Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Статистическая физика (96

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Молекулярная физика и термодинамика – тесно связанные между собой разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах (системах). Особенности этих процессов обусловлены тем, что число содержащихся в макроскопических телах частиц (атомов, молекул, ионов) чрезвычайно велико. Например, при нормальных условиях в 1 мм3 газа, который можно рассматривать как идеальный, т. е. достаточно разреженный, со-

держится около 2,7 1016 молекул. В конденсированных средах

концентрации молекул возрастают еще примерно на три порядка. Если считать, что движение каждой молекулы подчиняется законам Ньютона, то, вне зависимости от справедливости этого утверждения, мы не сможем составить систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение такого макроскопического тела. Поэтому движение отдельной частицы – атома или молекулы

– не может быть изучено методами классической механики. Хаотичность движения частиц приводит к тому, что макроско-

пические свойства систем в обычных условиях совершенно не зависят от начального положения этих частиц, в то время как механическое состояние системы существенно зависит от этих условий. Например, система, изолированная от внешних воздействий, с течением времени переходит в равновесное состояние.

Свойства равновесного состояния макроскопической системы определяются только макроскопическими характеристиками начального состояния, такими, как внутренняя энергия, число частиц, химический состав и др.

Возрастание количества механически движущихся частиц в системе порождает новый вид движения – тепловое движение.

Для исследования процессов, связанных с тепловым движением, применяются два качественно различных и взаимно дополняющих друг друга подхода: статистический (молекулярнокинетический) и термодинамический.

Статистический метод основан на использовании определенных физических моделей исследуемых систем в сочетании с методами теории вероятностей. Раздел теоретической физики, в кото-

3

ром свойства систем исследуются с помощью этого метода, носит название статистической физики (физической статистики). Совокупное поведение систем, состоящих из большого числа частиц, описывается статистическими закономерностями. Свойства таких систем определяются не только динамическими закономерностями, описывающими движение отдельных частиц, но и особенностями их совокупных движений, а также средними значениями их динамических характеристик (средние импульсы, средние энергии и т. д.). Многие особенности поведения таких систем обусловлены флуктуациями физических величин, характеризующих как систему в целом, так и отдельные частицы, т. е. отклонениями этих величин от их средних значений.

В основе классической статистической физики лежат следующие положения.

1.В системе частиц выполняются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса, а также закон сохранения электрического заряда.

2.Все физические процессы, происходящие в системе частиц, протекают в пространстве и времени непрерывно – все физические характеристики любой из частиц, входящих в систему, могут принимать любые вещественные значения.

3.Все частицы принципиально различимы (иными словами, частицу можно «пометить»).

4.Координаты и импульсы (скорости) любой частицы, входящей в состав системы, могут принимать любые вещественные значения вне зависимости от значений этих величин для остальных частиц.

Заметим, что положения 2, 3 и 4 характерны только для классической статистической физики и не являются справедливыми для квантовой статистики.

4

2. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ

Давление газа в сосуде является результатом столкновений молекул газа со стенками сосуда и, таким образом, макроскопическим проявлением теплового движения молекул. При столкновении молекул газа со стенками сосуда происходит передача импульса стенкам. Ввиду хаотичности теплового движения давление газа можно определить, как среднее значение импульса, переданного в единицу времени стенке единичной площади в направлении нормали к ее поверхности.

Широко используемая для описания реальных физических систем модель идеального газа предполагает, что взаимодействие молекул газа можно не учитывать. Иными словами, средняя кинетическая энергия молекулы многократно превышает потенциальную энергию ее взаимодействия с окружающими молекулами, а среднее время взаимодействия молекул во время столкновений пренебрежимо меньше среднего времени их свободного пробега. Столкновения между молекулами идеального газа не влияют на величину создаваемого им давления. Оно определяется основным уравнением кинетической теории идеального газа:

где n – концентрация молекул (число молекул в единице объема); Eк – средняя кинетическая энергия поступательного движения од-

ной молекулы газа.

В статистической физике доказывается, что средняя кинетическая энергия молекулы связана с числом ее степеней свободы i, т. е. с числом независимых координат, с помощью которых можно задать положение молекулы в пространстве, считая ее механической системой. Например, одноатомную молекулу можно рассматривать как материальную точку, положение которой в пространстве однозначно определяется тремя координатами, число ее степеней свободы i = 3.

Согласно теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы, при тепловом равновесии на каждую степень свободы

5

любой атомно-молекулярной системы приходится средняя кинети-

ческая энергия, равная 12 kT , где k = 1,380662 10−23 Дж/К – посто-

янная Больцмана; T – абсолютная (термодинамическая) температура. Многоатомные молекулы, помимо кинетической энергии поступательного движения, могут обладать кинетической энергией вращательного движения, а также механической (кинетической и потенциальной!) энергией колебательного движения.

Можно показать, что средняя потенциальная энергия колебательного движения молекулы равна ее средней кинетической энергии колебательного движения. Таким образом, средняя энергия молекулы равна

степеней свободы, относящиеся к поступательному, вращательному и колебательному движению молекулы газа.

Методами квантовой механики можно показать, что при вычислении теплоемкости газа учет степеней свободы зависит от температуры.

Поступательные степени свободы необходимо учитывать всегда.

Вращательные степени свободы следует учитывать при не слишком низких температурах. Так, для молекул водорода вращательные степени свободы «включаются» при температурах

T ≥ 80 К.

Колебательные степени свободы нужно учитывать при достаточно высоких температурах. Например, для тех же молекул водорода колебательные степени свободы следует учитывать при

T > 6000 К.

При условиях, близких к нормальным, межатомные связи внутри молекул газов можно считать недеформируемыми и ограничиться моделью жестких молекул. В этом случае двухатомная молекула может рассматриваться как система двух материальных точек с жесткой связью. Ее положение в пространстве определяется шестью координатами ( x1 , y1 , z1; x2 , y2 , z2 ), из которых только

пять являются независимыми. При фиксированном расстоянии L

6

между атомами в молекуле одна из шести координат может быть выражена через пять остальных, следовательно, для такой молекулы i = 5. Для жестких многоатомных молекул, не обладающих линейной структурой, i = 6.

Внутренняя энергия U идеального газа равна сумме энергий отдельных молекул. Тогда в отсутствие внешних силовых полей

Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объе-

Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении в соответствии с формулой Майера

Формулы (1) – (7) могут быть применены для описания газов, характеризующихся не слишком высокими значениями концентрации частиц. В этом случае газ можно рассматривать как идеальный.

7

Примеры решения задач

1. После кратковременного воздействия ионизатора на газообразный азот в закрытом сосуде доля распавшихся на атомы молекул составила η= 25% . Определите, во сколько раз изменился по-

казатель адиабаты γ , если считать, что в конечном состоянии в

газовой смеси присутствуют только электронейтральные молекулы и атомы. Температура смеси в конечном и начальном состоянии T =300 К. Газ считать идеальным.

Показатель адиабаты газа в начальном состоянии в соответствии с (7) равен

По условию задачи температура газа T =300 К, поэтому двухатомные молекулы азота можно считать жесткими, и число степеней свободы молекулы i1 = 5 .

В конечном состоянии показатель адиабаты газовой смеси

Газовая смесь состоит из (1 − η) ν моль двухатомных молекул и 2ην моль электронейтральных атомов ( ν – первоначальное количество вещества), так что

8

2. При температуре t = 27 °C определите среднюю квадратичную скорость uкв , среднюю кинетическую энергию поступатель-

квадратичную угловую скорость молекул водорода ωкв при этих условиях, рассматривая молекулу как два соприкасающихся жестких шарика с радиусами r = 0,5 10−10 м. Молярная масса водорода

μ = 2 10−3 кг/моль.

Согласно (2), средняя кинетическая энергия поступательного движения

где число степеней свободы, соответствующих поступательному движению молекул в трехмерном пространстве, iпост = 3 . Отсюда

Eпост= 32 kT = 6,21 10−21 Дж.

Вращательному движению жесткой двухатомной молекулы вокруг ее центра масс соответствует iвращ = 2 . Используя (2), на-

ходим

9

Среднюю квадратичную угловую скорость вращения молекулы можно оценить из следующих соображений.

Кинетическая энергия твердого тела Eвращ , вращающегося вокруг закрепленной оси, проходящей через его центр масс, равна

где I – момент инерции тела относительно этой оси. Из (15) и (16) получим

момент инерции этой системы относительно оси, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно ее оси симметрии:

10