Тема 9. Закон больших чисел

Частный случай закона больших чисел отображается теоремами Чебышева и Бернулли.

Теорема Чебышева. Если дисперсия попарно независимых слу­чайных величин не превосходит данного положительного числа С, то вероятность того, что абсолютное отклонение средней арифмети­ческой этих величин от средней арифметической их математических ожиданий меньше любого наперед заданного числа, с возрастанием количества случайных величин становится сколь угодно близкой к единице

,

где n - количество независимых случайных величин X_i; т_i - их математические ожида­ния, ε - произвольное малое положительное число.

Теорема Бернулли. С вероятностью, сколь угодно близкой к еди­нице, можно утверждать, что при неограниченном возрастании чис­ла п независимых испытаний статистическая вероятность (частота) появления наблюдаемого события как угодно мало отличается от его вероятности в отдельном испытании

,

где p, q - априорные вероятности соответственно событий А и в одном испытании.

Пример 1. Для определения средней урожайности колхозного по­ля площадью в 1800 га взято на выборку по 1 м² с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю не более чем на 0,25 ц.

Решение. В правой части неравенства, определяющего искомую вероятность, условием определены значения ε = 0,25, С = 6, n = 1800. Отсюда по теореме Чебышева

= =1-0,053=0,947.

Таким образом, P>0,947.

Пример 2. Сколько необходимо провести независимых испытаний, чтобы вероятность того, что отклонение частоты от вероятности появле­ния события в отдельном испытании р будет меньше 0,2, превысила величину 0,96, если р= 0,7?

Решение. В соответствии с теоремой Бернулли условие Р> 0,96 равносильно неравенству >0,96 или <0,04. Отсюда . Подстановка значений р= 0,7, q= 0,3, s=0,2 дает

.

Таким образом, требуемое задачей неравенство выполняется при числе независимых испытаний, начиная со 132.

ЗАДАНИЕ 9. Решить задачи, используя закон больших чисел.

1. Партия деталей для оборудования завода распределена по ящикам, имеющим одинаковый вес (нетто). Из каждого ящика на выборку берется по одной детали и определяется ее масса. Известно, что дисперсия по каждому из ящиков не превышает 4. Установить, при каком числе ящиков отклонение среднего вы­борочного веса детали от общей средней массы не менее чем на 0,2 кг определяется вероятностью, превышающей 0,95.

2. При штамповке пластинок из пластмассы по данным ОТК брак составляет 3 %. Найти вероятность того, что при просмотре партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше, чем на 1 %.

3. Для каждой из 1500 независимых случайных величин дисперсия не превышает 3. Определить вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий, не превышает (по своей абсолютной величине) числа 0,4.

4. Известно, что дисперсия каждой из данных независимых случай­ных величин не превышает 4. Найти то число этих величин, при котором вероятность отклонения их средней арифметической от средней арифметической их математического ожидания не более, чем на 0,25, превысит 0,99.

5. Для определения средней урожайности на участке площадью в 1800 га взято на выборку по 1 м² с каждого га. Известно, что дис­персия по всему участку не превышает 4,5. Оценить вероятность того, что средняя выборочная урожайность будет отличаться от средней урожайности по всему участку не более, чем на 0,25 ц.

6. Вероятность положительного исхода отдельного испытания р=0,8. Определить вероятность того, что при 1000 независимых испытаний отклонение частоты положительных исходов от вероятности при отдельном испытании по абсолютной величине будет меньше 0,05.

7. Начиная с какого числа п независимых испытаний справедливо неравенство , если в отдельном испытании р=0,8.

8. Сколько следует провести независимых испытаний, чтобы вероятность выполнения неравенства превысила 0,78, если вероятность появления данного события в отдельном испыта­нии р=0,7 ?

9. Вероятность наличия зазубрин на металлических брусках, заго­товленных для обточки, равна 0,2. Оценить вероятность того, что в партии из 1000 брусков отклонение числа брусков без зазубрин от 800 не превышает 5 %.

10.Завод выпускает первосортные изделия с вероятностью 0,9. Оп­ределить минимальное количество изделий, которое следует проверить, чтобы с вероятностью 0,95 частота первосортных изде­лий отличалась от вероятности 0,9 не более чем на 0,01.

11.Партия деталей для оборудования завода распределена по ящи­кам, имеющим одинаковый вес (нетто). Из каждого ящика на вы­борку берется по одной детали и определяется ее масса. Извест­но, что дисперсия по каждому из ящиков не превышает 3.Установить, при каком числе ящиков отклонение среднего вы­борочного веса детали от общей средней массы, не менее, чем на 0,1 кг, определяется вероятностью, превышающей 0,95.

12.При штамповке деталей из пластмассы по данным ОТК брак со­ставляет 4 %. Найти вероятность того, что при просмотре партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного про­цента брака меньше, чем на 2 %.

13.Для каждой из 1600 независимых случайных величин дисперсия не превышает 5. Определить вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превышает (по абсолютной величине) числа 0,5.

14.Известно, что дисперсия каждой из данных независимых случай­ных величин не превышает 3. Найти число этих величин, при ко­тором вероятность отклонения их средней арифметической от средней арифметической их математических ожиданий, не более чем на 0,28, превысит 0,99.

15.Для определения средней урожайности на участке площадью в 2000 га взято на выборку по 1 м² с каждого га. Известно, что дисперсия по всему участку не превышает 5,5. Оценить вероятность того, что средняя выборочная урожайность будет отличаться от средней урожайности по всему участку не более чем на 0,35 ц.

16.Вероятность положительного исхода отдельного испытания р=0,6. Определить вероятность того, что при 2000 независимых испытаний отклонение частоты положительных исходов от веро­ятности при отдельном испытании по всей абсолютной величине будет меньше 0,05.

17.Начиная с какого числа п независимых испытаний, имеет место , если в отдельном испытании вероятность р=0,9 ?

18.Сколько следует провести независимых испытаний, чтобы вероятность выполнения неравенства , если вероятность появления данного события в отдельном испыта­нии вероятность р=0,7 ?

19.Вероятность наличия вмятин на металлических брусках, заготов­ленных для обточки, равна 0,2. Оценить вероятность того, что в партии из 1000 брусков отклонение числа пригодных брусков от 900 не превышает 5 %.

20.Завод выпускает первосортные изделия с вероятностью 0,9. Оп­ределить минимальное количество изделий, которое следует про­верить, чтобы с вероятностью 0,96 частота первосортных изде­лий отличалась от вероятности 0,9 не более чем на 0,01.

21.Детали для оборудования завода распределены по ящикам, имеющим одинаковый вес (нетто). Из каждого ящика на выборку берется по одной детали и определяется ее масса. Известно, что дисперсия по каждому из ящиков не превышает 3. Установить, при каком числе ящиков отклонение среднего выборочного веса детали от общего средней массы не менее, чем на 0,2 кг определя­ется вероятностью, превышающей 0,95.

22.При штамповке пластинок из пластмассы по данным ОТК брак составляет 2%. Найти вероятность того, что при просмотре пар­тии в 500 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше, чем на 1 %.

23.Для каждой из 1500 независимых случайных величин дисперсия не превышает 3. Определить вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превышает (по своей абсолютной величине) числа 0,6.

24.Известно, что дисперсия каждой из данных независимых случай­ных величин не превышает 6. Найти то число этих величин, при котором вероятность отклонения их средней арифметической от средней арифметической их математических ожиданий не более чем на 0,25 превысит 0,95.

25.Для определения средней урожайности на участке площадью в 1900 га взято на выборку по 1 м² с каждого га. Известно, что дис­персия по всему участку не превышает 5,5. Оценить вероятность того, что средняя выборочная урожайность будет отличаться от средней урожайности по всему участку не более чем на 0,25 ц.

26.Вероятность положительного исхода отдельного испытания р=0,7. Определить вероятность того, что при 1500 независимых испытаний отклонение частоты положительных исходов от веро­ятности при отдельном испытании по всей абсолютной величине будет меньше 0,05.

27.Начиная с какого числа п независимых испытаний имеет место вероятность , если в отдельном испытании р=0,8 ?

28.Сколько следует провести независимых испытаний, чтобы вероятность выполнения неравенства превысила 0,78, если вероятность появления данного события в отдельном испыта­нии р=0,7 ?

29.Вероятность наличия зазубрин на металлических брусках, заго­товленных для обточки, равна 0,2. Оценить вероятность того, что в партии из 1000 брусков отклонение числа пригодных брусков от 800 не превышает 5 %.

30.Завод выпускает первосортные изделия с вероятностью 0,94. Оп­ределить минимальное количество изделий, которое следует про­верить, чтобы с вероятностью 0,96 частота первосортных изде­лий отличалась от вероятности 0,9 не более чем на 0,01.