdTQ .

В соответствии с первым началом термодинамики для элементарного процесса

21

Установим связь между элементарным приращением температуры газа dT и его элементарной работой δA . Для этого рассмотрим полные дифференциалы левой и правой частей уравнения Клапейрона–Менделеева

2.6. Удельная теплота парообразования воды при t =100 DC и нормальном атмосферном давлении составляет r = 2,3 МДж/кг. Оцените, какая часть теплоты, подведенной к выкипающей воде,

превращении в пар, в соответствии с первым началом термодинамики расходуется на увеличение ее внутренней энергии и совершение системой «пар + вода» работы против внешних сил. Давле-

ние насыщенного пара воды при t =100 DC равно нормальному атмосферному давлению. Считая, что вода превращается в насы-

22

щенный пар, расширение системы можно считать изобарным, а совершенную ей работу равной

A = p(V2 −V1 ),

где V1 = mρ – объем воды; V2 – объем образовавшегося насыщен-

ного пара, который может быть оценен с помощью уравнения Клапейрона–Менделеева:

V2 = mRTμp .

A = mRTμ .

В соответствии с первым началом термодинамики

Задачи для самостоятельного решения

2.7. В сосуде объемом V = 10 л находится гелий под давлением p1 = 105 Па. Стенки сосуда могут выдержать внутреннее давление

p2 =106 Па. Определите, какое максимальное количество теплоты можно сообщить газу в этом сосуде?

Ответ: Q = 2i ( p2 − p1 )V =13,5 кДж.

23

2.8. Во сколько раз теплоемкость гремучего газа (смеси водорода и кислорода) больше теплоемкости водяного пара, получившегося при его сгорании. Рассмотрите случаи V = const и p = const. Химическая реакция идет без остатка. Газы считать

идеальными, молекулы – жесткими.

2.9. Определите показатель адиабаты γ = Cp для газовой сме-

CV

си, состоящей из m1 =80 г гелия и m2 =160 г кислорода. Ответ: γ =1,59 .

2.10. Идеальный газ в количестве ν моль участвует в процессе pV n = const, где n – известный показатель политропы. При рас-

ширении газа его объем увеличился в k раз. Определите изменение внутренней энергии газа, если начальная температура газа была равна Т1.

Ответ: U = 2i νRT1 (k1−n −1).

2.11. Нагревается или охлаждается кислород, если он расширяется по закону pV 2 = const ? Определите его молярную теплоем-

кость в этом процессе. Считать, что кислород представляет собой идеальный газ с двухатомными жесткими молекулами.

Ответ: кислород охлаждается при расширении, C = i −2 2 R =

=12,4 Дж .

моль K

III. КРУГОВЫЕ ПРОЦЕССЫ. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Круговым процессом, или циклом, называется такая совокупность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние. Термодинамическая система, совершающая круговой процесс и обменивающаяся энергией с другими телами, называется рабочим телом.

24

Прямым циклом называют круговой процесс, в котором система совершает положительную работу A = pdV > 0. Обратным

циклом называют круговой процесс, в котором система совершает отрицательную работу.

Термическим коэффициентом полезного действия (КПД) η называют отношение работы A, совершенной в прямом круговом процессе, к сумме Qнагр всех количеств теплоты, подведенных в

этом процессе к рабочему телу нагревателями:

Особое значение в термодинамике имеет цикл Карно – круговой процесс, состоящий из четырех последовательных обратимых процессов: изотермического расширения при температуре T1 =Tнагр , во

время которого рабочее тело получает теплоту от нагревателя; адиабатического расширения, во время которого температура рабочего тела опускается до температуры теплоприемника (холодильника) T2 =Tхол ; изотермического сжатия при температуре

T2 =Tхол ; адиабатического сжатия, во время которого температура рабочего тела возрастает до T1 =Tнагр .

Анализ работы тепловых машин позволил сформулировать утверждения, называемые теоремами Карно.

1. КПД любой тепловой машины, работающей по обратимому циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температур нагревателя

2.КПД любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше КПД тепловой машины с обратимым циклом Карно при условии равенства температур их нагревателей и холодильников.

3.КПД произвольного обратимого цикла, протекающего в ин-

тервале температур T1 ≤T ≤T2 и не совпадающего с циклом Карно,

25

меньше КПД цикла Карно, осуществляемого в том же интервале температур:

η<1 − T2 .

T1

Первое начало термодинамики представляет собой закон сохранения энергии в тепловых процессах. Оно не накладывает ограничений на направление протекания процесса, в то время как опыт показывает существование такого рода ограничений. Направление протекания термодинамических процессов определено вторым началом термодинамики. Приведем две его формулировки.

1.Невозможен процесс, единственным конечным результатом которого является передача энергии в форме теплоты от тела менее нагретого к телу более нагретому (формулировка Р. Клаузиуса).

2.Невозможен круговой процесс, единственным конечным результатом которого является механическая работа, совершаемая за счет отвода теплоты от теплового резервуара (формулировка У. Томсона).

Обе формулировки являются эквивалентными.

Исследование второго начала термодинамики применительно к работе тепловых машин привело к введению величины Q*, называемой приведенным количеством теплоты и определяемой как отношение количества теплоты, полученного системой в изотермиче-

ском процессе, к температуре нагревателя: Q* = QT . Приведенное

количество теплоты, сообщенное системе в произвольном обратимом процессе, переводящем ее из состояния 1 в состояние 2, по определению равно

Q*→ = ∫ δQ.

1 2 1→2 T

Для любого обратимого кругового процесса δTQ =0, откуда

следует, что элементарное приведенное количество теплоты, полученное системой в обратимом процессе, является полным дифференциалом некоторой функции состояния:

26

Функция состояния S, дифференциал которой определяется последней формулой, называется энтропией (термодинамической энтропией) системы. Эта функция определена с точностью до аддитивной постоянной.

В необратимых процессах

Таким образом, элементарное количество теплоты δQ, сооб-

щенное системе, связано с элементарным изменением энтропии dS неравенством

где знак «=» относится к равновесным, «>» – к неравновесным процессам. Объединяя (3.3) с первым началом термодинамики (2.4), получим основное неравенство термодинамики

Для анализа равновесных процессов его можно записать в виде уравнения

называемого основным уравнением термодинамики равновесных (обратимых) процессов.

Примеры решения задач

3.1. Сравните КПД трех следующих циклических процессов, совершаемых идеальным газом с показателем адиабаты γ =1, 40.

1.Цикла Карно.

2.Цикла, состоящего из двух изотерм и двух изохор, в котором

Vmax = e.

Vmin

3. Цикла, состоящего из двух изотерм и двух изобар, в котором

pmax = e. pmin

27

Во всех трех циклах Tmax =T1 =500 K, Tmin =T2 =300 K. Решение. 1. КПД цикла Карно может быть определен с помо-

щью теоремы Карно (3.2)

η=1 − T2 .

T1

Подставив числовые данные, получим η= 52 .

2. Представим рассматриваемый циклический процесс на диаграмме p – V (рис. 1).

Рис. 1

Рабочее тело получает теплоту от нагревателя на участках цик-

ла 1–2 и 4–1:

Qнагр =Q12 +Q41;

В изотермическом процессе

В соответствии с первым началом термодинамики для циклического процесса (2.3) имеем

28

Подставляя (3.6), (3.7), (3.10) и (3.11) в (3.9), получим

Подставляя в соотношение (3.1), определяющее термический КПД цикла, выражения (3.8) и (3.12), получим

Подставляя числовые значения, получим

η= 15 .

3. Представим рассматриваемый циклический процесс на диаграмме p – V (рис. 2).

Рис. 2

Рабочее тело получает теплоту от нагревателя на участках цик-

ла 1–2 и 2–3:

29

откуда, с учетом условия связи между термодинамическими параметрами в изотермическом процессе pmaxV2 = pminV3 , получим

Q23 = νRT1 ln ppmax . (3.15) min

Подставив (3.14) и (3.15) в (3.13), получим

В соответствии с первым началом термодинамики для циклического процесса (2.3)

Подставив (3.14), (3.15), (3.18) и (3.19) в (3.17), получим

Подставив в соотношение (3.1), определяющее термический КПД цикла, выражения (3.20) и (3.16), получим

30