Методические указания к решению задач олимпиады по сопротивлению материалов (120

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

А.А. Горбатовский, А.И. Котов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ

ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

Под редакцией В.И. Цветкова

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2010

УДК 539.3/.8 ББК 30.121 Г67

Рецензент Г.Я. Пановко

Горбатовский А.А.

Г67 Методические указания к решению задач олимпиады по сопротивлению материалов / А.А. Горбатовский, А.И. Котов ; под ред. В.И. Цветкова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баума-

на, 2010. — 27, [1] с. : ил.

В методических указаниях рассмотрены решения задач, предложенных участникам отборочного тура Всероссийской олимпиады по сопротивлению материалов, прошедшей в МГТУ им. Н.Э. Баумана в марте 2009 г.

Для студентов машиностроительных специальностей высших учебных заведений.

УДК 539.3/.8 ББК 30.121

♥ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010

2

Задача 1. Угол поворота сечения B балки OB (рис. 1) ограничен

величиной ϑBK = Ml . Коэффициентжесткости пружины Z = EIx .

EIx l3

Определить потенциальную энергию U деформации системы. Дано: l, Ix , E, M .

Рис. 1

Решение. Вычислим угол поворота сечения B при отсутствии

Рис. 2

Полный угол поворота сечения B в этом случае

ϑ=ϑBZ +ϑBF ,

где ϑBF — угол поворота вследствие изгибной деформации балки (рис. 2). Значение угла ϑBF определяется перемножением эпюр по Мору — Верещагину (рис. 3):

бающим моментом сечение B повернется лишь на угол ϑBK = Ml ,

EIx

который соответствует части M внешнего момента М, найденной из соотношения

4

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 4

Рис. 5

Дано: l, H, B, f , E.

Решение. Расчетная схема (рис. 5) пружины храпового механизма представляет собой консольную балку под действием сосредоточенной силы F, обеспечивающей стрелу f прогиба сечения

K, равную f = Fl3 . Сила F определяется через прогиб: 3EIx

или, принимая во внимание, что Ix = HB123 , как

3EfB

σmax = 2l2 .

Таким образом, ширина пружины не влияет на максимальное напряжение, а следовательно, уменьшить напряжение в 2 раза (увеличив тем самым коэффициент запаса в 2 раза) можно путем уменьшения в 2 раза толщины пружины (высоты поперечного сечения).

Задача 3. К предварительно ненапряженному валу OC (рис. 6) прикладывают момент M, обеспечивающий угол поворота ϕC се-

чения C. Затем вал в этом сечении (не снимая нагрузки) приваривают к абсолютно жесткой опоре, после чего на участке BC вы-

сверливают отверстие диаметром d0 = d2 .

После окончания всех работ значение относительной линейной деформации, измеренное с помощью тензорезистора, составило ε.

Определить значение момента M.

Дано: l, d, ϕC , ε, G, ν.

Рис. 6

Решение. Для поворота сечения C сплошного вала на угол ϕC

следует приложить момент M = GI2lp ϕC .

7

Для закрепленного и высверленного вала внутренние крутящие моменты MкD , одинаковые во всех сечениях вала, можно найти из равенства

ний крутящий момент в сечениях сплошного вала; MкD = 3031 M.

Рис. 7

Напряженное состояние точек вала — чистый сдвиг (рис. 7):

Согласно обобщенному закону Гука,

ε = σE1 −νσE3 = τmaxE (1+ν)

или

ε =16 30 (1+ν3 ) M.

31π Ed

Таким образом, искомый момент равен

8

Задача 4. Прерыватель электромеханического реле (рис. 8) собран таким образом, что между контактами A и B (за счет предварительного натяга 0) существует сила взаимодействия N0.

Какую силу F следует приложить, чтобы обеспечить надежное размыкание контактов, соответствующее зазору между A и B, равному 0,5 0?

Дано: l, d, ϕC , εu , G, ν.

Рис. 8

Решение. Натяг 0 равен сумме поджатий элементов 1 и 2 (см. рис. 8), при этом в процессе сборки вследствие равных жесткостей и контактной силы (рис. 9) каждый из контактов получает одно и

До размыкания контактов A и B балочные элементы 1 и 2 работают совместно до тех пор, пока контактная сила (N0 – X1) (рис. 10) не станет равной нулю. Здесь X1 — сила, при которой происходит размыкание контактов A и B.

9

Рис. 9

Рис. 10

Рассмотрев отдельно силу X1(F) (рис. 11), с использованием