Дифференциальные уравнения (110.

боды выбора функции v(x) , можно принять с = 1. Отсюда v = e− p( x)dx . Под-

du = 2xex2 dx → u = ex2 + c .

Итак, общее решение данного уравнения имеет вид y = uv = (ex2 + c)e− x2 ,

т.е. y = 1+ ce− x2 .

Метод Лагранжа

Уравнение (7) интегрируется следующим образом. Сначала решается линейное однородное уравнение y′ + p(x) y = 0 . Разделяя в нем переменные,

получаем решение y = ce− p( x)dx . Метод вариации произвольной постоянной

11

общее решение уравнения выглядит следующим образом: y = 1 + c1e− x2 .

называется уравнением Бернулли.

Покажем, что уравнение (8) можно привести к линейному. В общем случае, разделив уравнение (8) на yn ≠ 0 , получаем y− n y′ + p(x) y− n+1 = q(x) . Обо-

значим y − n+1 = z . Тогда z′ = (1 − n) y− n y′ . Уравнение (8) принимает вид

z . Таким образом, подстановка z = y− n+1 сводит уравнение (8) к линейному.

12

Часто решение такого уравнения удобнее искать методом Бернулли в виде y = uv .

УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

Определение 18. Уравнение вида

где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции u(x, y) в некоторой области G , называется уравнением в полных диф-

ференциалах.

В этом случае уравнение (9) можно записать в виде du(x, y) = 0 , а его общий интеграл будет u(x, y) = C . Решение сводится к отысканию функции u(x, y) .

Теорема 2. Для того чтобы выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy , где функ-

ции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные ∂∂Py и ∂∂Qx непрерывны в некоторой области G плоскости Oxy , было полным дифференциалом, не-

обходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ∂∂Py = ∂∂Qx .

Пример 8. Найти общее решение уравнения (x + y +1)dx +

+ (x − y2 + 3)dy = 0 .

гласно теореме 2, выражение (x + y + 1)dx + (x − y2 + 3)dy является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y) . При этом ∂∂Py и ∂∂Qx – непре-

13

−y3 + 3y + C1 = С2 . Полагая 6(С2 − С1 ) = С3 , получаем окончательное урав-

3

нение, определяющее общее решение исходного уравнения

3x2 + 6xy + 6x − 2y3 + 18y = С3 .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определение 19. Уравнение вида

водные, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

14

Определение 20. Если уравнение (11) можно разрешить относительно y′′ , то оно принимает вид

и называется уравнением второго порядка, разрешенным относительно второй производной.

Определение 21. Решением дифференциального уравнения (12) называется всякая функция y = ϕ (x) , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Определение 22. Общим решением дифференциального уравнения (12) называется функция y = y(x,c1,c2 ), где c1 и c2 – не зависящие от x произвольные постоянные, удовлетворяющие условиям:

1) y(x,c1,c2 ) является решением дифференциального уравнения для каждого фиксированного значения с1 и с2; 2) каковы бы ни были начальные условия

Ф(x; y;с1;с2 ) = 0 , называют общим интегралом.

Определение 25. Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения дифференциального уравнения (12), удовлетворяющего заданным начальным условиям (13), называется задачей Коши.

15

единственное решение y = y(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (13).

Пример 9. Найти общее и частное решения уравнения y′′ = 4 при на-

чальных условиях y0 = 2 и y0′ = 2 при x0 = 2 .

Общее решение данного уравнения найдем двукратным интегрированием. Последовательно интегрируя, находим сначала первую производную

откуда находим C1 = −6 и C2 = 6 . Следовательно, искомым частным решением данного уравнения является функция y ( x) = 2x2 − 6x + 6 .

УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной данное дифференциальное уравнение сводится к уравнению, порядок которого ниже.

16

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка. 1. Пусть дано уравнение

y′′ = f (x) .

Порядок можно понизить, введя новую функцию p(x) и положив y′ = p(x) . Иначе это уравнение можно решать путем последовательного интегрирова-

не содержащее искомой функции y . Обозначим y′ = p(x) . Тогда y′′ = p′(x) и уравнение (14) принимает вид p′ = f (x, p) .

Пример 10. Найти общее решение уравнения y′′ − yx′ = 0 .

Положим y′ = p(x) ; y′′ = p′(x) . Тогда

которое не содержит явно независимой переменной x .

17

Пример 11. Найти частное решение уравнения y′′ − ( y′)2 + y′( y − 1) = 0 , удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 2, y′(0) = 2 .

ние первого порядка. Решим его методом Бернулли. Пусть p = uv . Имеем

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

где у = у(х) – искомая функция, а α1(x) , α2 (x) – непрерывные функции, на-

зывается линейным однородным уравнением второго порядка.

18

Теорема 4. Если функции y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x) являются частными решениями уравнения (16), то решением этого уравнения является также функция

где c1 и c2 – произвольные постоянные.

Функция (17) содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения. Может ли она являться общим решением уравнения?

α1,α 2 R , выполняется тогда и только тогда, когда α1 = α 2 = 0 .

Средством изучения линейной независимости системы функций является определитель Вронского, или вронскиан.

Определение 28. Определитель Вронского для двух дифференцируе-

дифференциального уравнения второго порядка (16) определяет фундамен-

тальную систему решений.

Теорема 6. Если два частных решения y1 (x) и y2 (x) линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (16) образуют на

19

интервале (a,b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция y(x) = c1 y1(x) + c2 y2 (x) , где c1 и c2 – произвольные постоянные.

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Частным случаем рассматриваемых выше линейных однородных дифференциальных уравнений является линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Определение 30. Уравнение вида

где y(x) – искомая функция, а p и q – вещественные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для решения уравнения (19) составим характеристическое уравнение

20