Дифференциальные уравнения первого порядка (96

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

И.Е. Кандаурова, В.В. Миткин, С.И. Шишкина

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Методические указания к решению задач

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2008

УДК 517.9 ББК 22.161.6

К192

Рецензент В.Ю. Чуев

Кандаурова И.Е., Миткин В.В., Шишкина С.И.

К192 Дифференциальные уравнения первого порядка: Метод. указания к решению задач. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 48 с.: ил.

Рассмотрены методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Даны краткие теоретические сведения, приведены примеры решения уравнений, а также задачи для самостоятельного решения.

Для студентов 1-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана.

УДК 517.9 ББК 22.161.6

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008

2

ВВЕДЕНИЕ

С решениями дифференциальных уравнений связано огромное количество задач физики, механики, химии, биологии и других наук.

Формально решение дифференциального уравнения представляет собой задачу обратную дифференцированию. К простейшему уравнению такого вида приводит задача поиска первообразной неко-

торой заданной функции f (x). Задачу можно записать следующим образом: dydx = f (x). Это уравнение содержит первую производную

неизвестной функции и представляет собой простейшее дифференциальное уравнение. В физике решение подобных уравнений связано с задачами определения координаты при заданной скорости в случае одномерного движения, описания процесса разрядки конденсатора через активное сопротивление, определения остатка радиоактивного элемента и многими другими.

В данных методических указаниях рассматриваются традиционные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, связывающих искомую функцию, независимую переменную и первую производную от искомой функции. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями первого порядка. Их изучение представляет особый интерес как для освоения методов решения простейших дифференциальных уравнений, так и для анализа более сложных уравнений, которые различными математическими приемами могут быть сведены к уравнениям первого порядка.

3

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

которое связывает независимую переменную х, неизвестную функ-

цию y и ее первую производную y′ = dydx . Предполагается, что F –

непрерывная вещественная функция вещественных аргументов. Если уравнение первого порядка имеет вид

т. е. производная явно выражена через функцию и аргумент, то такое уравнение называется разрешенным относительно производной.

Решением дифференциального уравнения называется диффе-

ренцируемая функция y = ϕ(x), которая при подстановке ее в урав-

нение (1.1) или (1.2) обратит его в тождество. Геометрически решение уравнения есть кривая на плоскости. График этой функции

y = ϕ(x) на плоскости (x, y) называется интегральной кривой.

Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения. Задача интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении всех решений этого уравнения и изучении их свойств.

Общим решением уравнения (1.1) называется функция y = ϕ(x,C) , зависящая от аргумента и одной произвольной кон-

станты C R , обращающая данное уравнение в тождество, причем различным значениям С соответствуют различные частные решения. Геометрически общее решение задает семейство интегральных кривых на плоскости.

4

Частным решением уравнения (1.1) обычно называют решение этого уравнения при конкретном значении параметра C .

Если общее решение уравнения (1.2) задано в неявном виде Φ(x, y,C)= 0 или ϕ(x, y)= C , то оно называется общим интегралом

этого уравнения. Функция ϕ(x, y) при конкретном значении C на-

зывается частным интегралом уравнения.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого поряд-

ка формулируется следующим образом: найти решение y = ϕ( x) дифференциального уравнения y′ = f (x, y), удовлетворяющее начальному условию

где x0 и y0 – некоторые заданные числа.

Геометрическая интерпретация задачи Коши: найти интегральную кривую дифференциального уравнения y′ = f (x, y), проходящую через точку (x0, y0).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Пусть функция f (x, y) непрерывна в некоторой области D

плоскости x, y и имеет в этой области непрерывную частную про-

изводную ∂∂yf , и пусть точка (x0, y0) принадлежит этой области.

Тогда решение задачи Коши для уравнения (1.2) с начальными условиями (1.3) существует и единственно на некотором интервале x0 − h < x < x0 + h .

Геометрическая интерпретация дифференциального урав-

нения первого порядка. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной (1.2), связывает производную с координатами точки (x, y) на плоскости. Геометрически производная

задает тангенс угла наклона α касательной к интегральной кривой в точке с положительным направлением оси Ox .

Поэтому в каждой точке (x, y) области определения функции f (x, y) уравнение задает направление касательной к интегральной

5

кривой в этой точке. Проведя в каждой точке (x, y) из области задания функции f (x, y) отрезок касательной с центром в этой точке,

получим так называемое поле направлений. Таким образом, геометрически дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной (1.2), задает поле направлений.

2. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными. Для интегрирования такого уравнения оно приводится к такой форме, чтобы в одну часть входила только функция от х и дифференциал dx , а в другую часть – только функция от у и дифференциал dy :

После этого, проинтегрировав левую часть по у, а правую по х, получим

где C – произвольная постоянная. Обозначим

тогда общий интеграл уравнения (2.1) можно записать таким образом:

6

К уравнению (2.1а) приводится и уравнение вида

Вычислив интегралы, найдем

1 + y 2 = − 12 ln (1 + x 2 )+ C .

7

Из этого равенства получим общее решение исходного уравне-

ния:

Пример 2.2. Решить уравнение

(xy − x)dx +(xy + x − y −1)dy = 0 .

Решение. Преобразовав исходное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными

x( y −1)dx + ( x −1)( y +1)dy = 0 .

Найдем общий интеграл исходного уравнения: x +ln x −1 + y + 2ln y −1 = C .

При разделении переменных предполагали, что x −1 ≠ 0 , y −1 ≠ 0 . Проверим, не произошла ли потеря решений. Подстановка

x = 1 и y = 1 в исходное уравнение показывает, что x = 1 и y = 1

являются решениями.

Пример 2.3. Проинтегрировать уравнение

(xy 2 + y 2 )dx + (x 2 − x 2 y)dy = 0 .

Решение. Преобразуем левую часть исходного уравнения:

y2 (x +1)dx + x2 (1 − y)dy = 0.

Предположим, что x2 y2 ≠ 0 . Разделив обе части на x2 y2 , придем к уравнению с разделяющимися переменными:

8

Проинтегрировав это уравнение, получим общий интеграл в виде

Непосредственной проверкой можно убедиться, что x = 0 и y = 0 являются решениями данного дифференциального уравнения,

однако они не получаются из общего интеграла ни при каком значении C . Они были потеряны при разделении переменных, так как

при делении предполагалось, что x2 y2 ≠ 0 , и должны быть включены в решение.

3. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение. Функция M (x, y) называется однородной k-го измерения, если M (tx, ty) = tk M (x, y), где t – некоторый параметр.

Определение. Уравнение вида

Если в однородном уравнении при помощи замены искомой функции перейти к новой неизвестной функции u (x) по формуле

u (x) = xy , то оно приводится к уравнению с разделяющимися пере-

менными.

Иногда целесообразно вместо подстановки y = xu (x) использовать подстановку x = yu (y).

Пример 3.1. Решить уравнение

dxdy = xy + xy 2 .

Решение. Это уравнение является однородным, так как

f(x, y) = xy + xy 2

–однородная функция нулевого измерения.

– уравнение с разделяющимися переменными.

Функция u(x) ≡ 0 является решением полученного уравнения. Если u (x) ≠ 0 , то, разделив переменные, найдем

du = dx . u2 x

Интегрируя ∫udu2 = ∫dxx +C , получим −u1 = ln x +C .

10