Тема 4. Повторные независимые испытания

Испытаниями Бернулли называют повторные независимые ис­пытания с двумя исходами А и в каждом испытании и с вероятно­стями этих исходов, не меняющимися от испытания к испытанию.

Вероятность наступления события А в каждом испытании обо­значается через р: Р(А) = р, тогда Р( )=1-p=q. Пусть т - число, (частота) наступления события А в п испытаниях; Р_п(т) - веро­ятность того, что частота появления события A равна m (т.е. m раз наступит событие А в n «испытаниях). Эта вероятность определяется по формуле Бернулли Р_п (т) = .

Вероятность того, что частота появления события А в n испыта­ниях примет значение из промежутка [т_{1 ,}т₂], равна

= .

Вероятность того, что событие А хотя бы один раз наступит в п испытаниях можно вычислить по формуле

P_n(m>1) =1-P_n(0) = qⁿ.

Пример 1. Вероятность попадания в цель составляет при отдель­ном выстреле р = 0,8. Найти вероятность пяти попаданий при 6 вы­стрелах.

Решение. Здесь п = 6, т = 5, р = 0,8, q = 0,2. Поэтому искомая вероятность равна

P₆(5) = 6!/5!ּ(0,8)⁵(0,2)¹=0,3932.

Пример 2 . Всхожесть семян данного сорта растений оценива­ется вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдет не меньше 4?

Решение. Имеем п = 5, р =4/5, q = 1/5; т>А, т.е. т принимает значе­ния или 4, или 5. Искомая вероятностьР₅(т > 4) равна

P₅(4)+P₅(5) = 5ּ(0,8)⁴ּ(0,2)¹+(0,8)⁵=0,73728.

ЗАДАНИЕ 4. В задачах 1-30 дана вероятность р появления события А в каждом из «независимых испытаний. Найти вероят­ность того, что в этих испытаниях событие А появится а) ровно к раз; б) менее к раз; в) не менее к раз.

№	п	p	k		№	п	p	k
1	4	0,2	3		16	5	0,2	1
2	5	0,3	2		17	6	0,3	3
3	6	0,4	2		18	4	0,4	1
4	4	0,5	3		19	5	0,5	2
5	5	0,6	4		20	6	0,6	4
6	4	0,7	3		21	4	0.4	3
7	5	0,8	4		22	5	0,7	2
8	6	0,2	5		23	6	0,8	4
9	4	0,3	3		24	4	0,9	3
10	5	0,4	4		25	5	0,3	4
11	6	0,5	3		26	6	0,7	4
12	4	0,6	3		27	4	0,8	2
13	5	0,7	3		28	5	0,9	3
14	6	0,8	2		29	6	0,1	3
15	4	0,9	2		30	4	0,2	2

ЗАДАНИЕ 4а. Решить задачи, используя схему Бернулли.

1. Посажено 10 деревьев. Вероятность того, что деревья приживутся р=0,85. Найти вероятность того, что приживутся 8 деревьев.

2. В цехе 8 моторов. Вероятность того, что мотор в данный момент включен, равна 0,85. Найти вероятность того, что в данный момент включено не менее двух моторов.

3. Произведено 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,3. Найти вероятность появления того, что событие А появится хотя бы один раз.

4. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 4 выстрелах мишень будет поражена более двух раз.

5. Вероятность того, что деталь нестандартна р = 0,15. Найти вероятность того, что, среди 6 деталей, 2 нестандартные.

6. Вероятность производства бракованной детали р = 0,08. Найти вероятность того, что в партии из 10 деталей 3 бракованные.

1. Кубик бросается 6 раз. Найти вероятность того, что при этом цифра 3 появится не менее трех раз.

2. Предприятие в среднем выпускает 65 % изделий высшего сорта. Найти вероятность того, что, среди 8 изделий, 3 будут высшего сорта.

3. Устройство состоит из 6 независимо работающих элементов. Вероятность отказа за время Т каждого из них равна 0,15. Найти ве­роятность того, что за время Т из строя выйдет менее двух эле­ментов.

10.Всхожесть семян ячменя составляет 90%. Найти вероятность то­го, что из четырех посеянных в опытной партии семян взойдут три.

11.В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова веро­ятность того, что, среди взятых для исследования 5 волокон, длинных окажется три?

12.В некотором водоеме карпы составляют 80%. Найти вероятность того, что из 5 выловленных в этом водоеме рыб окажется 4 кар­па.

13.Прибор состоит из 6 узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,7. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за смену откажут 2 узла.

14.В цехе независимо один от другого работают 4 станка. Вероят­ность того, что за данный промежуток времени станок выйдет из строя, равна для каждого станка 0,2. Какова вероятность того, что за данный промежуток времени выйдут из строя 3 станка.

15.Известно, что в данном населенном пункте 80% семей имеют легковые автомобили. Для социологического исследования слу­чайным образом отбираются 5 семей. Определить вероятность того, что в выборке окажется ровно 3 семьи с автомобилями.

16.Вероятность того, что расход воды в течение дня окажется не превышающим норму, равна 0,8. Найти вероятность того, что расход воды будет нормальным в течение пяти дней недели.

17.Вероятность рождение бычка при отеле коровы равна 0,5. Найти вероятность того, что от шести коров будет три бычка.

18.Доля плодов, зараженных болезнью в скрытой форме, составляет 20%. Для исследования случайным образом отбираются 6 пло­дов. Определить вероятность того, что в выборке окажется поло­вина зараженных плодов.

19.Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: одну партию из двух или две из четырех?

20.Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появ­ления события А в одном испытании равна 0,4.

21.В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей не менее двух мальчиков.

22.Отдел технического контроля проверяет детали на стандарт­ность. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти вероятность того, что среди 6 случайно отобранных деталей 4 детали стандартные.

23.Игральную кость бросают шесть раз. Найти вероятность выпа­дения герба четыре раза.

24.Испытывается каждый из пяти элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,7. Найти вероятность того, что три элемента выдержат испытание.

25.Товаровед осматривает образцы товаров. Вероятность того то каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти вероятность того, что в выборке из 6 образцов 5 будут признаны годными к продаже.

26.Батарея произвела 6 выстрелов по военному объекту. Вероят­ность попадания в объект при одном выстреле равна 0,3. Найти вероятность того, что объект будет разрушен, если для этого дос­таточно трех попаданий.

27.Прибор состоит из пяти независимо работающих элементов. Ве­роятность отказа элемента в момент включения прибора равна 0,2. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточ­но, чтобы отказали 4 элемента.

28.В цехе 7 станков. Вероятность того, что станок в данный момент включен, равна 0,7. Найти вероятность того, что в данный мо­мент включено не более двух станков.

29.Ожидается прибытие пяти судов с бананами. Статистика показы­вает, что в 10% случаев груз бананов портится в дороге. Найти вероятность того, что придут с испорченным грузом 2 судна.

30.На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на ли­нию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной ра­боты автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 автомашин.