34
3. Шкалы наименований и порядковые шкалы
Шкала наименований
Пусть число различных состояний системы или процесса конечно. Каждому классу эквивалентности (состоянию системы) поставим в соответствие обозначение, отличное о других классов. Тогда измерение представляет собой определение принадлежности объекта к тому или иному классу и запись с помощью соответствующего символа. Это называется измерением в шкале наименований, она также называется номинальной или классификационной (самая слабая шкала).
Символами в этой шкале могут быть слова, знаки или их комбинации. Для упорядочения обозначений иногда вводится иерархия, называемая адресом.
Для непрерывных множеств использование шкал наименований затруднительно.
При обработке данных в номинальной шкале с ними можно выполнять следующие операции.
1. Операция проверки совпадения или несовпадения, которая фиксируется с помощью символа Кронекера:
|
ij |
|
=
1, если хi =хj, 0, если хi ≠хj.
2. |
n |
|
k
n kj
j 1
, где k – класс, n – общее число наблюдений, nk –
число наблюдений k-го класса.
3.Определение частоты k-го класса: pk=nk/n.
4.Определение моды
Мо= arg max pk.
k
Порядковая (ранговая) шкала
Если, кроме принадлежности объекта к классу, можно сравнивать разные классы, то используется следующая по силе шкала,
35
которая называется порядковой (шкала простого порядка) или ранговой. При этом выполняются следующие аксиомы:
1.если a≤b, то b≥a;
2.если a≥b и b≥c, то a≥c.
Если выявление предпочтений затруднительно, то такие шкалы называются шкалами частного порядка.
Отношение порядка ничего не говорит о дистанции между классами, поэтому с рангами нельзя оперировать, как с числами. Например, нельзя определять выборочное среднее.
Операции над рангами.
1. Операция, позволяющая установить, какое из двух наблюдений - хi или хj – предпочтительнее.
Введем функцию
1 при t≥0,
C(t)=
0 при t<0;
t= хi -хj, тогда 1 говорит о предпочтительности хi над хj.
m
2. Rj = ∑ Cxi-xj называется рангом j-го объекта.
i=1
В этой шкале можно определить частоту и моду, а также медиану – в данном случае под медианой понимается н аблюдение, наиболее близкое к m/2.
3. Кроме того, возможна операция определения коэффициента корреляции между двумя порядковых наблюдениями:
|
6 (Ryi |
Rxi ) |
2 |
|
1 |
|
|||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (M |
2 |
1) |
|
|
|
|
||
и коэффициента конкордации:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
12 |
|
Rij |
M i j |
Rij |
|
W |
j |
i |
|
|
||
|
N 2 M 3 |
M |
|
|||
|
|
|
||||
Существуют также модифицированные шкалы, например сила ветра или магнетуды землетрясений.
36
Примеры порядковых шкал:
1.Шкала твёрдости по Моору (1811 г.): из двух минералов твёрже тот, который оставляет на другом царапины или вмятины при достаточно сильном соприкосновении.
2.Эталоны: 1 – тальк, 2 – гипс, 3 – кальций, 4 – флюорит, 5 – апатит, 6 – ортоклаз, 7 – кварц, 8 – топаз, 9 – корунд, 10 – алмаз.
3.Шкала силы ветра по Бофорту (1806 г.). Сила ветра определяется по волнению моря: 0 – штиль, 4 – умеренный ветер, 6 – сильный ветер, 10 – шторм (буря), 12 – ураган.
4.Шкала магнитуд землетрясений по Рихтеру (1935 г.) – 12балльная шкала для оценки энергии сейсмических волн в зависимости
ипоследствий прохождения их по данной территории.
5.Балльные шкалы оценки знаний учащихся.
4.Шкалы интервалов
Это более сильные шкалы. Если упорядочение объектов таково, что можно определить расстояние между ними, то получается более сильная шкала. Единицы измерения в ней должны быть одинаковы по всей длине.
Связь между показаниями в таких шкалах линейная: y=ax+b. Смысл настоящих чисел имеют только интервалы, и над интервалами можно выполнять любые арифметические операции и можно использовать соответствующие методы статистической обработки.
Примерами шкал интервалов могут быть шкалы для измерения температуры (Цельсия, Кельвина (К = 273 + С), Фаренгейта (F = 5/9C + 32)), давления, промежутков времени и т.п.
Допустимые операции – определение интервала между двумя измерениями.
Над интервалами – любые арифметические или статистические операции.
37
5.Шкалы отношений, разностей и абсолютные шкалы
Вподобных шкалах имеется естественный абсолютный ноль. Измерения в этих шкалах являются числами, и с ними можно выполнять любые арифметические операции. Если шкала инвариантна
ксдвигу, т.е. y=x+nb, где пм– число сдвигов, b – период, то такая шкала называется шкалой разностей, периодической или циклической.
Если отношения 2-х наблюдаемых величин не зависят от шкалы, то такая шкала называется шкалой отношений. Шкала отношений, в которой начало отсчёта неизменно, а единицы измерения можно изменять (масштабировать).
Аксиомы аддитивности:
1. Если А = Р и В > 0,то А + В > Р; 2. А + В = В + А;
3. Если A = P и B = Q, тo A + B = P + Q; 4. (А + В) + С = А + (В + С).
Измерения в этой шкале являются полноправными числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия.
Этот класс шкал обладает следующей особенностью: отношение двух наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в какой из шкал произведены измерения, т.е. x1 / x2 = y1 / y2.
Примерами шкал отношений являются шкалы для измерения веса, длины и т.п.
Абсолютная шкала – это шкала натуральных чисел, имеющая абсолютный ноль и позволяющая, наряду с арифметическими операциями, применять такие, как использование показателя степени и основание логарифма.
Из перечисленных шкал абсолютная шкала является самой «сильной». Из абсолютных данных можно узнать всё то, что могут дать любые другие шкалы, но не наоборот. Из того, что в группе А – 15 студентов, в группе В – 20, а в группе С – 30, можно узнать:
в А студентов в 2 раза меньше, чем в С (шкала отношений); в В студентов на 10 человек меньше, чем в С (шкала
интервалов);