Дифференциальные уравнения (1500

1.kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII

uRAWNENIE, W KOTOROM NEIZWESTNAQ FUNKCIQ OT ODNOJ PEREMEN- NOJ WHODIT POD ZNAK PROIZWODNOJ ILI DIFFERENCIALA, NAZYWA-

ETSQ (OBYKNOWENNYM) DIFFERENCIALXNYM URAWNENIEM ILI D.U.

(DLQ KRATKOSTI). pORQDKOM D.U. NAZYWAETSQ MAKSIMALXNYJ PO- RQDOK WHODQ]EJ W NEGO PROIZWODNOJ (ILI DIFFERENCIALA) NEIZ- WESTNOJ FUNKCII. rE[ENIEM NA INTERWALE (a b) URAWNENIQ

F(x y y0 : : : y(n)) = 0 PORQDKA n NAZYWAETSQ L@BAQ TAKAQ n RAZ

DIFFERENCIRUEMAQ NA (a b) FUNKCIQ y = y(x), ^TO

F(x y(x) y0(x) : : : y(n)(x)) = 0 DLQ WSEH x 2 (a b). gRAFIK RE-

[ENIQ y = '(x) URAWNENIQ F (x y y0 : : : y(n)) = 0 NAZYWAETSQ

INTEGRALXNOJ KRIWOJ \TOGO URAWNENIQ. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ PERWOGO PORQDKA

rASSMOTRIM URAWNENIE PERWOGO PORQDKA y0 = f(x y), RAZRE- [ENNOE OTNOSITELXNO y0, GDE x { NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ I y = y(x) { NEIZWESTNAQ FUNKCIQ. |TO URAWNENIE MOVNO ZAPISATX W DIFFERENCIALXNOJ FORME M(x y)dx + N(x y)dy = 0, OBOZNA-

^AQ f(x y) = ;M(x y) (OBE FORMY ZAPISI RAWNOPRAWNY). zA-

N(x y)

DA^EJ kO[I (ILI NA^ALXNOJ ZADA^EJ) URAWNENIQ y0 = f(x y)

NAZYWAETSQ ZADA^A POISKA TAKOGO RE[ENIQ y = y(x) \TOGO URAW- NENIQ, ^TO y(x0) = y0 (PRI \TOM TO^KA (x0 y0) NAZYWAETSQ NA-

^ALXNOJ TO^KOJ, A USLOWIE y(x0) = y0 { NA^ALXNYM USLOWIEM).

~ASTNYM RE[ENIEM URAWNENIQ y0 = f(x y) NAZYWAETSQ RE[ENIE y = y(x) ZADA^I kO[I PRI KAKOM-NIBUDX KONKRETNOM ZNA^ENII y0. ~ASTNYM INTEGRALOM URAWNENIQ y0 = f(x y) NAZYWAETSQ SO- OTNO[ENIE F (x y) = 0, KOTOROE OPREDELQET KAK NEQWNU@ FUNK- CI@ NEKOTOROE ^ASTNOE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ. oSOBYM RE[E- NIEM URAWNENIQ y0 = f(x y) NAZYWAETSQ L@BOE TAKOE EGO RE[ENIE

y= y(x), ^TO DLQ KAVDOJ TO^KI (x0 y(x0)) INTEGRALXNOJ KRIWOJ

y= y(x) SU]ESTWUET HOTQ BY E]E ODNA INTEGRALXNAQ KRIWAQ

\TOGO URAWNENIQ, KOTORAQ PROHODIT ^EREZ \TU TO^KU I NE SOWPA- DAET S INTEGRALXNOJ KRIWOJ y = y(x). oB]IM RE[ENIEM URAWNE- NIQ y0 = f(x y) W OBLASTI D NA PLOSKOSTI Oxy NAZYWAETSQ TAKAQ FUNKCIQ y = y(x C), ZAWISQ]AQ OT PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ C, ^TO PRI L@BOM DOPUSTIMOM ZNA^ENII POSTOQNNOJ C FUNKCIQ y = y(x C) QWLQETSQ RE[ENIEM NA[EGO URAWNENIQ NA NEKOTOROM

dy

INTERWALE (a b) (T.E. dx(x C) = f(x y(x C)) DLQ WSEH x 2 (a b))

IME@T ODNO I TO VE NAPRAWLENIE f1 kg = f1 f(x y)g: pOSTROIW DOSTATO^NO GUSTU@ SETKU IZOKLIN, OTWE^A@]IH RAZLI^NYM ZNA^ENIQM POSTOQNNOJ k I IZOBRAZIW NA KAVDOJ IZOKLINE

SOOTWETSTWU@]IE EJ NAPRAWLENIQ f1 kg BUDEM (DWIGAQSX OT KONKRETNOJ TO^KI (x0 y0) 2 D) PROWODITX KRIWU@, KOTORAQ PRI PERESE^ENII S IZOKLINOJ f(x y) = k KASAETSQ NAPRAWLENIQ f1 kg: pOLU^ENNAQ TAKIM OBRAZOM KRIWAQ, BUDET PRIBLIVENNYM \SKIZOM INTEGRALXNOJ KRIWOJ URAWNENIQ ( ).

1.3. uRAWNENIQ S RAZDELENNYMI PEREMENNYMI. tAKIMI URAWNENIQMI NAZYWA@TSQ D.U. f(x)dx = g(y)dy, GDE f(x) { NEPRERYWNAQ FUNKCIQ OT ODNOJ PEREMENNOJ x I g(y) { NEPRE-

N2(y)dy, GDE M1(x), N1(x) { NEPRERYWNYE FUNKCII OT ODNOJ PE- REMENNOJ x I M2(y), N2(y) { NEPRERYWNYE FUNKCII OT ODNOJ PEREMENNOJ y. rAZDELIM OBE ^ASTI NA M2(y)N1(x), PREDPOLAGAQ

VE M2( ) = 0 ILI N1( ) = 0 (GDE I { POSTOQNNYE), TO NE- POSREDSTWENNOJ PODSTANOWKOJ x = I y = W ( ) POLU^AEM, ^TO FUNKCII x = I y = QWLQ@TSQ RE[ENIQMI \TOGO URAW- NENIQ (PRI \TOM TO^KU M( ) SLEDUET ISKL@^ITX IZ PRQMYH

dz

I IZ ISHODNOGO URAWNENIQ POLU^AEM URAWNENIE dx = bf(z) + a,

SISTEMA NE IMEET RE[ENIJ, TO NAJDETSQ TAKOE ^ISLO k, ^TO

1.9. lINEJNYE D.U. PERWOGO PORQDKA.

tAKIMI URAWNENIQMI NAZYWA@TSQ URAWNENIQ y0 = p(x)y + q(x), GDE p(x) I q(x) { IZWESTNYE NEPRERYWNYE NA OTREZKE [a b] FUNK- CII. pRI q(x) 0 URAWNENIE y0 = p(x)y NAZYWAETSQ ODNORODNYM, A PRI q(x) 6 0 URAWNENIE y0 = p(x)y + q(x) NAZYWAETSQ NEODNO-

RODNYM.

oB]EE RE[ENIE URAWNENIQ y0 = p(x)y+q(x) I]ETSQ W WIDE y =

8 dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ

uv, GDE u = u(x) { NOWAQ NEIZWESTNAQ FUNKCIQ I v = v(x) { KAKOE- NIBUDX NENULEWOE ^ASTNOE RE[ENIE URAWNENIQ S RAZDELQ@]IMI- SQ PEREMENNYMI v0 = vp(x). pODSTAWLQQ y = uv I y0 = u0v + uv0 W

URAWNENIE y0 = p(x)y + q(x), POLU^IM u0v + uv0 = uvp(x) + q(x).

tAK KAK uv0 = p(x)uv, TO u0v = q(x), u0 = q(x), u = Z q(x)dx, v(x) v(x)

u = F (x) + C, GDE F (x) { KAKAQ-NIBUDX PERWOOBRAZNAQ DLQ q(x). v(x)

tOGDA y = (F (x) + C)v(x).

1.10. uRAWNENIQ bERNULLI.

tAKIMI URAWNENIQMI NAZYWA@TSQ URAWNENIQ WIDA y0 = p(x)y + q(x)yn, GDE p(x) I q(x) { IZWESTNYE NEPRERYWNYE NA [a b] FUN- KCII. uRAWNENIQ bERNULLI RE[A@TSQ IZLOVENNYM WY[E DLQ LINEJNYH URAWNENIJ METODOM PREDSTAWLENIQ FUNKCII y W WIDE y = uv.

1.11. uRAWNENIQ W POLNYH DIFFERENCIALAH.

tAKIMI URAWNENIQMI NAZYWA@TSQ URAWNENIQ WIDA M(x y)dx + N(x y)dy = 0 W SLU^AE, ESLI SU]ESTWUET TAKAQ DIFFERENCIRUE-

MAQ FUNKCIQ u(x y), ^TO du(x y) = M(x y)dx+ N(x y)dy. tOGDA u(x y) = C { OB]IJ INTEGRAL URAWNENIQ M(x y)dx+N(x y)dy = 0. eSLI FUNKCII M(x y), N(x y) I IH ^ASTNYE PROIZWODNYE My0 I Nx0 NEPRERYWNY W NEKOTOROJ ODNOSWQZNOJ OBLASTI D, TO MOVNO DOKAZATX, ^TO M(x y)dx + N(x y)dy = 0 { URAWNENIE W POLNYH DIFFERENCIALAH W TO^NOSTI TOGDA, KOGDA Nx0 = My0 DLQ WSEH (x y) 2 D (W \TOM SLU^AE FUNKCIQ u = u(x y) OPREDELQETSQ IZ URAWNENIJ u0x = M(x y) I u0y = N(x y).

1.12. uRAWNENIQ S INTEGRIRU@]IM MNOVITELEM.

RYWNA I IMEET PERWOOBRAZNU@ F (x), TO W KA^ESTWE INTEGRIRU@- ]EGO MNOVITELQ MOVNO WZQTX FUNKCI@ eF (x).

PRERYWNA I IMEET PERWOOBRAZNU@ F(y), TO W KA^ESTWE INTEGRI- RU@]EGO MNOVITELQ MOVNO WZQTX FUNKCI@ eF (y).

dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA

y = Z (3x2 ; cos x + C1)dx = x3 ; sin x + C1x + C2.

1.14. uRAWNENIQ F(x y0 y00) = 0, NE SODERVA]IE QWNO ISKOMOJ FUNKCII.

tAKIE URAWNENIQ POSLE OBOZNA^ENIQ z = y0 SWODQTSQ K URAWNE- NIQM PERWOGO PORQDKA F(x z z0) = 0.

1.15. uRAWNENIQ F(y y0 y00) = 0, NE SODERVA]IE QWNO

NEIZWESTNOJ FUNKCII p = p(y). eSLI BUDET NAJDENO OB]EE RE[E- NIE p = '(y C1) URAWNENIQ G y p dydp! = 0,

dy

ISHODNOGO URAWNENIQ I]ETSQ IZ URAWNENIQ dx = '(x C1).

1.16. uRAWNENIQ y00 + py0 + qy = 0, GDE p q 2 R. uRAWNENIE TAKOGO WIDA NAZYWAETSQ LINEJNYM ODNORODNYM URAW-

NENIEM (WTOROGO PORQDKA) S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI I EGO OB]EE RE[ENIE yO.O. ZAWISIT OT DWUH PROIZWOLXNYH POSTOQN- NYH C1 I C2 I IMEET WID yO.O.

I y2 IME@T RAZNYJ WID W ZAWISIMOSTI OT ZNAKA DISKRIMINAN- TA D KWADRATNOGO URAWNENIQ 2 + p + q = 0 ( ), NAZYWAEMOGO

HARAKTERISTI^ESKIM URAWNENIEM DIFFERENCIALXNOGO URAWNE-

NIQ y00 + py0 + qy = 0.

D > 0 I ( ) IMEET DWA RAZNYH KORNQ 1 2 2 R. w \TOM SLU^AE yO.O. = C1e 1x + C2e 2x.

D = 0 I ( ) IMEET ODIN KORENX 1 = 2 2 R KRATNOSTI 2. w \TOM SLU^AE yO.O. = C1e 1x + C2xe 1x.

D < 0, ( ) NE IMEET DEJSTWITELXNYH KORNEJ, NO IMEET DWA RAZNYH KOMPLEKSNYH KORNQ 1 = a + bi I 2 = a ; bi, GDE a = ;p=2, b = qjDj=2, i { SIMWOL MNIMAQ EDINICA (i2 =

;1).

w\TOM SLU^AE yO.O. = C1eax cos bx + C2eax sin bx.

1.17.uRAWNENIQ y00 + py0 + qy = f(x), GDE p q 2 R I f(x) NEPRERYWNA.

uRAWNENIE TAKOGO WIDA NAZYWAETSQ LINEJNYM NEODNORODNYM URAWNENIEM WTOROGO PORQDKA S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTA-

MI I EGO OB]EE RE[ENIE yO.N. IMEET WID yO.N. = yO.O. + y^., GDE yO.O. = C1y1 + C2y2 { RASSMOTRENNOE RANEE OB]EE RE[ENIE ODNO- RODNOGO URAWNENIQ y00+py0+qy = 0, A y^. { KAKOE-NIBUDX ^ASTNOE RE[ENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ y00 + py0 + qy = f(x). tAKIM OBRAZOM, ZADA^A POISKA OB]EGO RE[ENIQ yO.N. SWODITSQ K POISKU ODNOGO ^ASTNOGO RE[ENIQ y^. ISHODNOGO URAWNENIQ.

pRI POISKE y^. METODOM WARIACII POSTOQNNYH ISKOMOE ^AS-

TNOE RE[ENIE I]UT W WIDE y^. = C1(x)y1 + C2(x)y2, GDE y1 I y2 { IZWESTNYE FUNKCII IZ FORMULY yO.O. = C1y1 + C2y2 OB]EGO RE-

[ENIQ ODNORODNOGO URAWNENIQ y00+py0 + qy = 0, A FUNKCII C1(x)

dOPUSTIM TEPERX, ^TO FUNKCIQ f(x) IZ PRAWOJ ^ASTI NEOD-

NORODNOGO URAWNENIQ y00 + py0 + qy = f(x) IMEET WID f(x) = e x[Pm(x) cos x + Qn(x) sin x], GDE Pm(x) I Qn(x) { MNOGO^LE-

NY STEPENEJ m I n SOOTWETSTWENNO. oPREDELIM ^ISLO k TAK, ^TO k = 0, ESLI + i NE QWLQETSQ KORNEM HARAKTERISTI^ESKOGO URAW-

Ps(x), Qs(x) { PROIZWOLXNYE MNOGO^LENY STEPENI s S NEIZWEST- NYMI KO\FFICIENTAMI, KOTORYE I]UTSQ IZ RAWENSTWA, POLU^EN- NOGO PODSTANOWKOJ W NEODNORODNOE URAWNENIE y00+py0+qy = f(x)