Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Раздел «Термодинамика» (96

I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

Особенности макроскопических процессов обусловлены тем, что число содержащихся в макроскопических телах частиц (атомов, молекул, ионов) чрезвычайно велико. Благодаря этому беспорядочное движение частиц приобретает новые качества: макроскопические свойства систем из большого числа частиц в обычных условиях совершенно не зависят от начального положения этих частиц, в то время как механическое состояние системы существенно зависит от этих условий. Возрастание количества механически движущихся частиц в системе порождает новый вид движения

– тепловое движение. Для исследования процессов, связанных с тепловым движением, применяют два качественно различных и взаимно дополняющих друг друга подхода: статистический (моле- кулярно-кинетический) и термодинамический.

Молекулярная (статистическая) физика – раздел физики, изучающий свойства вещества исходя из молекулярно-кинетической теории его строения. Согласно этой теории, все тела состоят из молекул (атомов, ионов), находящихся в непрерывном хаотическом движении, которое, собственно, и называется тепловым движением.

Термодинамический же метод не учитывает внутреннее строение веществ изучаемых тел (систем) и характер движения отдельных частиц. Он основан на изучении различных превращений энергии, происходящих в системе. Условия этих превращений и соотношения между различными формами энергии позволяют изучать физические свойства макроскопических систем при самых разнообразных процессах, в которых эти системы участвуют. Раздел физики, в котором физические свойства систем изучаются с помощью термодинамического метода, называется термодинамикой (или феноменологической термодинамикой). Термодинамика основана на двух установленных экспериментальным путем законах (началах) термодинамики, а также на тепловой теореме Нернста, называемой третьим началом термодинамики.

Область применения термодинамики значительно шире, чем область применения молекулярной физики, так как термодинамика не связана представлениями о микроскопических свойствах веще-

3

ства, она только устанавливает наиболее общие связи между его макроскопическими свойствами. Феноменологический характер термодинамики приводит, с одной стороны, к важным результатам, обладающим применимостью для широких классов макроскопических систем, а с другой – не позволяет вскрыть природу изучаемых явлений. По этой причине развитие термодинамики шло неразрывно с формированием молекулярно-кинетической теории строения вещества.

Внастоящее время нет оснований для противопоставления термодинамических и молекулярно-кинетических методов исследования.

Втермодинамике рассматриваются термодинамические системы – макроскопические объекты (тела и поля), которые могут обмениваться энергией как между собой, так и с внешней средой, т. е. с макроскопическими объектами, не входящими в состав изучаемой системы.

Для описания состояния термодинамической системы вводят физические величины, которые называют термодинамическими параметрами, или параметрами состояния системы. Для широкого класса термодинамических систем параметрами состояния выбирают давление, объем и температуру.

Давлением p называют физическую величину, численно равную силе, действующей на единицу площади поверхности тела по

направлению нормали к этой поверхности: p = dFdSn , где dFn –

численное значение нормальной проекции силы, действующей на малый участок поверхности тела площадью dS.

Понятие температуры имеет смысл для равновесных состояний термодинамической системы. Равновесным состоянием (состоянием термодинамического равновесия) называют состояние системы, все параметры которой не зависят от времени (стационарное состояние), и в которой нет никаких стационарных потоков за счет действия каких-либо внешних источников.

В термодинамике постулируется, что у изолированной термодинамической системы (т. е. у системы, не обменивающейся с окружением ни веществом, ни энергией) существует состояние термодинамического равновесия, в которое система переходит с течением времени и самопроизвольно выйти из него не может.

4

Этот постулат, иногда называемый общим началом термодинамики, является результатом обобщения опыта.

Во всех частях системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, температура одинакова. Если происходит соприкосновение двух тел с различными температурами, то путем теплообмена происходит передача внутренней энергии от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой. Этот процесс прекращается, когда температуры обоих тех оказываются одинаковыми.

Температура равновесной системы является мерой интенсивности теплового движения ее молекул (атомов, ионов). Для равновесной системы частиц, подчиняющихся законам классической статистической физики, средняя кинетическая энергия теплового движения частиц прямо пропорциональна термодинамической температуре системы.

Параметры состояния системы разделяют на внешние и внутренние. Внешними называют те, которые зависят от положения в пространстве и различных свойств тел, являющихся внешними по отношению к изучаемой системе; внутренними – те, которые зависят как от положения внешних по отношению к системе тел, так и от координат и скоростей частиц, образующих данную систему.

Все внутренние параметры, характеризующие систему в состоянии термодинамического равновесия, являются функциями внешних параметров и температуры. Это положение также является результатом обобщения опыта. Оно позволяет определить изменение температуры тела по изменению какого-либо его внутреннего параметра.

Приведем примеры параметров состояния.

Объем V сосуда, в котором находится газ, является внешним параметром, так как зависит от координат его стенок; при этом давление газа p будет внутренним параметром. Если тот же газ поместить в сосуд, закрытый сверху тяжелым поршнем, то роль внешнего параметра следует отвести давлению, зависящему от массы поршня, объем же газа V в этом случае окажется именно внутренним параметром.

Уравнениями состояния (термическими уравнениями состояния) термодинамической системы называют уравнения, связы-

5

вающие температуру T, внешние параметры ai и какой-либо равновесный внутренний параметр bk :

bk = f (a1 , ..., an ; T ) .

Если параметрами состояния системы являются давление, объем и температура, то ее термическое уравнение состояния выражает условие связи между этими параметрами и имеет вид

P = f (V ,T ) или F (P,V ,T ) = 0 .

Одним из внутренних параметров, характеризующих состояние термодинамической системы, является ее внутренняя энергия.

Произвольная термодинамическая система, находящаяся в любом равновесном или неравновесном состоянии, обладает полной энергией W, складывающейся:

а) из кинетической энергии WKмех механического движения системы как целого (или ее макроскопических частей);

б) из потенциальной энергии WΠвнеш системы во внешних сило-

вых полях (например, гравитационном); в) из внутренней энергии U.

Таким образом, энергия

W = WKмех + WΠвнеш + U.

Внутренней энергией тела или термодинамической системы называется часть ее энергии, зависящая только от его (ее) термодинамического состояния. Для неподвижной термодинамической системы в отсутствие внешних силовых полей внутренняя энергия системы совпадает с ее полной энергией. Внутренняя энергия включает в себя энергию всех видов внутренних движений в системе и энергию взаимодействия всех частиц (атомов, молекул, ионов), входящих в ее состав.

Например, внутренняя энергия реального многоатомного газа складывается из следующих величин:

а) из кинетической энергии теплового поступательного и вращательного движения молекул;

б) из кинетической и потенциальной энергии колебаний атомов в молекулах;

в) из потенциальной энергии межмолекулярных взаимодействий;

6

г) из энергии электронных оболочек атомов и ионов; д) из потенциальной энергии взаимодействия между нуклона-

ми в ядрах и кинетической энергии их движения внутри ядер. Заметим, что слагаемые г) и д), как правило, не изменяются в

процессах, протекающих при комнатной температуре, не сопровождающихся ионизацией атомов и ядерными реакциями. В этом случае нет необходимости учитывать эти слагаемые в балансе внутренней энергии.

Внутренняя энергия является однозначной (с точностью до постоянного слагаемого) функцией термодинамического состояния системы, т. е. величиной, определяемой параметрами состояния системы, но она не зависит от способа, которым система попала в это состояние. Уравнение состояния, устанавливающее связь между внутренней энергией U, внешними параметрами ai и темпера-

турой T в состоянии термодинамического равновесия,

U =U (a1 , ..., an ; T )

называют уравнением энергии, или калорическим уравнением состояния. Значение внутренней энергии в любом состоянии не зависит от того, посредством какого процесса система перешла в данное состояние. Изменение внутренней энергии при переходе системы из состояния 1 в состояние 2 равно U =U2 −U1 и не за-

висит от вида процесса перехода 1 → 2. Если система совершает круговой процесс, т. е. ее конечное состояние совпадает с начальным, то полное изменение ее внутренней энергии равно нулю: dU = 0. Иными словами, элементарное приращение внутренней энергии dU является полным дифференциалом.

Уравнения состояния в термодинамике получены экспериментальным путем. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона–Менделеева) имеет вид

7

Уравнение состояния газа Ван-дер-Ваальса имеет вид

постоянные.

Если какой-либо из внешних параметров термодинамической системы изменяется, то происходит изменение состояния системы, называемое термодинамическим процессом. Термодинамический процесс называют равновесным, если система бесконечно медленно проходит непрерывный ряд бесконечно близких термодинамически равновесных состояний. Все процессы, которые не удовлетворяют перечисленным условиям, называют неравновесными. Реальные процессы происходят с конечной скоростью и потому равновесными не являются. Чем медленнее они протекают, тем ближе они по своим характеристикам к равновесным.

Изопроцессами называют термодинамические процессы, происходящие в системе с постоянной массой при каком-либо одном фиксированном параметре состояния. Изотермическим называют

процесс, происходящий при постоянной температуре (T = const ) , изохорическим – при постоянном объеме (V = const ), изобарический – при постоянном давлении (P = const ).

Процесс, протекающий в системе при отсутствии теплообмена с внешними телами, называют адиабатным (адиабатическим).

Примеры решения задач

1.1. Считая воздух идеальным газом, представляющим собой смесь азота и кислорода, молярная масса которого составляет

μ = 29 10−3 кг/моль, оцените массовую долю η кислорода в атмосферном воздухе. Молярная масса кислорода μ1 =32 10−3 кг/моль, молярная масса азота μ2 = 28 10−3 кг/моль.

Решение. По определению молярная масса смеси газов

8

μ = ν1 m+ν2 ,

−μ μ(μ1 −μ2 )

μ2 μ1

1.2.Определите массу воздуха, находящегося между двумя оконными стеклами, считая, что температура воздуха между ними0, 28.

изменяется по линейному закону от T1 = 270 K на внешнем до T2 =300 K на внутреннем стекле. Площадь стекол S = 1 м2, расстояние между ними h = 10 см, атмосферное давление p =1,013 105 Па. Молярную массу воздуха считать равной

μ = 29 10−3 кг/м3.

Решение. Разделив весь объем воздуха на плоские, параллельные стеклу слои толщиной dx, запишем уравнение Клапейрона– Менделеева для такого слоя:

pdV = dmμ RT (x),

где dV = Sdx – элементарный объем воздуха, а температура зависит от расстояния x от внешнего стекла по закону

9

Интегрируя последнее выражение, получим

Подставив числовые значения, получим m = 0,124 кг.

1.3. В трех сосудах объемами V1 =V0 , V2 = 2V0 и V3 =3V0 находится идеальный газ одного и того же химического состава при

температуре T0 и одном и том же давлении. Сосуды соединяют тонкими шлангами, после чего температуру в сосуде 1 поддерживают равной T1 = 2T0 , а в сосуде 2 – равной T2 =T0 . Определите

где p – давление; ν – суммарное количество газа в системе. После соединения сосудов для газа в каждом из них можно за-

p0 =105 Па до конечного давления p = 1 Па за время τ =1 ч. Про-

10