Дифференциальные уравнения (110

и равные k

= k

(D =

p2

− q = 0) .

2

1

4

В этом случае общее решение имеет вид

y(x) = c ek1x + c xek1x .

1

2

Пример 13. Найти общее решение уравнения y′′ − 2 y′ + y = 0 .

Составим

характеристическое

уравнение k 2 − 2k + 1 = 0 . Так

как его

корни равны k1

= k2 = 1, то общее решение y(x) = c1e x + c2 xe x .

Случай 3. Корни k1 и k2 характеристического уравнения (20) ком-

плексные и равные k1 = α + iβ ; k2

= α − iβ .

Общее решение в этом случае запишется в виде

y(x) = eα x (c cos β x + c sin β x) .

1

2

Пример 14. Найти общее решение уравнения y′′ − 6 y′ + 25y = 0 .

Имеем

k2

− 6k + 25 = 0 ; k

= 3 ± 4i . По формуле общего

решения

1,2

y(x) = e3x (c cos4x + c sin 4x) .

1

2

Определение 31. Уравнение вида

y′′ + a1 (x) y′ + a2 (x) y = f (x) ,

(21)

Теорема 7. Общим решением y(x)

уравнения (21) является сумма его

произвольного

частного

решения

yч (x)

и общего решения

yо (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x)

соответствующего однородного уравнения (16), т.е.

y(x) = yч(x) + yо(x) .

Частное решение

yч (x)

уравнения можно найти, если известно общее

решение yо (x)

соответствующего однородного уравнения, методом вариа-

y′′ + py′ + qy = f (x) ,

(22)

где y(x) – искомая функция, p и q – вещественные числа,

f (x) – непре-

Общее решение

уравнения (22) находится по формуле

y(x) = yч(x) + yо(x), где

yо (x) – общее решение однородного уравнения

Случай 1. Правая часть уравнения (22) имеет вид f (x) = P (x)eα x , где

n

α R , Pn (x) – многочлен степени n . Уравнение (22) запишется в виде

y′′ + py′ + qy = Pn (x)eαx .

В этом случае частное решение yч (x) ищем в виде

y

(x)

= xr Q (x)eα x ,

ч

n

где r –

число,

показывающее,

сколько раз α является корнем уравнения

k2 + pk + q = 0

, а Q (x) = A xn

+ A xn−1 + ... + A

– многочлен степени n , запи-

n

0

1

n

санный с неопределенными коэффициентами Ai

(i = 1, 2,..., n) .

а)

Пусть

α

не

является

корнем характеристического уравнения

k2 + pk + q = 0

. Следовательно,

r = 0 и y (x) = Q (x)eα x .

ч

n

б)

Пусть α является простым корнем характеристического уравнения

k2 + pk + q = 0

и α = k

≠ k

2

(r = 1)

. В этом случае y (x) = xQ (x)eα x .

1

ч

n

в)

Пусть

α

является

двукратным

корнем

характеристического

уравнения k2 + pk + q = 0 ,

т.е.

α = k = k

2

(r = 2) .

В этом случае

1

y (x) = x2Q (x)eα x .

ч

n

Пример 15. Найти общее решение уравнения y′′ − 4 y′ + 3y = xex .

Общее решение заданного уравнения имеет вид

y(x) = yч(x) + yо(x) .

уравнение

k 2 − 4k + 3 = 0

имеет

корни k1

= 1, k2 = 3 .

Следовательно,

y

o

(x) = c ex + c e3x . Находим частное решение

y (x) . Правая часть уравне-

1

2

ч

ния в нашем случае имеет вид f (x)

= P (x)eα x . Так как среди корней харак-

n

теристического уравнения имеется только один корень k1

= α = 1, то r = 1 .

Частное

решение ищем в

виде

y (x) = ( Ax + B)xex = ( Ax2 + Bx)ex .

Тогда

ч

yч′ (x) = (2 Ax + B + Ax2 + Bx)ex ,

yч′′(x) = (2A + 4Ax + 2B + Ax2 + Bx)ex.

Под-

ставим

yч (x) и его производные в исходное уравнение.

Отсюда имеем:

−4Ax + 2A − 2B = x.

Следовательно,

A = −

1 ,

B = −

1 .

Поэтому

yч(x) =

4

4

= − 1 (x2 + x)ex . Наконец, y

(x) = c ex

+ c e3x − 1

(x2 + x)ex – общее решение

4

ч

1

2

4

заданного уравнения.

Случай

2.

Правая

часть

уравнения

(22)

имеет

вид

f (x) =

= eα x (P (x)cos β x + Q

(x)sin β x) .

В этом случае частное

решение

y (x)

n

m

ч

уравнения (22) следует искать в виде

y (x) = xr eα x (M

l

(x)cos β x + N

(x)sin β x) ,

ч

l

где r

–

кратность

корня

α + iβ

характеристического

уравнения k2 +

+ pk + q = 0 ,

M1 (x) и

N1 (x)

– многочлены степени l

с неопределенными

коэффициентами,

l –

наивысшая степень многочленов

Pn (x)

и Qm (x) , т.е.

l = max(n, m) .

Пример 16. Найти общее решение уравнения y′′ − 4 y′ + 13y = 40cos3x .

Общее решение заданного уравнения

y(x) имеет вид

y(x) = yч(x) +

yо(x)

. Найдем yо(x) – общее решение однородного уравнения y′′ − 4 y′ +

+ 13y = 0 .

Характеристическое уравнение

k2

− 4k + 13 = 0

имеет

корни

k = 2 ± 3i . Следовательно,

y (x) = e2 x (c cos3x + c sin3x) . Находим частное

1,2

о

1

2

решение yч (x) . Правая часть уравнения в нашем случае имеет вид

f (x) =

= e0 x (40cos3x + 0sin3x) . Так как α = 0, β = 3, α + iβ = 3i

не совпадают с кор-

Следовательно,

A = 1, B = −3. Поэтому yч(x) = cos3x − 3sin 3x .

Наконец,

y(x) = e2 x (c cos3x + c sin3x) + cos3x − 3sin3x – общее

решение

заданного

1

2

уравнения.

Случай 3. Правая часть уравнения (22) имеет вид

f (x) = f1 (x) + f2 (x) .

yч(x) = yч1 + yч2 ,

где

yч1 (x)

–

частное

решение

уравнения

y′′ + py′ + qy = f1 (x) ,

а

yч2 (x)

–

частное

решение

уравнения

y′′ + py′ + qy = f2 (x) .

6) y′ +

2 y

1

= 3x2 y3 .

x

6) y′ =

4 y + x y .

x

′

2xy

y

6) y

− 1

+ x

2

= 4

1 + x2 arctg x .

5)

y′′ + 4 y′ + 4 y = xe2 x ,

6)

y′ −

y

=

2 y

.

x

− 1

cos2 x

6) y′ −

y

=

2 y

.

x − 1

cos2 x

6) y′ + y = e

x

y .

2

y

y

3)

xy′sin

+ x = ysin

,

x

x

6) y′ =

4 y + x y .

x