Тема 1. Непосредственное вычисление

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Для вычисления классической вероятности Р(А) необходимо ус­тановить число всех возможных элементарных исходов п в услови­ях данного эксперимента и определить число m исходов, благопри­ятствующих событию А. В относительно простых случаях для этого достаточно простых логических рассуждений.

Пример 1. Из числа талонов, занумерованных всеми двузначны­ми числами, наудачу берется один. Какова вероятность того, что но­мер взятого талона состоит из одинаковых цифр?

Решение. Обозначим А - событие, состоящее в том, что номер, взятого наудачу талона состоит из одинаковых цифр. Находим п = 90 - число всех исходов опыта. Находим число исходов, благо­приятствующих событию А: (11,22,33, ..., 99), т.е. т = 9. Поэтому P(A)=9/90=0,1. В более сложных случаях приходится использовать комбинаторные формулы.

Размещениями из п элементов по m (m<n) называются комби­нации этих элементов, каждая из которых содержит m элементов, взятых из данных п элементов, и которые друг от друга отличаются либо самими элементами, либо их порядками (обозначается , читается «А из n по m»). Число всевозможных размещений вычисляется по формуле

=nּ(n-1) ּ…ּ(n-m+1)=

Пример 2. Сколько можно образовать целых чисел, из которых каждое выражалось бы тремя различными цифрами?

Решение. Из десяти цифр 0, 1, 2, ... , 9 можно составить разме­щений по 3 цифры: =10ּ9ּ8 = 720. Но из этого числа надо исключить число тех размещений по 3, которые начинаются с цифры 0, т.е. = 9 ּ 8 = 72. Искомая величина будет равна - = 720 - 72 = 648.

Перестановками п элементов называются комбинации этих элементов, отличающиеся друг от друга только порядком их распо­ложения. Число всех перестановок данных п элементов равно:

Р_п = 1ּ2ּ3ּ...ּn = n! .

Пример 3. Сколько существует способов расположения 4-х че­ловек на четырехместной скамье?

Решение: Р₄ = 4!=1ּ2ּ3ּ4 = 24.

Сочетаниями из n элементов по m (m < п) называются ком­бинации, состоящие из m элементов и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом (порядок не имеет значения). Число всех сочетаний из п элементов по m равно

.

Пример 4. Бригадир должен отправить на работу бригаду из 5 человек. Сколько бригад по 5 человек в каждой можно составить из 12 человек?

Решение. Таких бригад будет столько, сколько сочетаний из 12 человек по 5 , то есть

.

Пример 5. По телевидению передано 10 снимков, из них 3 снимка с искажениями. Какова вероятность, что два взятых наудачу снимка: а) не имеют искажений; б) оба имеют искажения; в) один имеет искажение?

Решение. Учитывая, что число всех возможных исходов равно числу сочетаний из 10 по 2, находим n= .

а) Событие А состоит в том, что оба снимка не имеют искажений, т.е. они выбраны из 7 качественных снимков. Тогда число исходов, благоприятствующих событию А, равно числу сочетаний из 7 по 2, т.е. m= , а вероятность P(A)=m/n=21/45=0,467.

б) Событие B состоит в том, что оба снимка имеют искажение, т.е. взяты из 3-х некачественных. Тогда число исходов, благоприятствующих событию B, равно числу сочетаний из 3 по 2, т.е. m= , а вероятность P(В)=m/n=3/45=0,067.

с) Событие С состоит в том, что один снимок имеет искажение, а один не имеет, т.е. один взят из 3-х, а один из 7. В таких случаях общее число исходов, благоприятствующих событию С, находят как произведение (и с искажением и без искажения, см. действия над со­бытиями): m= , а вероятность P(С)=m/n=21/45=0,467.

ЗАДАНИЕ 1. Вычислить вероятность случайных событий, ис­пользуя комбинаторные формулы.

1. Перечислите все возможные исходы при одновременном броса­нии двух монет. Какова вероятность выпадения герба? Герба и цифры?

2. Перечислите все возможные случаи при одновременном подбра­сывании трех монет. Какова вероятность появления трех гербов? Двух гербов и цифры? Герба и двух цифр?

3. В магазин поступило 30 новых цветных телевизоров, среди которых пять имеют скрытые дефекты. Наудачу выбирается один те­левизор. Какова вероятность того, что он не имеет скрытых де­фектов?

4. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятность, что число выпавших очков кратно трем.

5. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков больше двух.

6. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков равно шести.

7. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность собы­тия: сумма выпавших очков равна пяти, а произведение четырем.

8. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна шести, а разность двум.

9. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти веро­ятность того, что набраны нужные цифры.

10. На шести карточках написаны буквы: у, т, ф, б, л, о. Карточки пе­ремешивают, берут по одной и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «футбол»?

11. На каждой из шести одинаковых карточках напечатана одна из следующих букв: в, м, ч, р, а, т. Карточки перемешивают. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и располо­женных слева направо, карточках можно прочесть слово «врач».

12. Фотограф располагает одного мальчика и двух девочек в ряд слу­чайным образом. Какова вероятность того, что на фотографии девочки и мальчики будут чередоваться?

13. В группе 20 голов крупного рогатого скота, из которых восемь поражены вирусной инфекцией. При проверке случайным образом отобраны трое животных. Какова вероятность того, что они окажутся зара­женными?

14. В группе 20 голов крупного рогатого скота, из которых восемь поражены вирусом. При проверке случайным образом отобраны, трое животных. Какова вероятность того, что, среди них, двое за­раженных?

15. В клетке 40 мышей, из них 12 белых. Найти вероятность того, что среди извлеченных четырех мышей, половина белых?

16. В группе студентов 7 юношей и 5 девушек. Для дежурства ото­браны по списку шесть человек. Какова вероятность того, что среди отобранных окажутся четверо юношей?

17.В питомнике 12 собак, из них трое щенков. Половина собак про­шла вакцинацию. Какова вероятность того, что среди них двое щенков?

18. В группе 15 телят, из них четверо животных больны рахитом. Для клинического обследования случайным образом отобрано трое телят. Какова вероятность того, что все отобранные телята здоро­вы?

19. В группе 25 животных, среди них 20 коров, остальные нетели. Выбраковано четверо животных. Найти вероятность того, что среди них половина - нетели.

20. В пруду 20 карпов, 10 карасей, 5 лещей. В исследовательских целях случайным образом по­мечены три рыбы. Какова вероятность, что все они разных ви­дов?

21. В стаде 220 коров, из них 90 не достигают трехлетнего возраста. Наудачу выбирается одно животное. Найти вероятность того, что возраст коровы не менее трех лет.

22. Из 20 сберегательных касс 10 располагаются за чертой города. Для проверки случайным образом отобраны 5 касс. Какова веро­ятность того, что среди них окажется 3 кассы в черте города?

23. Из шести карточек с буквами Л, И, Т, Е, Р, А наудачу выбирают последовательно четыре. Какова вероятность того, что при этом получится слово -ТИРЕ?

24. На складе хранится 50 пар обуви, из них 40 пар первого сорта, 10 пар второго сорта. Какова вероятность того, что из трех пар, взятых наудачу, одна окажется 1 сорта, а две второго?

25. Буквы разрезной азбуки А, Б, Р, К перемешаны, а затем вынима­ются наугад и раскладываются в порядке извлечения. Какова ве­роятность получить при этом слова «КРАБ» или БРАК».

26. Из 60 вопросов программы студент знает 50. Какова вероятность того, что студент ответит на все три предложенных ему вопроса?

27. Из 25 деталей, среди которых 18 стандартных, наудачу взяты две детали. Какова вероятность, что все взятые детали стандартные?

28. Из 20 деталей, среди которых 15 стандартных, наудачу взяты две детали. Какова вероятность того, что одна деталь стандартная, а вторая - нет?

29. Из партии в 1000 деталей контролер отобрал для проверки 50. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей не ока­жется бракованных, если во всей партии их 4.

30. На складе имеется 15 телевизоров, 10 из которых изготовлены на Воронежском заводе. Какова вероятность того, что среди 5 нау­дачу отобранных телевизоров 3 окажутся Воронежскими?